第2世代ウェーブレット変換

信号処理において、第二世代ウェーブレット変換（SGWT）は、フィルタ（または表現されたウェーブレット）が明示的に設計されていないが、変換はリフティングスキームの適用で構成されるウェーブレット変換である。実際には、リフティングステップのシーケンスは通常の離散ウェーブレット変換に変換できるが、設計と適用の両方がリフティングスキームを介して行われるため、これは不要である。これは、DWTやCWTなどの古典的な（いわゆる第一世代の）変換では通常そうであるように、周波数領域で設計されていないことを意味する。フーリエ領域から離れるというアイデアは、1990年代初頭に David DonohoとHartenによって独立して導入された。

変換を計算しています

入力信号はシフトとダウンサンプリングによって奇数サンプルと偶数サンプルに分割されます。その後、 の値と偶数値に対する 予測演算子を用いて、詳細係数が補間されます。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma_{1}}$ ${\displaystyle \lambda_{1}}$ ${\displaystyle \gamma_{2}}$ ${\displaystyle \gamma_{1}}$

${\displaystyle \gamma _{2}=\gamma _{1}-P(\lambda _{1})\,}$

次の段階（更新演算子と呼ばれる）では、詳細な係数を使用して近似係数を変更します。

${\displaystyle \lambda_{2}=\lambda_{1}+U(\gamma_{2})\,}$

関数予測演算子と更新演算子は、 分解に使用するウェーブレットを効果的に定義します。特定のウェーブレットでは、結果が生成される前に、リフティングステップ（補間と更新）が複数回繰り返されます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$

この考え方は（DWTで使用されているように）拡張され、複数のレベルを持つフィルタバンクを作成することができます。ウェーブレットパケット分解で使用される変数ツリーも使用できます。

利点

SGWTは、従来のウェーブレット変換に比べて計算速度が速い（2倍）ことや、均一なグリッドに適合しない多重解像度解析を生成できることなど、多くの利点があります。事前情報を用いることで、信号解析を最適に行えるようにグリッドを設計できます。この変換は、可逆性を維持しながら局所的に変更することができ、変換後の信号にある程度適応することも可能です。

参考文献

• Wim Sweldens:第二世代ウェーブレット：理論と応用