ジッヒャーマン・ダイス

ジッチャーマンダイス（ˈ s ɪ k ər m ən）は、6面ダイスで、1、2、2、3、3、4の面と、1、3、4、5、6、8の面を持つ、非標準的な数字のダイスである。ジッチャーマンダイスは、通常のダイスではなく、正の整数のみを持ち、その合計の確率分布が通常のダイスと同じである唯一の6面ダイスとして知られている。1978年にニューヨーク州バッファローのジョージ・ジッチャーマンによって発明された。

数学

初等的な組合せ論における標準的な演習の一つは、公平な6面サイコロを2つ選び、任意の値が出る場合の出目の数を計算することです（2つのサイコロの出目の和を求めることで）。以下の表は、任意の値が出る場合の出目の数を示しています。 $n$

与えられた数字を投げる方法の数
n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
方法の数	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

クレイジーダイスは、基本的な組合せ論における数学的な演習であり、6面ダイスのペアの面のラベルを書き換えて、標準的なラベルと同じ和の頻度を再現します。ジッヘルマンダイスは、正の整数のみでラベルを書き換えたクレイジーダイスです。（整数が正である必要がない場合、同じ確率分布を得るために、任意の自然数kに対して、一方のダイスの各面の数字をkだけ減らし、もう一方のダイスの数字をkだけ増やすことができます。これにより、無限の解が得られます。）

以下の表は、標準的なサイコロとジッヒャーマンサイコロの出目の合計をすべてリストしたものです。ジッヒャーマンサイコロの片方は分かりやすくするために色分けされており、1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4です。もう片方は黒く塗られており、1 – 3 – 4 – 5 – 6 – 8 です。

標準サイコロとジッヒャーマンサイコロの可能な合計
	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
標準ダイス	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
ジッヒャーマンダイス	1 +1	2 +1 2 +1	1 + 3 3 + 1 3 + 1	1 + 4 2 + 3 2 + 3 4 + 1	1 + 5 2 + 4 2 + 4 3 + 3 3 + 3	1 + 6 2 + 5 2 + 5 3 + 4 3 + 4 4 + 3	2 + 6 2 + 6 3 + 5 3 + 5 4 + 4	1 + 8 3 + 6 3 + 6 4 + 5	2 + 8 2 + 8 4 + 6	3 + 8 3 + 8	4 + 8

合計以外の特性は、通常のサイコロを模倣する必要はありません。例えば、通常のサイコロではダブルロールの確率は1/6（36通りの組み合わせのうち、1+1、2+2、3+3、4+4、5+5、6+6）ですが、ジッヘルマンサイコロでは1/9（1 + 1、3 + 3、3 +3、4 + 4）です。^{[ 1 ]}

歴史

シッチャーマンサイコロは、ニューヨーク州バッファローのジョージ・シッチャーマンによって発見され、1978年にマーティン・ガードナーによってサイエンティフィック ・アメリカン誌の記事で初めて報告されました

反対側のすべての数字のペアの合計が等しい数字、つまり最初の数字が 5、2 番目の数字が 9 になるように数字を配置することができます。

後にガードナーは、ジッヒャーマンへの手紙の中で、知り合いのマジシャンがジッヒャーマンの発見を予期していたと述べています。ジッヒャーマンのダイスを3つ以上のダイスや非正方体ダイスに一般化した例については、ブロライン（1979年）、ガリアンとルーシン（1979年）、ブランソンとスウィフト（1997/1998年）、ファウラーとスウィフト（1999年）を参照してください。

数学的根拠

標準的なn面サイコロを、各目が出る確率が1/ nとなるような整数[1,n]が面に刻まれたn面体とします。標準的な立方体（6面体）サイコロを考えてみましょう。このようなサイコロを投げる際の生成関数はです。この多項式と自身の積は、2つのサイコロを投げる際の生成関数となります $x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}$ $x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}$

この多項式は、円分多項式または基本因数分解を使用して解析できます。

オプション1：円分多項式：

我々は次のことを知っています: ここでdはnの約数の範囲にあり、d次の円分多項式であり、 $x^{n}-1=\prod_{d\,\mid\,n}\Phi_{d}(x).$ $\Phi_{d}(x)$

{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}

。

したがって、単一のn面標準サイコロの生成関数は次のように導出されます

x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)

$\Phi_{1}(x)=x-1$ となり、打ち消される。したがって、6面体標準サイコロの生成関数の因数分解は

x\,\Phi_{2}(x)\,\Phi_{3}(x)\,\Phi_{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)

オプション2 : 基本的な因数分解:

$x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}=x{\frac {(x^{6}-1)}{x-1}}$ 。

$x^{6}-1=(x^{3})^{2}-1=(x^{3}-1)(x^{3}+1)=((x-1)(x^{2}+x+1)((x+1)(x^{2}-x+1))$ 。

したがって、 $x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}=x{\frac {x^{6}-1}{x-1}}=x(x+1)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1).$

2つのサイコロを投げる際の生成関数は、これらの因子のそれぞれの2つのコピーの積です。これらを分割して、目が伝統的な配置ではない2つの合法的なサイコロを形成するにはどうすればよいでしょうか。ここで「合法」とは、係数が非負で合計が6になり、各サイコロが6つの面を持ち、すべての面に少なくとも1つの斑点があることを意味します。つまり、各サイコロの生成関数は、すべて正の指数で定数項（サイコロの面の値を表す）がなく、正の係数（各値を示す面の数を表す）の合計が6になる多項式でなければなりません。したがって、および）。 $(x(x+1)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1))^{2}$ $p(x)$ $p(0)=0$ $p(1)=6$

因数を代入して係数を合計すると、、、となります。因数の積が両方とも6になるようにするには、各因数をと組み合わせる必要があります。残りの項のペア（両方とも）は、分離するか（対称解が得られ、従来のサイコロを表します）、結合してジッヒャーマンサイコロを表します。 $x=1$ $x+1=1+1=2$ $x^{2}+x+1=1+1+1=3$ $x^{2}-x+1=1-1+1=1$ $x+1=2$ $x^{2}+x+1=3$ $x^{2}+x+1$

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}

そして

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}

これにより、ジッヒャーマンサイコロの面の目の分布は、上記のように{1, 2, 2, 3, 3, 4}と{1, 3, 4, 5, 6, 8}となります

この手法は、任意の面数を持つサイコロに拡張できます。

参考文献

Broline, D. (1979)、「サイコロの面の番号の付け直し」、Mathematics Magazine、52 (5)、Mathematics Magazine、Vol. 52、No. 5: 312– 315、doi : 10.2307/2689786、JSTOR 2689786
ブランソン, BW; スウィフト, ランドール J. (1998)「等確率和」、数学スペクトラム、30 (2): 34– 36
ファウラー、ブライアン・C.; スウィフト、ランドール・J. (1999)、「サイコロの再ラベル付け」、カレッジ数学ジャーナル、30 (3)、カレッジ数学ジャーナル、第30巻、第3号: 204– 208、doi : 10.2307/2687599、JSTOR 2687599
Gallian, JA; Rusin, DJ (1979)、「円分多項式と非標準サイコロ」、離散数学、27 (3): 245– 259、doi : 10.1016/0012-365X(79)90161-4、MR 0541471
ガードナー、マーティン（1978）「数学ゲーム」、サイエンティフィック・アメリカン、238（2）：19-32、Bibcode：1978SciAm.238b..19G、doi：10.1038/scientificamerican0278-19
ニューマン、ドナルド・J. (1998).解析的数論. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98308-2。

参照

2キューブカレンダー

参考文献

^ DataGenetics、 Rolling Dice、2013年6月。

外部リンク

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[1] DataGenetics、 Rolling Dice、2013年6月。

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