シルバーマン・テプリッツ定理

数学において、シルバーマン・テプリッツ定理は、オットー・テプリッツによって初めて証明され、級数和可能性理論における結果であり、正則な行列和可能性法を特徴づける。正則な行列和可能性法は、収束列の極限を保存する線形列変換である。 [ 1 ]この線形列変換は、発散級数の部分和の発散列に適用することで、それらの級数の一般化された和を与えることができる。

複素数値要素を持つ無限行列は、 次のすべての特性を満たす 場合にのみ、正規行列加算法を定義します。（1つの私、j）私、j∈北{\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }}

リム私→∞1つの私、j＝0j∈北(すべての列シーケンスは 0 に収束します。)リム私→∞∑j＝0∞1つの私、j＝1(行の合計は 1 に収束します。)すする私∑j＝0∞|1つの私、j|<∞(行の絶対合計は制限されます。){\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(すべての列シーケンスは 0 に収束します。)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(行の合計は 1 に収束します。)}}\\[3pt]&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(行の絶対値の合計は有界です。)}}\end{aligned}}}

例としては、チェザロ和法があります。これは、

1つのメートルn＝{1メートルn≤メートル0n>メートル＝（10000⋯1212000⋯13131300⋯141414140⋯1515151515⋯⋮⋮⋮⋮⋮⋱）。{\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}.}

正式な声明

前述の複素要素の無限行列が以下の条件を満たすものとします。 （1つの私、j）私、j∈北{\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }}

  1. リム私→∞1つの私、j＝0{\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0}すべての固定値に対して。j∈北{\displaystyle j\in \mathbb {N} }
  2. すする私∈北∑j＝1私|1つの私、j|<∞{\displaystyle \sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert <\infty };

は に収束する複素数列とする。 を重み付き和列 と表記する。 zn{\displaystyle z_{n}}リムn→∞zn＝z∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }}Sn{\displaystyle S_{n}}Sn＝∑メートル＝1n1つのn、メートルzメートル{\displaystyle S_{n}=\sum _{m=1}^{n}a_{n,m}z_{m}}

すると次の結果が成り立ちます。

  1. もし なら、。リムn→∞zn＝z∞＝0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }=0}リムn→∞Sn＝0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=0}
  2. かつならば。[ 2 ]​リムn→∞zn＝z∞≠0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }\neq 0}リム私→∞∑j＝1私1つの私、j＝1{\displaystyle \lim _{i\to \infty }\sum _{j=1}^{i}a_{i,j}=1}リムn→∞Sn＝z∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{S_{n}}=z_{\infty }}

証拠

1 を証明する。

を固定した場合、複素数列、、 がゼロに近づくのは、実数列、 、がそれぞれゼロに近づく場合と同値である。また、 も導入する。 j∈北{\displaystyle j\in \mathbb {N} }zn{\displaystyle z_{n}}Sn{\displaystyle S_{n}}1つの私、j{\displaystyle a_{i,j}}|zn|{\displaystyle \left|z_{n}\right|}|Sn|{\displaystyle \left|S_{n}\right|}|1つの私、j|{\displaystyle \left|a_{i,j}\right|}M＝1+すする私∈北∑j＝1私|1つの私、j|>0{\displaystyle M=1+\sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert >0}

早期に選択された に対して が存在するので、任意の に対して が成り立ちます。次に、任意の に対してが成り立ちます。したがって、任意の に対して が成り立ちます。|zn|→0{\displaystyle \left|z_{n}\right|\to 0}ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}北ε∈北{\displaystyle N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }n>北ε{\displaystyle n>N_{\varepsilon }}|zn|<ε2M{\displaystyle \left|z_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{2M}}}北1つの＝北1つの（ε）>北ε{\displaystyle N_{a}=N_{a}\left(\varepsilon \right)>N_{\varepsilon }}∑メートル＝1n|1つのn、メートル|<ε2（最大メートル≤北ε|zメートル|+1）{\displaystyle \sum _{m=1}^{n}|a_{n,m}|<{\frac {\varepsilon }{2\left(\max _{m\leq N_{\varepsilon }}|z_{m}|+1\right)}}}n>北1つの（ε）{\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}n>北1つの（ε）{\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}

|Sn|＝|∑メートル＝1n（1つのn、メートルzメートル）|⩽∑メートル＝1n（|1つのn、メートル|⋅|zメートル|）＝∑メートル＝1北ε（|1つのn、メートル|⋅|zメートル|）+∑メートル＝北ε+1n（|1つのn、メートル|⋅|zメートル|）<<最大1≤メートル≤北ε（|zメートル|）⋅∑メートル＝1北ε|1つのn、メートル|+ε2M∑メートル＝北ε+1n|1つのn、メートル|⩽ε2+ε2M∑メートル＝1n|1つのn、メートル|⩽ε2+ε2M⋅M＝ε{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|S_{n}\right|=\left|\sum _{m=1}^{n}\left(a_{n,m}z_{m}\right)\right|\leqslant \sum _{m=1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)=\sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)+\sum _{m=N_{\varepsilon }+1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)<\\&<\max _{1\leq m\leq N_{\varepsilon }}(|z_{m}|)\cdot \sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}|a_{n,m}|+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=N_{\varepsilon }+1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\cdot M=\varepsilon \end{aligned}}}

これは、両方のシーケンスがゼロに収束することを意味します。[ 3 ]|Sn|{\displaystyle \left|S_{n}\right|}Sn{\displaystyle S_{n}}

証明2。

limn→∞(zm−z∞)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(z_{m}-z_{\infty }\right)=0}すでに証明された命題を適用すると、次の式が得られます。最後に、limn→∞∑m=1n(an,m(zm−z∞))=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{m}-z_{\infty }\right){\big )}=0}

limn→∞Sn=limn→∞∑m=1n(an,mzm)=limn→∞∑m=1n(an,m(zm−z∞))+z∞limn→∞∑m=1n(an,m)=0+z∞⋅1=z∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}z_{m}{\big )}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{m}-z_{\infty }\right){\big )}+z_{\infty }\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}{\big )}=0+z_{\infty }\cdot 1=z_{\infty }}これによって証明は完了する。

参考文献

引用

  1. ^シルバーマン・テプリッツ定理、ブライアン・ルーダー著、1966年出版、請求番号LD2668.R4 1966 R915、出版社カンザス州立大学、インターネットアーカイブ
  2. ^ Linero, Antonio; Rosalsky, Andrew (2013-07-01). 「Toeplitzの補題、確率収束、そして平均収束について」(PDF) .確率解析とその応用. 31 (4): 684– 694. doi : 10.1080/07362994.2013.799406 . ISSN  0736-2994 . 2024年11月17日閲覧.
  3. ^リャシコ、イワン・イワノビッチ;ボヤルチュク、アレクセイ・クリメトジェヴィッチ。ガイ、ヤコフ・ガブリロヴィッチ。ゴロヴァッハ、グリゴリー・ペトロヴィッチ (2001)。Математический анализ: введение в анализ、производная、интеграл。数学的解析: 解析、導関数、積分への入門。数学的解析のハンドブック。 ]（ロシア語）。 Vol. 1（第1版）。モスクワ: エディトリアル URSS。 p. 58.ISBN​ 978-5-354-00018-0。

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