数学において、シェルピンスキー集合とは、実ベクトル空間の非可算部分集合であり、そのすべての測度零集合との交差が可算である。シェルピンスキー集合の存在は、 ZFCの公理とは独立である。シェルピンスキー（1924）は、連続体仮説が成り立つ 場合、シェルピンスキー集合が存在することを示した。一方、ℵ 1に対するマーティンの公理が成り立つ場合、シェルピンスキー集合は存在しない。シェルピンスキー集合は弱ルージン集合であるが、ルージン集合ではない（Kunen 2011, p. 376）。
シェルピンスキー集合の例
Rの 2 ℵ 0個の測度 0 部分集合の集合を一つ選び、すべての測度 0 部分集合がそれらのどれか一つに含まれるようにする。連続体仮説により、可算順序数αに対してそれらをS αとして列挙することができる。可算順序数βごとに、α < βとなる集合S αのいずれにも含まれない実数x βを選ぶ。これは、これらの集合の和集合は測度 0 でありR全体ではないため可能である。すると、これらの実数x βすべてからなる非可算集合X は、各集合S αに可算な数の要素しか持たないため、シェルピンスキー集合となる。
シェルピンスキー集合は加法による部分群となる可能性がある。これは、α < β に対して ( S α + X )/ nという形式の集合の可算個数のいずれにも属さない実数x βを選択することで、上記の構成を修正するものである。ここでnは正の整数であり、Xはα < βに対してx αの整線形結合である。すると、これらの数によって生成される群はシェルピンスキー集合であり、加法による群となる。この構成のより複雑なバリエーションは 、 実数の 部分体または実閉部分体であるシェルピンスキー集合の例を生み出す。
参考文献
- クネン、ケネス（2011年）「集合論」『論理学研究』第34巻、ロンドン：カレッジ出版、ISBN 978-1-84890-050-9、MR 2905394、Zbl 1262.03001
- Sierpiński, W. (1924)、「Sur l'hypothèse du continu (2ℵ0 = ℵ1)」、Fundamenta Mathematicae、5 (1): 177–187、doi :10.4064/fm-5-1-177-187
