正弦波

正弦波（サインウェーブ）、正弦波（サインカーブ）、または正弦曲線（記号：∿）は、波形（形状）が三角関数の正弦関数である周期波です。力学では、時間の経過に伴う直線運動として単振動に相当し、回転として等速円運動に相当します。正弦波は物理学でよく見られ、風波、音波、単色放射などの光波などがあります。工学、信号処理、数学では、フーリエ解析によって一般関数を様々な周波数、相対位相、大きさの正弦波の和に分解します。

同じ周波数（ただし位相は任意）の任意の2つの正弦波を線形結合すると、同じ周波数の別の正弦波が得られます。この性質は周期波の中では他に類を見ません。逆に、ある位相をゼロ基準として選択すると、任意の位相の正弦波は、位相がゼロと1/4周期の2つの正弦波（それぞれ正弦成分と余弦成分）の線形結合として表すことができます。

音声サンプル

正弦波は倍音のない単一の周波数を表し、音響的には純音とみなされます。異なる周波数の正弦波を加えると、異なる波形になります。基本波に加えて高次の倍音が存在することで音色に変化が生じ、同じ音程でも異なる楽器で演奏すると異なる音に聞こえるのはそのためです。

正弦波形式

任意の位相と振幅を持つ正弦波は正弦波と呼ばれ、一般的な形式は次のようになります: ^{[ 1 ]} ここで: $y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )$

$A$ 、振幅、関数のゼロからのピーク偏差。
$t$ 実数の独立変数。通常は秒単位で時間を表します。
$\omega$ 角周波数、関数の引数の変化率（ラジアン/秒単位）。
$f$ 、通常周波数、毎秒発生する振動数（サイクル数）。
$\varphi$ 位相は、その周期のどこで振動がt = 0 になるかを（ラジアン単位で）指定します。
- がゼロ以外の場合、波形全体が指定された秒数だけ時間的に後方にずれているように見えます。負の値は遅延を表し、正の値は前進を表します。 $\varphi$ ${\tfrac {\varphi }{\omega }}$
- 位相に（1 サイクル）追加または減算すると、同等の波形が生成されます。 $2\pi$

位置と時間の関数として

減衰のないバネ質量系が時間の経過に伴って平衡点の周りで振動すると、その変位は正弦波になります。

位置と時間の両方に存在する正弦波には次の特徴もあります。

波が伝播する次元上の位置を表す空間変数。 $x$
波数（または角波数）は、角周波数と線速度（伝播速度）の比例関係を表します。 $k$ $\omega$ $v$
- 波数は角周波数と次の関係があります。ここで( λ ) は波長です。 ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}$ $\lambda$

移動方向に応じて、次の形式になります。

$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )$ 波が右に動いている場合、または
$y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )$ 波が左に移動している場合。

正弦波は分布線形システムでは形を変えずに伝播するため、波の伝播を解析するためによく使用されます。

定在波

同じ振幅と周波数を持つ 2 つの波が反対方向に重なり合うと、定在波パターンが作成されます。

撥弦において、重なり合う波は弦の固定端から反射した波です。弦の共振周波数は、弦の長さの2倍の波長（基本周波数に相当）とその整数分の1（高調波に相当）の波長でのみ発生する、弦の唯一の定在波です。

複数の空間次元

前述の式は、ある位置における波の、ある時間における変位を単一の線に沿って表します。これは、例えば電線に沿った波の値と考えることができます。 $y$ $x$ $t$

2次元または3次元の空間では、位置と波数をベクトル、それらの積を内積と解釈すれば、同じ式で進行する平面波を記述できます。池に石を落とした後の水波の高さなど、より複雑な波については、より複雑な式が必要になります。 $x$ $k$

正弦平面波

物理学において、正弦平面波は平面波の特殊なケースです。正弦平面波とは、ある固定面からの距離と時間の正弦関数として値が変化する場のことです。また、単色平面波とも呼ばれ、周波数が一定です（単色放射の場合と同様）。

フーリエ解析

フランスの数学者ジョゼフ・フーリエは、正弦波を単純な構成要素として足し合わせることで、方形波を含むあらゆる周期波形を近似できることを発見しました。これらのフーリエ級数は、信号処理や時系列の統計解析で頻繁に用いられます。その後、フーリエ変換によってフーリエ級数が一般関数を扱えるように拡張され、フーリエ解析という分野が誕生しました。

差別化と統合

差別化

任意の正弦波を時間に関して微分することは、その振幅に角周波数を掛けて、それを 1/4 周期だけ進めることと見ることができます。

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi)]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}$

微分器は複素周波数平面の原点に零点を持ちます。微分器の周波数応答のゲインは、周波数の10乗ごとに+20 dBの割合で増加します（ルートパワーの場合）。これは、1^次ハイパスフィルタの阻止帯域と同じ正の傾きですが、微分器にはカットオフ周波数や平坦な通過帯域はありません。n^次ハイパスフィルタは、フィルタのカットオフ周波数よりも大幅に低い周波数帯域を持つ信号のn^次時間微分を近似的に適用します。

統合

任意の正弦波を時間に関して積分することは、その振幅を角周波数で割り、それを 1/4 サイクル遅らせることと見ることができます。

${\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}$

積分範囲が正弦波の周期の整数倍である場合、積分定数はゼロになります。 $C$

積分器は複素周波数平面の原点に極を持ちます。積分器の周波数応答のゲインは、周波数の10乗ごとに-20dBの割合で低下します（ルートパワーの場合）。これは、積分器にはカットオフ周波数や平坦な通過帯域がないにもかかわらず、 1^次ローパスフィルタの阻止帯域と同じ負の傾きです。n^次ローパスフィルタは、フィルタのカットオフ周波数よりも大幅に高い周波数帯域を持つ信号のn^回目の積分を近似的に実行します。

参照

参考文献

^ Smith, Julius Orion. 「正弦波」 . ccrma.stanford.edu . 2024年1月5日閲覧。

外部リンク

「正弦波」 .数学の謎. 2021年11月17日. 2022年9月30日閲覧.

[1] Smith, Julius Orion. 「正弦波」 . ccrma.stanford.edu . 2024年1月5日閲覧。

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