シーゲルの上部ハーフスペース

数学において、正の整数 が与えられたとき、次数 のシーゲル上半空間（シーゲルかくはんそう、英: Siegel upper half space）は、虚部が正定値である複素数上の対称行列の集合である。これはシーゲル ( 1939 )によって導入された。この空間はシンプレクティック群に関連付けられた対称空間である。ポアンカレ上半平面を復元すると、 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\times g}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g=1}$

この空間はジーゲル上半平面と呼ばれることもある。^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$

定義

複雑な領域として

空間はによって定義される の部分集合です。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$ ${\displaystyle M_{g}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\{X+iY:X,Y\in M_{g}(\mathbb {R} ),X^{t}=X,\,Y^{t}=Y,\,Y{\text{ is definite positive}}\}.}$

これは複素対称行列の空間における開集合であるため、複素次元の複素多様体です。 ${\displaystyle g\times g}$ ${\displaystyle {\tfrac {g(g+1)}{2}}}$

これは、シーゲル領域の特殊なケースです。

対称空間として

シンプレクティック群は 次の行列群として定義できます。 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}:A,B,C,D\in M_{g}(\mathbb {R} ),\,AB^{t}-BA^{t}=0,CD^{t}-DC^{t}=0,AD^{t}-BC^{t}=1_{g}\right\}.}$

次のように作用します。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$

${\displaystyle Z\mapsto (AZ+B)(CZ+D)^{-1}{\text{ where }}Z\in {\mathcal {H}}_{g},{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {R} ).}$

この作用は連続的、忠実かつ推移的である。この作用に対する点の安定化因子はユニタリ部分群であり、これはの最大コンパクト部分群である。^{[ 2 ]}したがって、は の対称空間に微分同相である。 ${\displaystyle i1_{g}\in {\mathcal {H}}_{g}}$ ${\displaystyle U(g)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )}$

上の不変リーマン計量は、次のように座標で表すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$

${\displaystyle ds^{2}={\text{tr}}(Y^{-1}dZY^{-1}d{\bar {Z}}),\,Z=X+iY.}$

アーベル多様体のモジュライ空間との関係

シーゲルモジュラー群

シーゲル・モジュラー群はの算術部分群 です。 ${\displaystyle \Gamma _{g}=\mathrm {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )}$

モジュライ空間

による商は、次元主分極複素アーベル多様体のモジュライ空間として以下のように解釈できる。 ^{[ 3 ]}の場合、 によって定義される上の正定値エルミート形式は格子上で整数値を取る。の元を行ベクトルと見なすため、左乗法となる。したがって、複素トーラスはアーベル多様体であり、その分極である。この形式はユニモジュラであり、分極が主であることを意味する。この構成は逆順にもできるため、商空間は主分極アーベル多様体を媒介 変数化する。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$ ${\displaystyle \Gamma _{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \tau =X+iY\in {\mathcal {H}}_{g}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$ ${\displaystyle H(z,w)=w^{*}Y^{-1}z}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{g}+\mathbb {Z} ^{g}\tau }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{g}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{g}+\mathbb {Z} ^{g}\tau }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma _{g}\backslash {\mathcal {H}}_{g}}$

参照

• パラモジュラー群、シーゲルモジュラー群の一般化
• ジーゲルモジュラー形式、ジーゲル上半空間上で定義される保型形式の一種
• シーゲルモジュラー多様体、シーゲル上半空間の商として構成されるモジュライ空間

参考文献

1. フリードランド, シュムエル; フレイタス, ペドロ J. (2004). 「ジーゲル上半平面の再考 I」.線形代数応用. 376 : 19–44 . doi : 10.1016/S0024-3795(03)00662-1 .
2. ファン・デル・ギア 2008、185ページ。
3. ファン デル ギア 2008、セクション 10.

• Bowman, Joshua P. 「Siegel 半平面に関するいくつかの基本的な結果」(PDF)。。

• van der Geer、Gerard (2008)、「Siegel モジュラー形式とその応用」、Ranestad、Kristian (編)、The 1-2-3 of modular form、Universitext、ベルリン: Springer-Verlag、pp.  181–245、doi : 10.1007/978-3-540-74119-0、ISBN 978-3-540-74117-6、MR  2409679

• Siegel、Carl Ludwig (1939)、「Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades」、Mathematische Annalen、116 : 617–657、doi : 10.1007/BF01597381、ISSN  0025-5831、MR  0001251、S2CID  124337559