シモンズの公式
数式

微分幾何学の分野において、シモンズの公式（シモンズの恒等式、あるいはシモンズの不等式とも呼ばれる）は、極小部分多様体の研究における基本方程式である。 1968年にジェームズ・シモンズによって発見された。[1]これは、リーマン部分多様体の第二基本形式のラプラシアンの公式とみなすことができる。第二基本形式の長さのラプラシアンの公式や不等式といった、あまり正確ではない形で引用・使用されることが多い。

ユークリッド空間の超曲面Mの場合、式は次のように主張する。

Δ h ＝ ヘス ⁡ H + H h 2 − | h | 2 h 、 {\displaystyle \Delta h=\operatorname {Hess} H+Hh^{2}-|h|^{2}h,}

ここで、単位法線ベクトル場の局所的な選択に対して、hは2番目の基本形式、Hは平均曲率、h 2はhによって与えられるM上の対称2次元テンソルである。2
ij= g pq h ip h qj . [2] この結果、

1 2 Δ | h | 2 ＝ | ∇ h | 2 − | h | 4 + ⟨ h 、 ヘス ⁡ H ⟩ + H tr ⁡ （ あ 3 ） {\displaystyle {\frac {1}{2}}\Delta |h|^{2}=|\nabla h|^{2}-|h|^{4}+\langle h,\operatorname {Hess} H\rangle +H\operatorname {tr} (A^{3})}

ここでAは形状演算子である。[3]この設定では導出は特に簡単である。

Δ h 私 j ＝ ∇ p ∇ p h 私 j ＝ ∇ p ∇ 私 h j p ＝ ∇ 私 ∇ p h j p − R p 私 j q h q p − R p 私 p q h j q ＝ ∇ 私 ∇ j H − （ h p q h 私 j − h j p h 私 q ） h q p − （ h p q h 私 p − H h 私 q ） h j q ＝ ∇ 私 ∇ j H − | h | 2 h + H h 2 ; {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta h_{ij}&=\nabla ^{p}\nabla _{p}h_{ij}\\&=\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{jp}\\&=\nabla _{i}\nabla ^{p}h_{jp}-{{R^{p}}_{ij}}^{q}h_{qp}-{{R^{p}}_{ip}}^{q}h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-(h^{pq}h_{ij}-h_{j}^{p}h_{i}^{q})h_{qp}-(h^{pq}h_{ip}-Hh_{i}^{q})h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-|h|^{2}h+Hh^{2};\end{aligned}}}

関係するツールは、コダッツィ方程式（式2と4）、ガウス方程式（式4）、そして共変微分の交換恒等式（式3）のみである。リーマン多様体における超曲面のより一般的なケースでは、リーマン曲率テンソルに関する追加の項が必要となる。[4]さらに一般的な任意余次元の設定では、この公式は第2基本形式の複雑な多項式を含む。[5]

参考文献

脚注

  1. ^ Simons 1968、セクション4.2。
  2. ^ Huisken 1984、補題2.1(i)。
  3. ^ Simon 1983、補題B.8。
  4. ^ Huisken 1986.
  5. ^ Simons 1968、セクション4.2; Chern、do Carmo、Kobayashi 1970。

本

  • トビアス・ホルク・コールディングとウィリアム・P・ミニコッツィ二世。最小限の路面で構成されたコース。数学の大学院研究、121。米国数学協会、ロードアイランド州プロビデンス、2011 年。xii+313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8
  • エンリコ・ジュスティ著『極小曲面と有界変分関数』数学モノグラフ、80. ビルクハウザー出版社、バーゼル、1984年、xii+240頁、ISBN 0-8176-3153-4
  • レオン・サイモン著『幾何学的測度論講義』オーストラリア国立大学数学解析センター紀要、3. オーストラリア国立大学数学解析センター、キャンベラ、1983年、vii+272頁、ISBN 0-86784-429-9

記事

  • SS Chern、M. do Carmo、S. Kobayashi.定数長の第二基本形式を持つ球面の極小部分多様体．『関数解析と関連分野』（1970年），59-75ページ．マーシャル・ストーン教授記念会議議事録，シカゴ大学にて1968年5月開催．Springer，ニューヨーク．Felix E. Browder編．doi : 10.1007/978-3-642-48272-4_2アクセスが閉じられたアイコン
  • ゲルハルト・ホイスケン。凸面の平均曲率により球体に流れます。 J. 微分幾何学。 20 (1984)、no. 1、237–266。土井：10.4310/jdg/1214438998無料アクセスアイコン
  • ゲルハルト・ヒュイスケン.リーマン多様体における凸超曲面の平均曲率による収縮. Invent. Math. 84 (1986), no. 3, 463–480. doi :10.1007/BF01388742アクセスが閉じられたアイコン
  • ジェームズ・シモンズ.リーマン多様体における極小多様体.数学年報 (2) 88 (1968), 62–105. doi :10.2307/1970556アクセスが閉じられたアイコン
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