一意性の集合

数学において、一意集合とは、必ずしもフーリエ級数ではない三角関数展開に関連する概念である。三角関数展開の研究は、調和解析の比較的純粋な分野である。

意味

円の部分集合Eは、一意性集合、または三角関数展開が

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c(n)e^{int}}$

はゼロに収束する。 ${\displaystyle t\notin E}$

すべてのnに対してc ( n )=0です。

それ以外の場合、Eは重複度集合（M集合またはメンショフ集合と呼ばれることもある）である。実数直線および高次元においても同様の定義が適用される。高次元の場合、例えば「球体上の和に関して一意性の集合」のように、和の順序を指定しなければならない。

定義の重要性を理解するには、フーリエ解析の考え方から抜け出すことが重要です。フーリエ解析では、係数c ( n )は関数の積分によって導かれるため、一意性の問題はありません。したがって、フーリエ解析における動作の順序は次のようになります。

• 関数fから始めます。
• フーリエ係数を計算するには

${\displaystyle c(n)=\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt}$

• 質問: 和はfに収束しますか? どのような意味でですか?

一意性理論では順序が異なります。

• 和が何らかの意味で収束するような係数c ( n )から始める
• 質問: これは関数のフーリエ係数であることを意味しますか?

実際には、（上記の定義のように）和がゼロに収束すると仮定し、それがすべてのc ( n ) がゼロになることを意味するかどうかを問うことは、通常十分に興味深いことです。解析学ではよくあることですが、最も興味深い疑問は点ごとの収束について議論するときに生じます。したがって、上記の定義は、どこでも収束する、あるいはほぼどこでも収束するというどちらの方法も満足のいく答えを与えない ことが明らかになったときに生まれました。

初期の研究

空集合は一意性の集合である。これは単に、三角級数があらゆる点でゼロに収束するならば、それは自明であることを意味する。これはリーマンによって、二重形式積分という繊細な手法を用いて証明され、得られた和がテプリッツ演算子を用いたある種の一般化された二階微分を持つことが示された。後に、ゲオルク・カントールはリーマンの手法を一般化し、任意の可算な閉集合は一意性の集合であることを示し、この発見が彼を集合論の発展へと導いた。集合論におけるもう一人の革新者であるポール・コーエンは、一意性の集合に関する論文でそのキャリアをスタートさせた。

ルベーグ積分理論が発展するにつれ、測度が零である集合はどれも一意性の集合であると仮定されるようになった。一次元においては、フーリエ級数の局所性原理は、正測度の集合はどれも重複性の集合であることを示している（高次元においては、これは未解決の問題である）。これは、 1916年にディミトリイ・E・メンショフによって反証され、メンショフは測度が零である重複性の集合の例を構築した。

変革

一意性集合の平行移動と拡大は一意性集合である。一意性閉集合の可算族の和集合は一意性集合である。2つの一意性集合の和集合が一意性集合にならない例が存在するが、この例の集合はボレル集合ではない。任意の2つの一意性ボレル集合の和集合が一意性集合であるかどうかは未解決問題である。

特異分布

閉集合が一意性を持つ集合とは、その集合上でサポートされている（したがって、特にそれが特異でなければならない） 分布Sが存在するときのみである。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\widehat {S}}(n)=0}$

（ここにフーリエ係数がある）。初期の一意性集合の例では、問題の分布は実際には測度であった。しかし1954年、イリヤ・ピアテツキ＝シャピロは、フーリエ係数がゼロに近づく測度を全く支持しない一意性集合の例を構築した。言い換えれば、分布の一般化が必要である。 ${\displaystyle {\hat {S}}(n)}$

構造の複雑さ

一意集合が複雑な構造を持つという最初の証拠は、カントール類似集合の研究から得られました。ラファエル・サレムとジグムントは、分割比 ξ を持つカントール類似集合が一意集合となる場合と、1/ξ がピゾ数である場合、つまり、その共役数(もしあれば)がすべて 1 より小さいという特性を持つ代数的整数である場合に限り、それを示しました。これは、一意集合であるという特性が算術特性と関係があり、単にサイズの概念ではないという最初の実証でした (数年前にニーナ・バリがξ 有理数のケース (カントール類似集合が一意集合となる場合と、1/ξ が整数である場合に限り) を証明していました)。

1950年代以降、この複雑性を形式化する研究が盛んに行われてきた。コンパクト集合空間内の集合として考えられる一意集合族（ハウスドルフ距離を参照）は、解析階層内に位置づけられていた。この研究において重要な役割を果たすのは、集合のインデックスである。インデックスは1からω1までの_順序数であり、ピアテツキー＝シャピロによって初めて定義された。今日では、一意集合の研究は、調和解析学の分野であると同時に、記述集合論の分野でもある。

参考文献

• ポール・J・コーエン（1958）「三角級数の一意性理論の話題」
• Alexander S. KechrisとAlain Louveau (1987)、『記述的集合論と一意性集合の構造』（ロンドン数学会講演シリーズ128）、ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-35811-6。
• Jean-Pierre KahaneとRaphaël Salem (1994)、アンサンブル パフェとシリーズ三角法、ヘルマン、パリ。ISBN 2-7056-6193-X（フランス語）。