正弦の法則

正弦の法則

図1、外接円付き

図2、外接円なし

正弦定理の成分がラベル付けされた2つの三角形。角度α、β、γはそれぞれ頂点A、B、Cに関連付けられ、長さa、b、cのそれぞれの辺はこれらの頂点と反対側に位置します（例えば、辺aは角度αで頂点Aと反対側に位置します）。

三角法において、正弦法則（正弦公式または正弦定理と呼ばれることもある）は、三角形の辺の長さとその角度の正弦を関連付ける数式です。この法則によれば、 a 、 b 、 cは三角形の辺の長さ、α、β、γは対角（図 2 を参照）、Rは三角形の外接円の半径です。この法則は、式の最後の部分が使用されない場合は逆数を使用して表されることがあります。正弦法則は、 2 つの角度と 1 つの辺がわかっている場合に三角形の残りの辺を計算するために使用できます。 この手法は、三角測量と呼ばれます。また、2 辺と、囲まれていない角度の 1 つがわかっている場合にも使用できます。このような場合、三角形はこのデータでは一意に決定されず（あいまいなケースと呼ばれる）、この手法では囲まれた角度に対して 2 つの値が与えられます。 $${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}$$ $${\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}$$

正弦定理は、不等辺三角形の長さと角度を求めるために一般的に適用される 2 つの三角法則のうちの 1 つであり、もう 1 つは余弦定理です。

正弦定理は、一定の曲率を持つ表面上の高次元に一般化することができる。^{[ 1 ]}

証拠

長さaの辺を底辺とすると、三角形の高さはb sin γまたはc sin βとして計算できます。これら2つの式を等しくすると となり、 三角形の底辺を長さbの辺または長さcの辺 にした場合も同様の式が得られます。これらの式が に等しいことの証明については、「外接円 との関係」を参照してください。 $${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta}}={\frac {c}{\sin \gamma}}\,,}$$ ${\displaystyle 2R}$

三角形の解の曖昧なケース

正弦定理を用いて三角形の辺を求める際、与えられたデータから2つの別々の三角形が構築できる場合（つまり、三角形に2つの異なる解が存在する場合）は曖昧なケースとなります。下図の場合、それらは三角形ABCとABC′です。

一般的な三角形が与えられた場合、ケースが曖昧になるためには次の条件を満たす必要があります。

• 三角形についてわかっている情報は、角度αと辺aおよびcだけです。
• 角度αは鋭角です(つまり、α < 90°)。
• 辺aは辺cより短い(つまり、a < c )。
• 辺aは角度βからの高さhよりも長く、ここでh = c sin α (つまりa > h ) です。

上記の条件がすべて真である場合、角度βとβ′のそれぞれによって有効な三角形が生成され、次の両方の条件が真であることを意味します。 $${\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{または}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}$$

そこから、必要に応じて対応するβとbまたはβ′とb′を見つけることができます。ここで、 bは頂点AとCで囲まれた辺であり、b′はAとC′で囲まれた辺です。

例

以下は正弦定理を使用して問題を解決する方法の例です。

例1

例1

辺a = 20、辺c = 24、角度γ = 40°が与えられています。角度αが求められます。

正弦定理を用いると、次の結論が得られる。 $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha}{20}}={\frac {\sin(40^{\circ})}{24}}.}$$ $${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$$

潜在的な解α = 147.61°は、必然的にα + β + γ > 180°となるため除外されることに注意してください。

例2

例2

三角形aとbの2辺の長さがxに等しく、3番目の辺の長さがcで、長さa、b、cの辺に対向する角度がそれぞれ α、β、γである場合、$${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}$$

外接円との関係

この恒等式において、 3つの分数の共通値は実際には三角形の外接円の直径である。この結果はプトレマイオスにまで遡る。^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}$$

証拠

外接直径に等しい正弦定理の比を導出します。三角形ADBは、直径dの外接円の中心を通ることに注意してください。

図に示すように、円の中心 O を通る内接円と、円の中心Oを通る内接円があるとします。円の中心角はであり、タレスの定理より となります。は直角三角形であるため、 は三角形の外接円の半径です。^{[ 3 ]}角と は同一円上にあり、同じ弦cをなしています。したがって、内接角定理より となります。したがって、 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle ADB}$ ${\displaystyle \angle AOD}$ ${\displaystyle 180^{\circ}}$ ${\displaystyle \angle ABD=90^{\circ}}$ ${\displaystyle \triangle ABD}$ $${\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{対辺}}{\text{斜辺}}}={\frac {c}{2R}},}$$ ${\textstyle R={\frac {d}{2}}}$ ${\displaystyle {\gamma}}$ ${\displaystyle {\delta}}$ ${\displaystyle {\ガンマ }={\デルタ }}$ $${\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}$$

利回りの並べ替え $${\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}$$

他のポイントで 作成するプロセスを繰り返すと、${\displaystyle \triangle ADB}$

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}$

三角形の面積との関係

三角形の面積は で与えられ、は長さaとbの辺で囲まれた角度です。この式に正弦定理を代入すると、 ${\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$ ${\displaystyle \theta}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}$$

外接半径として^{[ 4 ]}${\displaystyle R}$

${\displaystyle T={\frac {abc}{4R}}.}$

この等式は、 Tが三角形の面積、sが半周長である ことを意味することも示せる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}},\end{aligned}}}$$ ${\textstyle s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}$

上記の 2 番目の等式は、面積に関する ヘロンの公式に簡単に簡略化されます。

正弦定理は三角形の面積を求める次の公式を導く際にも使うことができる。角度の正弦の半和をと表すと、^{[ 5 ]}${\textstyle S={\frac {1}{2}}\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}$

${\displaystyle T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}}$

ここで、外接円の半径は です。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

球面正弦法則

球面正弦定理は、球面上の三角形で、その辺が大円の弧になっているものを扱います。

球の半径を1とします。三角形の辺である大円弧の長さをそれぞれa、b、cとします。球は単位球面であるため、 a、b、cは球の中心におけるこれらの円弧の角度（ラジアン）です。A 、B、C は、それぞれの辺の向かい合う角度です。これらは、3つの大円の平面間の 二面角です。

すると、球面正弦法則は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

ベクトル証明

原点から三角形の頂点に向かって引かれた3つの単位ベクトルOA、OB、OCを持つ単位球面を考えます。したがって、角度α、β、γはそれぞれ角度a、b、cです。弧BC は中心で大きさaの角度を成します。OAをz軸に、OB をxz平面に配置し、 z軸と角度cを成す直交座標基底を導入します。ベクトルOC はxy平面でONに投影され、 ONとx軸の間の角度はAです。したがって、3つのベクトルは次の成分を持ちます。 $${\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}$$

スカラー三重積OA ⋅ ( OB × OC )は、球面三角形OA、OB、OCの頂点の位置ベクトルによって形成される平行六面体の体積です。この体積は、 OA、OB、OCを表すのに使用される特定の座標系に対して不変です。スカラー三重積OA ⋅ ( OB × OC )の値は、OA、OB、OCを行とする3 × 3行列式です。OAに沿ったz軸の場合、この行列式の 2 乗は、 OBに沿ったz軸 でこの計算を繰り返すと、 (sin c sin a sin B ) ^{2 となり}、OCに沿ったz軸では、(sin a sin b sin C ) ^{2 と}なります。これらの式を等しくし、全体を(sin a sin b sin c ) ²で割ると、球面三角形の頂点の位置ベクトルによって形成される平行六面体の体積Vが得られます 。したがって、結果は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}$$

小さな球面三角形の場合、球の半径が三角形の辺よりもはるかに大きいときに、この式が極限で平面方程式になることは容易にわかります。これは sin bとsin c についても同様であるためです。 $${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}$$

幾何学的証明

次の単位球を考えます。 $${\displaystyle OA=OB=OC=1}$$

点と点を次のように作図する。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}$

点を次のように構築する${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}$

したがって、${\displaystyle \angle ADA'=B}$ ${\displaystyle \angle AEA'=C}$

は平面 への投影であることに注目してください。したがって、${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle OBC}$ ${\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}$

基本的な三角法によれば、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}AD&=\sin c\\AE&=\sin b\end{aligned}}}$$

しかし${\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}$

これらを組み合わせると次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin c\sin B&=\sin b\sin C\\\Rightarrow {\frac {\sin B}{\sin b}}&={\frac {\sin C}{\sin c}}\end{aligned}}}$$

同様の推論を適用すると、球面正弦法則が得られます。 $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$$

その他の証拠

球面余弦定理から、純粋に代数的な証明を構築することができます。 の恒等式と球面余弦定理から の明示的な表現から 、右辺は の巡回置換に対して不変であるため、の球面正弦定理が直ちに得られます。 ${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$ ${\displaystyle \cos A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a,\;b,\;c}$

上記の幾何学的証明で使用した図は、Banerjee ^{[ 6 ]}（本論文の図3を参照）によって初等線形代数と射影行列を用いて正弦定理を導くために使用され、またBanerjee [6]にも示されています。

双曲型の場合

双曲幾何学において曲率が−1のとき、 正弦定理は次のようになる。$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$$

Bが直角である 特別な場合には、$${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$$

これは、角度の正弦を対辺を斜辺で割ったものとして表すユークリッド幾何学の公式に相当します。

一定曲率の曲面の場合

実パラメータにも依存する一般化正弦関数を定義します。 ${\displaystyle \kappa }$ $${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}.}$$

定曲率正弦定理は次のように表される^{[ 1 ]。}${\displaystyle \kappa }$ $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}$$

、、を代入すると、それぞれ、、、、、つまり上で述べた正弦定理のユークリッド、球面、双曲の場合が得られる。^{[ 1 ]}${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle \kappa =1}$ ${\displaystyle \kappa =-1}$ ${\displaystyle \sin _{0}(x)=x}$ ${\displaystyle \sin _{1}(x)=\sin x}$ ${\displaystyle \sin _{-1}(x)=\sinh x}$

一定曲率の空間における半径 の円の円周を とします。すると となります。したがって、正弦定理は次のように表すこともできます。 ${\displaystyle p_{\kappa }(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)}$ $${\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.}$$

この公式はJános Bolyaiによって発見されました。^{[ 7 ]}

高次元

正四面体には4つの三角形の面がある。正四面体の頂点を共有する3つの面への法線ベクトルの極正弦（psin）の絶対値を4番目の面の面積で割った値は、どの頂点を選んだかには依存しない。^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}$$

より一般的には、n次元ユークリッド空間におけるn次元単体（三角形（n = 2）、四面体（n = 3）、五面体（n = 4）など）の場合、頂点で交わる面の法線ベクトルの極正弦の絶対値を、その頂点の反対側の面の超面積で割った値は、頂点の選択とは無関係である。n次元単体の超体積をV、その（n − 1）次元面の超面積の積をPと書くと、公比は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$$

選択された頂点から他の各頂点へのベクトルv ₁ , ..., v _nが行列Vの列である場合、行列の列は、選択された頂点で交わる面の外向きの法線ベクトルとなることに注意してください。この式は、ベクトルがm > nのm次元空間にある場合にも適用されます。m = n でVが正方行列である場合、式は次のように簡略化されます。${\displaystyle N=-V(V^{T}V)^{-1}{\sqrt {\det {V^{T}V}}}/(n-1)!}$ ${\displaystyle N=-(V^{T})^{-1}|\det {V}|/(n-1)!\,.}$

歴史

三角形の辺の長さは対角の2倍の弦の長さに比例するという正弦法則に相当する法則は、 2世紀のヘレニズム時代の天文学者プトレマイオスにも知られており、彼の著書『アルマゲスト』でも時折使われていた。^{[ 9 ]}

正弦法則に関する記述は、7世紀のインドの数学者ブラフマグプタの天文学と三角法の著作に見られる。ブラフマグプタは『ブラフマスフタシッダーンタ』の中で、三角形の円周半径を2辺の積を高度の2倍で割ったものとして表現している。正弦法則は、高度を一方の底角とその対辺の積の正弦として交互に表現し、得られた2つの変形を等しくすることで導くことができる。^{[ 10 ]}現代の正弦法則にさらに近い等式が、ブラフマグプタの『カーンダカーディヤカ』に、周転円に沿って地球と惑星間の距離を求める方法に登場している。しかし、ブラフマグプタは正弦法則を独立した主題として扱ったり、三角形を解くために体系的に使用したりすることはなかった。^{[ 11 ]}

球面正弦法則は、10世紀の学者アブー・マフムード・フジャンディーやアブー・アル・ワファー（彼の著書『アルマゲスト』に登​​場する）の功績とされることもあるが、アブー・ナスル・マンスールの『球面弧の決定に関する論文』で重点的に取り上げられており、また、弟子のアル・ビールーニーの著書『天文学の鍵』でもアブー・ナスル・マンスールの功績とされている。^{[ 12 ]}イブン・ムアード・アル・ジャイヤーニーの11世紀の著書『球面の未知の弧に関する書』にも球面正弦法則が含まれている。^{[ 13 ]}

13世紀のペルシャの数学者ナスィール・アッディーン・アル・トゥーシーは、正弦の平面法則を述べ、証明した。^{[ 14 ]}

任意の平面三角形において、辺の比は、その辺に対向する角の正弦の比に等しい。つまり、三角形ABCでは、AB : AC = Sin(∠ACB) : Sin(∠ABC) となる。

アル＝トゥーシは正弦定理を用いることで、2つの角度と1つの辺が既知であるか、2つの辺とそれらの対角が与えられている三角形を解くことができた。2辺と内角を持つ三角形については、直角三角形に分割して解くことができた。3辺が与えられている場合は、垂直線を引いてユークリッドの『原論』の命題II-13（余弦定理の幾何学版）を用いた。アル＝トゥーシは、2つの弧の和または差とそれらの正弦比が与えられれば、弧を計算できるという重要な結果を確立した。^{[ 15 ]}

グレン・ヴァン・ブルメレンによれば、「正弦定理は、レギオモンタヌスが第4巻で直角三角形を解くための基礎であり、これらの解は今度は一般三角形を解くための基礎となっている。」^{[ 16 ]}レギオモンタヌスは15世紀のドイツの数学者であった。

参照

• ゲルソニデス – 中世のユダヤ人哲学者
• 半辺の公式 –球面三角形を解くための公式
• 余弦定理
• 接線の法則
• 余接の法則
• モルワイデの公式 – 三角形の解を調べるためのもの
• 三角形の解
• 測量

参考文献

1. 「一般化された正弦法則」。mathworld 。
2. Coxeter, HSMとGreitzer, SL Geometry Revisited . ワシントンD.C.: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967
3. 「正弦の法則」 www.pballew.net . 2002年12月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年9月18日閲覧。
4. Mr. Tの数学ビデオ (2015-06-10)、「三角形の面積と外接円の半径」、2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2018年9月18日取得
5. ミッチェル、ダグラス W.、「正弦関数によるヘロン型の面積公式」、 Mathematical Gazette 93、2009年3月、108-109ページ。
6. Banerjee, Sudipto (2004)、「直交投影法による球面三角法の再検討」(PDF)、The College Mathematics Journal、35 (5)、Mathematical Association of America: 375– 381、doi : 10.1080/07468342.2004.11922099 、 2004年10月29日にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2024年2月8日取得
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14. 「ナシル・アル＝ディーン・アル＝トゥースィー - 伝記」 . Maths History . 2025年3月10日閲覧。
15. Katz, Victor J. (2017-03-21). 『数学史入門』ピアソン社. p. 315. ISBN 978-0-13-468952-4。
16. ヴァン・ブルメレン、グレン（2009年）『天と地の数学：三角法の初期の歴史』プリンストン大学出版局、259頁。ISBN 978-0-691-12973-0。

外部リンク

• 「正弦定理」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 結び目を切る際の正弦の法則
• 曲率の​​度合い
• 1度の正弦を求める
• 高次元への一般化された正弦法則