集合の族

集合論や数学の関連分野では、族やコレクションは、集合、添字付き集合、多重集合、組、またはクラスを意味するために使用されます。これは通常、「集合の族」などの句で使用されます。なぜなら、「集合の集合」を使用すると、その後の「集合」の使用時に、それが包含集合なのかメンバー集合の1つなのかが混乱する可能性があるためです。一般的な用法は、「ある集合Sの部分集合の族」です。集合の族は、集合族または集合システムとも呼ばれます。有限集合 の部分集合の有限族は、ハイパーグラフとも呼ばれます。極限集合論の主題は、特定の制約を満たす集合の族の最大の例と最小の例に関するものです。 ${\displaystyle S}$

例

与えられた集合のすべての部分集合の集まりはの冪集合と呼ばれ、 ⁠ ⁠と表記されます。与えられた集合の冪集合とは、 ⁠ ⁠上の集合の族です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

の要素を持つ部分集合は、 ⁠ ⁠の-部分集合と呼ばれます。集合の-部分集合は集合の族を形成します。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S^{(k)}}$ ${\displaystyle S}$

⁠ ⁠${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}}$ とします。 （多重集合の意味で）上の集合族の例は⁠ ⁠（ただし⁠ ⁠、⁠ ⁠ ）で与えられます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\}}$ ${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\}}$ ${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}}$

すべての順序数のクラスは、集合の大きな族です。つまり、それ自体は集合ではなく、真のクラスです。 ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$

プロパティ

集合の部分集合の族は、重複するメンバーがない場合は、それ 自体がべき集合の部分集合になります。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$

重複のない任意の集合族は、すべての集合の適切なクラス(宇宙)のサブクラスです。

フィリップ・ホールによるホールの結婚定理は、空でない集合の有限族（繰り返しが許可される）が、異なる代表者のシステムを持つための必要かつ十分な条件を与えます。

が任意の集合族である場合、は⁠ ⁠内のすべての集合の和集合を表します。特に、⁠ ⁠です。任意の集合族は ⁠ ⁠ 上の族であり、また⁠ ⁠の任意のスーパーセット上の族でもあります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$

その部分集合上の の部分集合族の跡は です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\subseteq S}$ ${\displaystyle \{A\cap T,A\in {\mathcal {F}}\}}$

関連概念

他の数学の分野における特定の種類のオブジェクトは、何らかの種類のオブジェクトの集合のコレクションとして純粋に記述できるという点で、集合の族と同等です。

• ハイパーグラフ（集合系とも呼ばれる）は、頂点の集合と、任意の集合をとることができるハイパーエッジの集合によって形成される。ハイパーグラフのハイパーエッジは集合の族を形成し、任意の集合の族は、集合の和集合を頂点とするハイパーグラフとして解釈できる。
• 抽象単体複体とは、線分、三角形、四面体、および高次元単体を面と面を合わせて結合した形状である単体複体の概念を、組み合わせ論的に抽象化した概念である。抽象単体複体では、各単体は単にその頂点の集合として表される。重複のない有限集合の族において、その族に属する任意の集合の部分集合が、その族にも属する場合、それらは抽象単体複体を形成する。
• 入射構造は、点の集合、直線の集合、そして（任意の）二項関係（入射関係）から構成されます。この関係は、どの点がどの直線に属するかを指定します。入射構造は、集合の族（2つの異なる直線に同じ点の集合が含まれる場合も含む）、各直線に属する点の集合、そして任意の集合の族によって指定できます。このようにして、任意の集合の族が入射構造として解釈できます。
• 2進ブロック符号は、0と1の文字列からなる同じ長さの符号語の集合から構成されます。各符号語ペアのハミング距離が大きい場合、誤り訂正符号として使用できます。ブロック符号は、各符号語を1を含む位置の集合として記述することで、集合の族として記述することもできます。
• 位相空間は、 が集合（その要素は点と呼ばれる）であり、が⁠ ⁠ 上の位相である のペアで構成されます。 ⁠ ⁠は、空集合とそれ自身の両方を含む ⁠上の集合（その要素は開集合と呼ばれる）の族であり、任意の集合の和と有限集合の積に関して閉じています。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

被覆と位相

集合の族が集合を覆うとは、 のすべての点がその族の何らかの要素に属することを言います。 の被覆 の部分族が の被覆でもある場合、その族は部分被覆と呼ばれます。のすべての点がその族の有限個の要素にのみ含まれる場合、その族は点有限集合と呼ばれます。被覆 のすべての点が のちょうど1つの要素に含まれる場合、その被覆は⁠ ⁠の分割です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

が位相空間であるとき、その要素がすべて開集合である被覆は開被覆と呼ばれる。空間内の各点がその族の有限個の要素とのみ交わる近傍を持つとき、その族は局所有限であると呼ばれる。σ-局所有限集合または可算局所有限集合とは、可算個の局所有限族の和集合である族である。 ${\displaystyle X}$

ある被覆が別の（より粗い）被覆を精緻化するとは、 ⁠ ⁠ のすべての元が⁠ ⁠の何らかの元に含まれることを意味する。スター精緻化は、精緻化の特別な種類である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

特別な種類の集合族

スペルナー族とは、どの集合も他の集合を含まない集合族である。スペルナーの定理は、スペルナー族の最大サイズを規定する。

ヘリー族とは、交差が空である任意の極小部分族の大きさが有限であるような集合族である。ヘリーの定理は、有限次元のユークリッド空間内の凸集合がヘリー族を形成することを述べている。

抽象単体複体とは、下向きに閉じた集合族（有限集合からなる）です。つまり、集合のすべての部分集合は⁠ ⁠にも存在します。マトロイドは、拡大特性と呼ばれる追加の特性を持つ抽象単体複体です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

すべてのフィルターはセットのファミリーです。

凸空間は、任意の鎖の交差と和（包含関係に関して）に関して閉じた集合族である。

集合族の他の例としては、独立系、グリードイド、反マトロイド、ボルノロジー空間などがあります。

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 上の集合の族${\displaystyle \オメガ}$ v t e
必ず真である${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	監督​${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
πシステム
セミリング										一度もない
半代数（半体）										一度もない
モノトーンクラス						場合にのみ${\displaystyle A_{i}\searrow }$	場合にのみ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆システム（ディンキンシステム）				場合にのみ${\displaystyle A\subseteq B}$			またはそれらが互いに素である場合のみ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			一度もない
リング（順序理論）
環（測度論）										一度もない
δ環										一度もない
𝜎リング										一度もない
代数学（分野）										一度もない
𝜎代数（𝜎体）										一度もない
フィルター
適切なフィルター				一度もない	一度もない				一度もない
プレフィルター（フィルターベース）
フィルターサブベース
オープントポロジー							（任意であっても）${\displaystyle \cup }$			一度もない
閉じたトポロジ						（任意であっても）${\displaystyle \cap}$				一度もない
必ず真である${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	下向き​	有限交差	有限結合	相対的な補語	補完する${\displaystyle \オメガ}$	可算交差点	可算和集合	含む${\displaystyle \オメガ}$	含む${\displaystyle \varnothing }$	有限交差特性
さらに、半環とはπ系であり、その補集合は π系における有限な素集合の和集合に等しい。半代数はπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半環はπ系であり、その補集合はπ系における任意の元であり、${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

参照

• 集合の代数 – 集合に関する恒等式と関係
• クラス（集合論）  – 数学における集合の集まりで、そのメンバーの性質に基づいて定義できるもの
• 組み合わせ設計 – 有限集合の対称的な配置
• δ環 – 可算交差に関して閉じた環
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• 一般化量化子 – 形式意味論において集合の集合を表す表現
• インデックス付きファミリー – オブジェクトのコレクション。各オブジェクトは、インデックス セットの要素に関連付けられています。
• λシステム（ディンキンシステム）  – 補集合と可算な離散和集合に関して閉じた族
• π-システム – 交差に関して閉じた集合の族
• 集合環 – 和集合と相対補集合の下で閉じた集合族
• ラッセルのパラドックス – 集合論におけるパラドックス（または、それ自身を含まない集合の集合）
• σ-代数 – 集合代数の代数的構造
• σ環 – 可算和集合に関して閉じた集合族

注記

参考文献

• ビッグス、ノーマン L. (1985)、『離散数学』、オックスフォード: クラレンドン・プレス、ISBN 0-19-853252-0
• Brualdi, Richard A. (2010) 『Introductory Combinatorics』（第5版）、アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：Prentice Hall、ISBN 978-0-13-602040-0
• ロバーツ、フレッド S. Tesman、Barry (2009)、Applied Combinatorics (第 2 版)、ボカラトン: CRC Press、ISBN 978-1-4200-9982-9

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおけるセット族に関連するメディア