三角形の相似システム

三角形の相似システムとは、三角形の集合を伴う特定の配置である。[ 1 ]三角形の集合は、その集合に含まれるすべての三角形が、他の三角形のいずれかと少なくとも 1 つの接続関係を共有している場合、配置であるとみなされる。 [ 1 ]三角形間の接続関係とは、2 つの三角形が 1 つの点を共有している場合を指す。たとえば、右側の 2 つの三角形とは、点と が共有されているため、2 つの接続関係で構成された配置である。配置を構成する三角形は、構成三角形と呼ばれる。[ 1 ]三角形は、相似システムに含まれるためには配置集合の一部であるだけでなく、直接相似でなければならない。[ 1 ]直接相似とは、2 つの特定の三角形間の角度がすべて等しく、同じ回転方向を共有していることを意味する。[ 2 ]隣接する画像に見られるように、直接相似な三角形では、 と への回転は 同じ方向 に 発生 する。まとめると、集合内のすべての三角形が同じ平面上にあるときの構成は相似システムであり、次のことが成り立ちます。集合内にn個の三角形があり、 n  − 1個の三角形が直接相似である場合、n個の三角形は直接相似です。[ 1 ]あHC{\displaystyle AHC}BHC{\displaystyle BHC}C{\displaystyle C}H{\displaystyle H}B{\displaystyle B}C{\displaystyle C}B1{\displaystyle B^{1}}C1{\displaystyle C^{1}}B{\displaystyle B}C{\displaystyle C}B1{\displaystyle B^{1}}C1{\displaystyle C^{1}}

背景

JG モールドンは、数学雑誌の論文「相似三角形」で三角形の相似体系という考え方を紹介しました。[ 1 ]モールドンは、与えられた三角形が複素数、具体的には方程式 を介して直接相似であるかどうかを調べることから分析を開始しました。[ 1 ]次に、分析を正三角形にまで進め、のときに方程式 を満たす三角形は正三角形であることを示しました。[ 1 ]この研究の証拠として、彼は直接相似と正三角形に関する予想を、ナポレオンの定理 の証明に適用しました。[ 1 ]次に、ナポレオンの定理を基に、各頂点に接する正三角形で正三角形を構成する場合、外側の 3 つの正三角形の接していない頂点を結ぶ線の中点が正三角形を作ることを証明しました。[ 1 ]フランスの幾何学者テボーも同様の研究を行い、平行四辺形とその各辺にある正方形が与えられたとき、正方形の中心が正方形を作ることを証明した。 [ 3 ]その後、モールドンは三角形の共面集合を分析し、1つを除くすべての三角形が直接相似であれば、すべての三角形が直接相似であるという基準に基づいて、それらが相似システムであるかどうかを判断した。[ 1 ]あBC、XはいZ{\displaystyle ABC,XYZ}|1つのbc×yz111|＝0{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}}=0}あBC{\displaystyle ABC}1つの+わb+わ2c＝0{\displaystyle a+wb+w^{2}c=0}わ＝−1+私√32{\displaystyle w={\frac {-1+i\surd 3}{2}}}

例

長方形に三角形を付加する

直接的な類似性

長方形の各辺に と相似な三角形を配置して長方形を構成すると、 は相似となり、三角形の集合は相似系となる。[ 1 ]あBCD{\displaystyle ABCD}PあB、質問BC、RCD、SDあ{\displaystyle PAB,QBC,RCD,SDA}P質問S{\displaystyle PQS}R質問S{\displaystyle RQS}{PあB、質問BC、RCD、SDあ、P質問S、R質問S}{\displaystyle \{PAB,QBC,RCD,SDA,PQS,RQS\}}

間接的な類似性

しかし、三角形が退化して、互いに重なり合う点を取り、互いに重なり合う点を取ることができると認める場合、 2番目の三角形には面積があり、他の三角形には面積がないため、三角形の集合はもはや直接的な相似システムではなくなります。[ 1 ]B{\displaystyle B}P{\displaystyle P}質問、R、D{\displaystyle Q,R,D}S{\displaystyle S}

直方体

3 組の直線が平行だが長さが等しくない図形 (正式には直方体 ) があり、すべての 2 次点に次のようにラベルが付けられているとします。

{あ1B1C1、あ2B2C2、あ3B3C3、あ4B4C4、あ1B4C3、あ2B3C4、あ3B2C1、あ4B1C2}{\displaystyle \{A_{1}B_{1}C_{1},A_{2}B_{2}C_{2},A_{3}B_{3}C_{3},A_{4}B_{4}C_{4},A_{1}B_{4}C_{3},A_{2}B_{3}C_{4},A_{3}B_{2}C_{1},A_{4}B_{1}C_{2}\}}

次に、上記の点を三角形として分析し、それらが相似システムを形成することを示すことができます。[ 1 ]

証拠：

任意の三角形が直接相似となるためには、次の式が満たされる必要があります。 KLM{\displaystyle KLM}あ1、B1、C1{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}}

（ℓ−メートル）1つの1+（メートル−け）b1+（け−1）c1＝0。{\displaystyle (\ell -m)a_{1}+(mk)b_{1}+(k-1)c_{1}=0.}[ 1 ] ここでℓ、m、k、a1、b1、c1は三角形の辺である。

残りの三角形についても同じパターンに従うと、最初の4つの三角形の方程式の合計と最後の4つの三角形の方程式の合計が同じ結果になることに気付くでしょう。[ 1 ]したがって、三角形の相似システムの定義によれば、選択された7つの相似三角形に関係なく、8番目はシステムを満たし、それらはすべて直接相似になります。[ 1 ]

  • 直接的な類似性の例
    直接的な類似性の例
  • 三角形AHCとBHCの間には2つの接続関係がある。
    三角形AHCとBHCの間には2つの接続関係がある。
  • 反対の類似性の例
    反対の類似性の例
  • テボーの定理
    テボーの定理
  • ナポレオンの定理
    ナポレオンの定理
  • 類似性システムの例
    類似性システムの例
  • 非類似性システムの例
    非類似性システムの例
  • 直方体
    直方体

参考文献

  1. ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q Mauldon , JG (1966年5月). 「相似三角形」.数学マガジン. 39 (3): 165– 174. doi : 10.1080/0025570X.1966.11975709 .
  2. ^ Weisstein, Eric. 「Similar」 . Wolfram MathWorld . 2018年12月12日閲覧。
  3. ^ Gerber, Leon (1980年10月). 「ナポレオンの定理とアフィン正多角形の平行四辺形不等式」.アメリカ数学月刊. 87 (8): 644– 648. doi : 10.1080/00029890.1980.11995110 . JSTOR 2320952 . 
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