半線形応答

駆動は閉回路内の準位間の遷移を引き起こし、エネルギー空間における拡散とそれに伴う加熱を招きます。拡散係数は抵抗ネットワークのアナロジーを用いて計算できます。

半線形応答理論（SLRT）は、線形応答理論（LRT）をメソスコピックな状況に拡張したものです。LRTは、駆動される遷移が環境の緩和／位相ずれ効果よりもはるかに弱い／遅い場合に適用されますが、SLRTは逆の条件を前提としています。SLRTは、エネルギー吸収率を計算するために、抵抗ネットワークのアナロジー（図を参照）を使用します。駆動はエネルギーレベル間の遷移を誘発し、パーコレーション理論と同様に、遷移の連続的なシーケンスが、ゼロではない結果を得るために不可欠です。

アプリケーション

SLRT導入の当初の動機は、メソスコピックコンダクタンスの研究でした ^{[1] [2] [3]} 。^[4] SLRTという用語は ^[5]で造語され 、金属粒子によるエネルギー吸収の計算に適用されました。その後、この理論は振動トラップ内の原子の加熱率の解析にも応用されました^[6]。

半線形応答の定義

パワースペクトル を持つソースによって駆動されるシステムを考える。後者はのフーリエ変換として定義される。線形応答理論（LRT）では、駆動ソースは平衡状態とわずかに異なる定常状態を誘導する。このような状況では、応答（）はパワースペクトルの線形関数となる。 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\チルダ {S}}(\omega )}$ ${\displaystyle \langle f(t)f(0)\rangle }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\int _{-\infty }^{\infty }\eta (\omega ){\tilde {S}}(\omega )\,d\omega }$

従来のLRTの文脈では、加熱速度を表し、吸収係数として定義することができます。この関係が当てはまる場合は常に ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta (\omega )}$

${\displaystyle [A]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto \lambda {\tilde {S}}(\omega ){\text{ は }}G\mapsto \lambda G を意味する}$

${\displaystyle [B]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto {\tilde {S}}_{1}(\omega )+{\tilde {S}}_{2}(\omega ){\text{ は }}G\mapsto G_{1}+G_{2}} を意味する$

駆動力が非常に強い場合、応答は非線形となり、特性[A]と[B]の両方が成立しなくなります。しかし、応答が半線形となるシステムも存在します。つまり、最初の特性[A]は成立しますが、[B]は成立しません。

抵抗ネットワークモデリング

SLRTは、駆動力が十分に強く、駆動力のダイナミクスと比較して定常状態への緩和が遅い場合に適用されます。しかし、システムは抵抗ネットワークとしてモデル化でき、数学的には と表現できると仮定します。この表記は、与えられた抵抗ネットワークの2端子コンダクタンスの通常の電気工学計算を表します。例えば、並列接続は を意味し、直列接続は を意味します 。抵抗ネットワークの計算は を満たすため明らかに半線形ですが、一般に です。 ${\displaystyle G=[[G_{nm}]]}$ ${\displaystyle [[G_{nm}]]}$ ${\displaystyle G=\sum _{nm}G_{nm}}$ ${\displaystyle G=\left[\sum _{nm}G_{nm}^{-1}\right]^{-1}}$ ${\displaystyle [[\lambda A]]=\lambda [[A]]}$ ${\displaystyle [[A+B]]\neq [[A]]+[[B]]}$

フェルミの黄金律の図

エネルギー吸収の量子力学的計算では、エネルギー準位間のフェルミ黄金律遷移速度を表す。隣接する準位のみが結合している場合、直列加算は ${\displaystyle G_{nm}}$

${\displaystyle G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\left[\int _{-\infty }^{\infty }\mu (\omega ){\tilde {S}}(\omega )^{-1}\,d\omega \right]^{-1}}$

これは明らかに半線形です。弱カオス駆動システムの解析で見られるスパースネットワークの結果はより興味深く、一般化可変範囲ホッピング（VRH）スキームを用いて得ることができます。

参考文献

1. Cohen, Doron; Kottos, Tsampikos; Schanz, Holger (2006-09-05). 「閉じた弾道リングによるエネルギー吸収率」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (38): 11755– 11771. arXiv : cond-mat/0505295 . Bibcode :2006JPhA...3911755C. doi :10.1088/0305-4470/39/38/004. ISSN  0305-4470. S2CID  13946424.
2. Bandopadhyay, S; Etzioni, Y; Cohen, D (2006). 「マルチモード弾道リングのコンダクタンス：LandauerとKuboを超えて」. Europhysics Letters . 76 (5): 739– 745. arXiv : cond-mat/0603484 . Bibcode :2006EL.....76..739B. doi :10.1209/epl/i2006-10360-9. ISSN  0295-5075. S2CID  14747016.
3. Stotland, Alexander; Budoyo, Rangga; Peer, Tal; Kottos, Tsampikos; Cohen, Doron (2008-06-04). 「無秩序リングのメソスコピックコンダクタンス、そのランダム行列理論、そして一般化可変レンジホッピング描像」Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 41 (26) 262001. IOP Publishing. arXiv : 0712.0439 . doi :10.1088/1751-8113/41/26/262001. ISSN  1751-8113. S2CID  51758094.
4. Stotland, Alexander; Kottos, Tsampikos; Cohen, Doron (2010-03-31). 「半線形応答のランダム行列モデリング、一般化可変範囲ホッピング描像、およびメソスコピックリングのコンダクタンス」. Physical Review B. 81 ( 11) 115464. arXiv : 0908.3991 . Bibcode :2010PhRvB..81k5464S. doi :10.1103/physrevb.81.115464. ISSN  1098-0121. S2CID  53008179.
5. Wilkinson, M; Mehlig, B; Cohen, D (2006). 「半線形応答」. Europhysics Letters . 75 (5): 709– 715. arXiv : cond-mat/0512070 . Bibcode :2006EL.....75..709W. doi :10.1209/epl/i2006-10182-9. ISSN  0295-5075. S2CID  118982511.
6. Stotland, A.; Cohen, D.; Davidson, N. (2009). 「振動トラップ内の冷却原子の加熱速度に対する半線形応答」. EPL (Europhysics Letters) . 86 (1) 10004. arXiv : 0810.0360 . Bibcode :2009EL.....8610004S. doi :10.1209/0295-5075/86/10004. ISSN  0295-5075. S2CID  5155754.