エルデシュ数
1992年のポール・エルデシュ

エルデシュ数（ハンガリー語：[ˈɛrdøːʃ] ）は、数学者ポール・エルデシュと他の人との間の「共同研究の距離」を、数学論文の著者数で測定したものです。同じ原理は、特定の個人が多数の同僚と共同研究を行っている他の分野にも適用されています

概要

パウル・エルデシュ（1913–1996）は、ハンガリーの著名な数学者であり、晩年には500人以上の同僚と共に論文を執筆し、未解決の数学問題の解決に多くの時間を費やしました。[ 1 ]彼は生涯で、少なくとも1525本の論文[ 2 ]を発表し、歴史上他のどの数学者よりも多くの論文を発表しました。[ 1 ]（数学の総ページ数はレオンハルト・オイラーの方が多かったものの、個々の論文数はより少なく、約800本でした。） [ 3 ]エルデシュは、キャリアのほとんどを定住地も仕事もなく過ごしました。彼は持ち物をすべて2つのスーツケースに詰めて旅をし、共同研究したい数学者を訪ね、しばしば予期せず、彼らのもとに滞在することを望んでいました。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

エルデシュ数という概念は、もともとこの数学者の友人たちが彼の膨大な業績を称えるために考案したものです。後に、数学者が未解決の問題の答えを見つけるためにどのように協力するかを研究するためのツールとして注目を集めました。エルデシュ数を代理指標として用いて、研究者間のつながりを研究するプロジェクトがいくつか行われています。[ 7 ]例えば、エルデシュの共同研究グラフは、著者がどのようにクラスターを形成しているか、論文あたりの共著者数が時間とともにどのように変化するか、あるいは新しい理論がどのように伝播していくかを教えてくれます。[ 8 ]

いくつかの研究によると、一流の数学者はエルデシュ数が特に低い傾向があることが示されている。[ 9 ]フィールズ賞受賞者のエルデシュ数の中央値は 3 である。エルデシュ数が 2 以下の数学者はわずか 7,097 人 (共同研究の道筋がある数学者の約 5%) である。[ 10 ]時が経つにつれ、エルデシュ数の低い数学者が亡くなり共同研究ができなくなるため、達成可能な最低のエルデシュ数は必然的に増加する。それでも、歴史上の人物が低いエルデシュ数を持つ場合がある。例えば、有名なインドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンのエルデシュ数はわずか 3 ( GH ハーディ、エルデシュ数 2 経由)であるが、ラマヌジャンが亡くなったとき、ポール・エルデシュはまだ 7 歳であった。[ 11 ]

数学における定義と応用

アリスが1 つの論文でポール・エルデシュと共同研究し、別の論文でボブと共同研究したが、ボブがエルデシュと直接共同研究したことがない場合は、アリスのエルデシュ数は 1 となり、ボブのエルデシュ数は 2 となります。これは、アリスがエルデシュから 2 ステップ離れているためです。

エルデシュ数が割り当てられるには、有限のエルデシュ数を持つ別の人物と共同研究論文を共著している必要がある。ポール・エルデシュ自身にはエルデシュ数0が割り当てられている。ある著者のエルデシュ数は、その共著者の中で最も低いエルデシュ数より1大きい。例えば、エルデシュと共著した著者のエルデシュ数は1である。アメリカ数学会は、数学レビューカタログに掲載されている2人の数学著者間の共同研究距離を測定するための無料オンラインツールを提供している。[ 11 ]

エルデシュは生涯で約1,500本の数学論文を執筆したが、そのほとんどは共著である。彼には509人の直接の共著者がいた。[ 7 ]これらはエルデシュ数1を持つ人々である。彼らと共著した人々（ただしエルデシュ自身とは共著しない）のエルデシュ数は2（2020年8月7日現在で12,600人[ 12 ]）、エルデシュ数が2の人と共著した人々（ただしエルデシュやエルデシュ数が1の人とは共著しない）のエルデシュ数は3、などとなる。エルデシュと繋がるこのような共著の連鎖を持たない人のエルデシュ数は無限大（または未定義の数）である。ポール・エルデシュの死後、新しい研究者が取得できるエルデシュ数の最低値は2である。

二人の著者間の関連性とは何かについては、曖昧さが残る。アメリカ数学会の共同研究距離計算ツールは、 Mathematical Reviewsのデータを使用している。このデータには数学ジャーナルのほとんどが含まれているが、他の分野は限定的にしかカバーされておらず、また一部の非研究出版物も含まれている。エルデシュ数プロジェクトのウェブサイトには次のように記載されている。

...MRシステムの欠点の一つは、共同執筆されたすべての作品、特に死亡記事のような実際には共同研究ではない記事でさえも、正当なリンクを提供しているとみなしてしまうことです。... [ 13 ]

また、次のようにも述べています。

... 頂点uとvの間に辺を含める基準は、両者が何らかの共同研究を行い、その結果として論文が出版されていることです。共著者は何人でも追加可能です。...

ただし、小学校教科書、共同編集者、死亡記事など、研究以外の出版物は除きます。「第二種エルデシュ数」は、エルデシュ数の割り当てを2名のみの共著者による論文に限定します。[ 14 ]

エルデシュ数は、おそらく、エルデシュ数が2である分析家キャスパー・ゴフマンによって初めて印刷物で定義されました。 [ 12 ]ゴフマンは、1969年に「あなたのエルデシュ数とは何ですか？」と題した論文で、エルデシュとの多作な共同研究についての見解を発表しました。 [ 15 ]マイケル・ゴロムの死亡記事のコメントも参照してください。[ 16 ]

フィールズ賞メダリストのエルデシュ数の平均は3と低い。[ 10 ]エルデシュ数2のフィールズ賞メダリストには、アトレ・セルバーグ、小平邦彦、クラウス・ロス、アラン・ベイカー、エンリコ・ボンビエリ、デイヴィッド・マンフォード、チャールズ・フェファーマン、ウィリアム・サーストン、シン・トン・ヤウ、ジャン・ブルガン、リチャード・ボルチャーズ、マンジュル・バルガヴァ、ジャン＝ピエール・セール、テレンス・タオがいる。エルデシュ数1のフィールズ賞メダリストはいない。[ 17 ]しかし、エンドレ・シェメレディはエルデシュ数1のアーベル賞受賞者である。[ 9 ]

エルデシュの最も頻繁な協力者

エルデシュは数百人の共著者と共同研究を行っていましたが、中には数十本の論文を共著した人物もいました。以下は、エルデシュと最も頻繁に共著した10人と、エルデシュと共著した論文数、すなわち共同研究の数です。[ 18 ]

共著者<​​extra_id_1>アンドラーシュ・サルコジ
アンドラーシュ・サルコジアンドラス・ハジナル
アンドラス・ハジナルラルフ・フォードリー
ラルフ・フォードリーリチャード・シェルプ
リチャード・シェルプセシル・C・ルソー
セシル・C・ルソーヴェラ・T・ソス
ヴェラ・T・ソスヴェラ・T・ソス
アルフレッド・レーニパル・トゥラン
パル・トゥランエンドレ・セメレディ
エンドレ・セメレディロナルド・グラハム
ロナルド・グラハム関連分野

数学的協力に関する統計、1903～2016年

#受賞者
#エルデシュ %エルデシュ 最小 最大 平均 中央値 フィールズ賞
100.0% ラルフ・フォードリー ラルフ・フォードリー 2 6 3.36 3 ノーベル経済学賞
76 47 61.84% 8 6 4.11 4 ノーベル化学賞
172 24.42% セシル・C・ルソー 10 ノーベル経済学賞 5.48 5 ノーベル医学賞
210 58 27.62% 12 ノーベル経済学賞 5.50 ノーベル物理学賞 ノーベル医学賞
200 159 79.50% 5.63 6 5.50 物理学 ノーベル医学賞

ノーベル物理学賞受賞者のうち、アルバート・アインシュタインとシェルドン・グラショーのエルデシュ数は2です。エルデシュ数が3のノーベル賞受賞者には、エンリコ・フェルミ、オットー・シュテルン、ヴォルフガング・パウリ、マックス・ボルン、ウィリス・E・ラム、ユージン・ウィグナー、リチャード・P・ファインマン、ハンス・A・ベーテ、マレー・ゲルマン、アブドゥス・サラム、スティーブン・ワインバーグ、ノーマン・F・ラムゼイ、フランク・ウィルチェク、デビッド・ワインランド、ジョルジオ・パリシがいます。フィールズ賞を受賞した物理学者エド・ウィッテンのエルデシュ数は3です。 [ 10 ]

生物学

Biology

遺伝学、生物医学工学、数理生物学、計算生物学の分野で活躍する多くの著名な科学者のエルデシュ数は2である。その中には、ズヴィア・アガー、ジョエル・E・コーエン、ユージン・クーニン、ブルース・クリスタル、エリック・ランダー、リオル・パクター、テンプル・F・スミスがいる。[ 21 ]これらの著者との共同研究を通じて、エルデシュ数が3である生物学者は多く、生物科学の論文の著者のほぼ全員がエルデシュに結び付けられると主張されている。[ 10 ]

金融と経済学

ノーベル経済学賞受賞者のうち、エルデシュ数が2の人は少なくとも2人います。ハリー・M・マーコウィッツ（1990年）とレオニード・カントロヴィッチ（1975年）です。エルデシュ数が2の他の金融数学者には、デビッド・ドノホ、マーク・ヨール、ヘンリー・マッキーン、ダニエル・ ストロック、ジョセフ・ケラーがいます

エルデシュ数が3のノーベル経済学賞受賞者には、ケネス・J・アロー（1972年）、ミルトン・フリードマン（1976年）、ハーバート・A・サイモン（1978年）、ジェラール・ドブリュー（1983年）、ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニア（1994年）、ジェームズ・マーリーズ（1996年）、ダニエル・マクファデン（2000年）、ダニエル・カーネマン（2002年）、ロバート・J・オーマン（2005年）、レオニード・ハーウィッツ（2007年）、ロジャー・マイヤーソン（2007年）、アルビン・E・ロス（2012年）、ロイド・S・シャプレー（2012年）、ジャン・ティロール（2014年）がいる。[ 22 ]

エルデシュ数が低い数学者によって設立された投資会社もいくつかある。その中には、アクスコム・テクノロジーズのジェームズ・B・アックスやルネッサンス・テクノロジーズのジェームズ・H・シモンズなどがいるが、両者ともエルデシュ数は3である。[ 23 ] [ 24 ]

哲学

より正式な哲学は数学の基礎と推論を共有しているため、これらの分野はかなり重複しており、エルデシュ数は多くの哲学者に利用可能です。[ 25 ]哲学者のジョン・P・バージェスとブライアン・スキルムズのエルデシュ数は2です。[ 12 ]エルデシュ数が2であるジョン・バーワイズとジョエル・デイビッド・ハムキンスも哲学に大きく貢献していますが、主に数学者として説明されています。

法律

リチャード・ポズナー判事は、アルビン・E・ロスと共著しており、エルデシュ数は最大4です。ハーバード大学ロースクールで教鞭をとる政治家、哲学者、法理論家のロベルト・マンガベイラ・ウンガーは、リー・スモーリンと共著しており、 エルデシュ数は最大4です

政治

2005年から2021年までドイツ首相を務めたアンゲラ・メルケルのエルデシュ数は最大5です。[ 17 ]

工学

工学の一部の分野、特に通信理論と暗号学は、エルデシュが提唱した離散数学を直接利用しています。したがって、これらの分野の専門家が低いエルデシュ数を持つことは驚くべきことではありません。例えば、カリフォルニア工科大学の電気工学教授であるロバート・マケリースは、エルデシュ自身と共同研究を行っていたため、エルデシュ数は1でした。[ 26 ] RSA暗号システムの発明者である暗号学者のロン・リベスト、アディ・シャミール、レナード・エイドルマンは、いずれもエルデシュ数2です。[ 21 ]

言語学

ルーマニアの数学者であり計算言語学者でもあるソロモン・マーカスは、 1957年にエルデシュと共著したActa Mathematica Hungarica誌の論文でエルデシュ数を1としました。[ 27 ]

影響

1985年、アデレード大学で当時10歳だったテレンス・タオを教えるポール・エルデシュ。タオはカリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学教授となり、2006年にフィールズ賞を受賞し、 2007年には王立協会フェローに選出されました。彼のエルデシュ数は2です

エルデシュ数は長年にわたり世界中の数学者の間で語り継がれてきました。2000年代初頭に活躍した数学者の中で、有限のエルデシュ数を持つ人の数は最大15、中央値は5、平均値は4.65でした。[ 7 ]有限のエルデシュ数を持つ人のほぼ全員が8未満の数を持っています。

今日の科学では学際的なコラボレーションが非常に頻繁に行われているため、他の多くの科学分野でも数学者以外の非常に多くの人々が有限のエルデシュ数を持っています。[ 10 ]例えば、政治学者のスティーブン・ブラムスのエルデシュ数は2です。生物医学研究では、統計学者が出版物の著者に含まれることは一般的であり、多くの統計学者は、エルデシュ数が1であるペルシ・ディアコニスやポール・デヘーベルス、またはエルデシュ数が2であるジョン・テューキーを介してエルデシュにリンクできます。同様に、著名な遺伝学者エリック・ランダーと数学者のダニエル・クライトマンは論文で協力しており、[ 28 ] [ 29 ]またクライトマンのエルデシュ数は1であるため、[ 30 ]遺伝学とゲノミクスのコミュニティの大部分は、ランダーと彼の多数の協力者を介してリンクできます。同様に、グスタフス・シモンズとの共同研究は、暗号研究コミュニティ内でエルデシュ数への扉を開き 、多くの言語学者が有限エルデシュ数を持っているが、その多くはノーム・チョムスキー（エルデシュ数4）、[ 31 ]ウィリアム・ラボフ（3）、[ 32 ]マーク・リバーマン（3）、[ 33 ]ジェフリー・プルム（3）、[ 34 ]イヴァン・サグ（4）などの著名な学者との共同研究の連鎖によるものである。[ 35 ]芸術分野とのつながりもある。[ 36 ]

アレックス・ロペス＝オルティスによれば、1986年から1994年の3回の周期におけるフィールズ賞とネヴァンリンナ賞の受賞者のエルデシュ数は最大で9である。

初期の数学者は現代の数学者よりも論文数が少なく、共著論文を発表することも稀でした。有限のエルデシュ数を持つと知られている最古の人物は、出版資格の基準によって、アントワーヌ・ラボアジエ（1743年生まれ、エルデシュ数13）、リヒャルト・デデキント（1831年生まれ、エルデシュ数7）、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（1849年生まれ、エルデシュ数3）のいずれかです。[ 37 ]

マーティン・トンパ[ 38 ]は、エルデシュ数問題の有向グラフ版を提案した。これは、共同研究グラフの辺をアルファベット順で前の著者から後の著者へと方向付け、著者の単調エルデシュ数を、この有向グラフにおけるエルデシュから著者への最長経路の長さと定義するものである。彼は、この種の経路の長さが12であることを発見した。

また、マイケル・バーは「有理エルデシュ数」を提唱し、エルデシュとp本の共同論文を執筆した人物にはエルデシュ数1/ pが割り当てられるという考えを一般化している。[ 39 ]第二種共同マルチグラフ（ただし、第一種の場合も扱う方法がある）から、2人の数学者が共同執筆した論文ごとに1本の辺を持つ電気回路網を形成する。2つのノード間の総抵抗は、これらの2つのノードがどれだけ「近い」かを示す。

「個々の研究者にとって、エルデシュ数のような指標はネットワークの構造的特性を捉えるのに対し、 h指数は出版物の引用の影響力を捉える」と主張されており、「共著ネットワークのランキングでは、現実的で受け入れ可能なランキングを生成するために、両方の指標を考慮に入れるべきだということは容易に納得できる」とされている。[ 40 ]

2004年、エルデシュ数が4の数学者ウィリアム・トージアがeBayで共著の権利をオークションにかけたため、購入者はエルデシュ数が5になった。1031ドルで落札したのはスペインの数学者だったが、彼は支払いを拒否し、嘲笑だと考えた行為を阻止するために入札しただけだった。[ 41 ] [ 42 ]

バリエーション

この概念には、他の分野への応用としていくつかのバリエーションが提案されています。特に、映画への共演の連鎖によって俳優を俳優ケビン・ベーコンと結び付けるベーコン数（ゲーム「Six Degrees of Kevin Bacon 」など）が挙げられます。これは、ゴフマンのエルデシュ数に関する論文から25年後の1994年に作成されました

少数の人々はエルデシュ数とベーコン数の両方に関係があり、エルデシュ・ベーコン数と呼ばれる、2つの数の和をとることで結合する数を持っています。一例として、テレビシリーズ『素晴らしき日々 』でウィニー・クーパー役を演じたことで最もよく知られている女優兼数学者のダニカ・マッケラーが挙げられます。彼女のエルデシュ数は4です[ 43 ] [ 44 ]、ベーコン数は2です[ 45 ]。

さらに拡張することも可能です。例えば、「エルデシュ＝ベーコン＝サバス数」は、エルデシュ＝ベーコン数と、バンド「ブラック・サバス」が公衆の面前で歌う際の協力距離を合わせたものです。物理学者のスティーブン・ホーキングはエルデシュ＝ベーコン＝サバス数が8でした[ 46 ] 。女優のナタリー・ポートマンは11（エルデシュ数は5）です[ 47 ] 。

チェスにおいて、モーフィ数は、当時最も偉大なチェスプレイヤーであり、非公式の世界チェスチャンピオンと広く考えられていたポール・モーフィとのつながりを表します。[ 48 ]

囲碁において、秀策番号は、その棋士が当時最強の棋士であった本因坊秀策との関係を表す。 [ 49 ] [ 50 ]

ビデオゲームでは、リュウナンバーはビデオゲームのキャラクターとストリートファイターのキャラクターリュウとのつながりを表します。[ 51 ] [ 52 ]

参照

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