シーゲルG関数

数学において、シーゲルG関数は、CLシーゲルによって導入された超越数論における関数のクラスである。多項式係数を持つ線型微分方程式を満たし、その冪級数展開の係数は固定された代数体上にあり、高さは最大でも指数関数的増加である。

意味

シーゲルG関数は無限級数で与えられる関数である。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

ここで、係数a _{n は}すべて同じ代数体Kに属し、次の 2 つの特性を持ちます。

1. fは、 zの多項式を係数とする線型微分方程式の解です。より正確には、となる微分演算子 が存在します。${\displaystyle L\in K[z,d_{z}],L\neq 0}$ ${\displaystyle Lf=0}$
2. 最初のn個の係数の射影高さは、ある固定定数c > 0 に対してO ( c ⁿ )です 。つまり、（代数的数の分母は代数的整数となる最小の正の整数です）の分母は であり、 の代数的共役の絶対値は で制限されます。${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle mx}$ ${\displaystyle \leq c^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle c^{n}}$

2番目の条件は、 fの係数が等比級数よりも速く増加しないことを意味します。実際、これらの関数は等比級数の一般化と見なすことができ、E関数が指数関数の一般化であるのと同様に、G関数と呼ばれます。

参考文献

• Beukers, F. (2001) [1994]、「G関数」、数学百科事典、EMSプレス
• CL Siegel、「Über einige Anwendungen diophantischer Approachimationen」、Ges。アブハンドルンゲン、I、スプリンガー (1966)