特異積分

数学において、特異積分は調和解析の中心であり、偏微分方程式の研究と密接に関連している。広義には、特異積分は積分演算子である。

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

核関数K  : R ⁿ × R ⁿ  →  Rが対角線x  =  yに沿って特異な場合。具体的には、| K ( x ,  y )| の大きさが | x  −  y | ^{− n}となり、| x  −  y | → 0 のとき漸近的にその特異性を持つような場合である。このような積分は一般に絶対積分可能ではない可能性があるため、厳密な定義では ε → 0 のときの | y  −  x | > ε上の積分の極限として定義する必要があるが、実際にはこれは技術的な問題である。通常、 L ^p ( R ⁿ )上の有界性などの結果を得るには、さらなる仮定が必要となる。

ヒルベルト変換

典型的な特異積分作用素はヒルベルト変換 Hである。これは、 Rのxに対する核K ( x ) = 1/(πx )に対する畳み込みによって与えられる。より正確には、

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.}$

これらの最も直接的な高次元の類似物はリース変換であり、K ( x ) = 1/ xを次のように 置き換える。

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}$

ここでi = 1, ..., nであり、 R ⁿにおけるxのi番目の成分である。これらの演算子はすべてL ^pで有界であり、弱型 (1, 1) 推定を満たす。^[1]${\displaystyle x_{i}}$

畳み込み型の特異積分

畳み込み型の特異積分は、 R ⁿ \{0} 上で局所積分可能な核Kとの畳み込みによって定義される演算子Tであり、

カーネルが次を満たすと仮定します。

1. Kのフーリエ変換におけるサイズ条件

   ${\displaystyle {\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$

2. 平滑性条件：あるC  > 0に対して、

   ${\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.}$

すると、 TはL ^p ( R ⁿ )に有界であり、弱型(1, 1)推定を満たす ことが示される。

性質1は、主値積分によって与えられる緩和分布pv  Kとの畳み込み（ 1）を保証するために必要である。

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}$

はL ²上の明確に定義されたフーリエ乗数である。1. と 2. の性質はどちらも必ずしも容易に検証できるわけではなく、様々な十分条件が存在する。典型的には、応用においては、打ち消し条件 も存在する。

${\displaystyle \int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0}$

これは非常に簡単に確認できます。例えば、Kが奇関数であれば、自動的に確認できます。さらに、2.と次のサイズ条件を仮定すると、

${\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}$

すると、1. が成り立つことが示されます。

滑らかさの条件 2. も原理的には確認が難しいことが多いですが、次のようなカーネルKの十分条件を使用できます。

• ${\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})}$
• ${\displaystyle |\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}}$

これらの条件はヒルベルト変換とリース変換に対して満たされていることに注意する。したがって、この結果はそれらの結果の拡張である。^[2]

非畳み込み型の特異積分

これらはさらに一般的な演算子です。しかし、我々の仮定は非常に弱いため、これらの演算子がL ^pで有界であるとは限りません。

カルデロン・ジグムント核

関数K  : Rn × Rn → Rは、定数C  >0およびδ  >0に対して以下の条件を満たすとき^、カルデロン-ジグムンド核と呼ばれる。^{[ 2]}

1. ${\displaystyle |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}}$

2. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y|,|x'-y|{\bigr )}}$

3. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ whenever }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y'|,|x-y|{\bigr )}}$

非畳み込み型の特異積分

Tはカルデロン・ジグムント核Kに付随する非畳み込み型の特異積分作用素であるとは、

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,}$

fとgが滑らかで互いに素な台を持つときはいつでも^[2]、そのような作用素はL ^p

カルデロン・ジグムント作用素

カルデロン・ジグムント核Kに付随する非畳み込み型Tの特異積分は、 L ²に有界であるとき、 すなわち C > 0が存在し、

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

すべての滑らかでコンパクトに支えられたƒ に対して。

このような演算子は、実際には、 1 <  p  < ∞ のすべてのL ^p上でも制限されることが証明できます。

そのT（b）定理

T ( b ) 定理は、特異積分作用素がカルデロン・ジグムント作用素となるための十分条件、すなわちカルデロン・ジグムント核に付随する特異積分作用素がL ²に有界となるための十分条件を与える。結果を述べるために、まずいくつかの用語を定義する必要がある。

正規化されたバンプとは、 R ⁿ上の滑らかな関数φで、半径 1 の球で支えられ、原点を中心とし、すべての多重添字 | α | ≤  n  + 2に対して | ∂ ^α φ ( x )| ≤ 1 が成り立つ関数である。R nのすべてのxとr > 0 に対して、 τ ^x ( φ )( y ) =  φ ( y  −  x )およびφ _r ( x ) =  r ^{− n} φ ( x / r ⁾と表記する 。ある演算子が弱有界であるとは、定数Cが存在し、  

${\displaystyle \left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}}$

すべての正規化されたバンプφとψに対して成り立つ。関数が漸増的であるとは、定数c > 0が存在し、Rのすべてのxに対して Re( b )( x ) ≥  c が成り立つことを意味する。関数bによる乗算によって与えられる演算子をM _bで表す。

T ( b )定理は、カルデロン・ジグムント核に関連付けられた特異積分作用素Tが、ある有界増加関数b1とb2に対して以下の3つの条件をすべて満たすとき、_L2上で有界であることを述べて_いる^。[3]

1. ${\displaystyle M_{b_{2}}TM_{b_{1}}}$ 弱有界である;
2. ${\displaystyle T(b_{1})}$ BMOにあります;
3. ${\displaystyle T^{t}(b_{2}),}$ はBMOにあり、ここでT ^tはTの転置演算子です 。

参照

• 閉曲線上の特異積分作用素

注記

1. スタイン、エリアス（1993年）「調和解析」プリンストン大学出版局。
2. Grafakos, Loukas (2004)、「7」、Classical and Modern Fourier Analysis、ニュージャージー州：Pearson Education、Inc.
3. デビッド;セムズ。ジュルネ（1985）。 「Opérateurs de Calderón–Zygmund、fonctions para-accrétives et interpolation」（フランス語）。 Vol. 1. レビスタ・マテマティカ・イベロアメリカーナ。1 ～ 56ページ 。

参考文献

• Calderon, AP ; Zygmund, A. (1952)、「ある種の特異積分の存在について」、Acta Mathematica、88 (1): 85– 139、doi : 10.1007/BF02392130、ISSN  0001-5962、MR  0052553、Zbl  0047.10201。
• Calderon, AP ; Zygmund, A. (1956)、「特異積分について」、American Journal of Mathematics、78 (2)、ジョンズ・ホプキンス大学出版局: 289– 309、doi :10.2307/2372517、ISSN  0002-9327、JSTOR  2372517、MR  0084633、Zbl  0072.11501。
• コイフマン、ロナルド、マイヤー、イヴ（1997年）、ウェーブレット：カルデロン・ジグムンドと多重線型演算子、ケンブリッジ高等数学研究、第48巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. xx+315、ISBN 0-521-42001-6、MR  1456993、Zbl  0916.42023。
• ミクリン、ソロモン G. (1948)、「特異積分方程式」、UMN、3 (25): 29– 112、MR  0027429（ロシア語）。
• ミクリン、ソロモン G. (1965)、「多次元特異積分と積分方程式」、国際純粋・応用数学モノグラフシリーズ、第83巻、オックスフォード–ロンドン–エディンバラ–ニューヨーク–パリ–フランクフルト：ペルガモン・プレス、pp. XII+255、MR  0185399、Zbl  0129.07701。
• ミクリン、ソロモン G. ; プロシアフ、ジークフリート (1986)、特異積分演算子、ベルリン–ハイデルベルク–ニューヨーク市：シュプリンガー出版社、p. 528、ISBN 0-387-15967-3、MR  0867687、Zbl  0612.47024、（ヨーロッパ版：ISBN 3-540-15967-3）。
• スタイン、エリアス（1970）、特異積分と関数の微分可能性、プリンストン数学シリーズ、第30巻、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、pp. XIV+287、ISBN 0-691-08079-8、MR  0290095、Zbl  0207.13501

外部リンク

• スタイン、エリアス・M. (1998年10月). 「特異積分：カルデロンとジグムントの役割」(PDF) .アメリカ数学会報. 45 (9): 1130– 1140.