セルバーグふるい

アトレ・セルバーグ

数論において、セルバーグの篩は、合同式によって表現される一連の条件を満たす正の整数の「ふるい分けられた集合」の大きさを推定する手法である。 1940年代に アトル・セルバーグによって開発された。

説明

ふるい理論の観点から見ると、セルバーグふるいは組み合わせ型である。つまり、包含・排除原理を慎重に利用することで導かれる。セルバーグは、このふるいに現れるメビウス関数の値を重みのシステムに置き換え、与えられた問題に適合するように最適化した。その結果、ふるいにかけられる集合の大きさの上限が得られた。

を正の整数の集合とし、を素数の集合とする。を で割り切れる元の集合とし、を とは異なる素数の積とする場合を考える。さらに、を 自身と表記する。を正の実数とし、を となる素数の積とする。ふるいの目的は、 を推定することである。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \leq x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{d}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \leq z}$

${\displaystyle S(A,P,z)=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\mid P(z)}A_{p}\right\vert .}$

| A _d |は次のように推定できると 仮定する。

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {1}{f(d)}}X+R_{d}.}$

ここでfは乗法関数であり、X   = | A |である。関数gはfからメビウス反転によって得られる。

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(n/d)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)}$

ここでμはメビウス関数である。

${\displaystyle V(z)=\sum _{\begin{smallmatrix}d<z\\d\mid P(z)\end{smallmatrix}}{\frac {1}{g(d)}}.}$

それから

${\displaystyle S(A,P,z)\leq {\frac {X}{V(z)}}+O\left({\sum _{\begin{smallmatrix}d_{1},d_{2}}\mid P(z)\end{smallmatrix}}\left\vert R_{[d_{1},d_{2}]}\right\vert }\right)}$

ここで はとの最小公倍数を表す。境界値によって 推定すると便利な場合が多い。${\displaystyle [d_{1},d_{2}]}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle V(z)\geq \sum _{d\leq z}{\frac {1}{f(d)}}.\,}$

アプリケーション

• 等差数列における素数の数に関するブルン・ティッチマーシュの定理。
• nがφ( n )と互いに素であるようなn≤xの数はe ⁻ γx /logloglog( x )に漸近する。

参考文献

• コジョカル, アリナ・カルメン;マーティ, M. ラム(2005).ふるい法とその応用入門. ロンドン数学会学生テキスト. 第66巻. ケンブリッジ大学出版局. pp.  113– 134. ISBN 0-521-61275-6. Zbl  1121.11063。
• ダイアモンド、ハロルド・G.、ハルバースタム、ヘイニ(2008). 『高次元ふるい法：ふるい関数の計算手順付き』ケンブリッジ数学論集 第177巻. ウィリアム・F・ゴールウェイ共著. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl  1207.11099。
• ジョージ・グリーブス (2001)。整数論におけるふるい。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 43. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-41647-1. Zbl  1003.11044。
• ハルバースタム、ヘイニ、リヒャート、HE (1974).ふるい法. ロンドン数学会モノグラフ. 第4巻. アカデミック・プレス. ISBN 0-12-318250-6. Zbl  0298.10026。
• フーリー、クリストファー(1976).ふるい法の数論への応用. ケンブリッジ数学論文集. 第70巻. ケンブリッジ大学出版局. pp.  7– 12. ISBN 0-521-20915-3. Zbl  0327.10044。
• セルバーグ、アトル(1947)。 「素数理論の初歩的な方法について」。ノルスケ・ヴィッド。セルスク。ふーん。トロンハイム。19 : 64–67。ISSN 0368-6302  。​ Zbl  0041.01903。