代数多様体の特異点

数学の分野である代数幾何学において、代数多様体Vの特異点とは、幾何学的な意味で「特別な」（つまり特異な）点Pのことである。この点では、多様体における接空間は正則に定義されない可能性がある。実数上で定義された多様体の場合、この概念は局所非平坦性の概念を一般化する。代数多様体の特異でない点は正則であるという。特異点を持たない代数多様体は非特異あるいは滑らかであるという。この概念は、スキーム理論の現代言語における滑らかなスキームに一般化されている。

方程式y ² − x ² ( x + 1) = 0の平面代数曲線（3次曲線）は、原点(0, 0)で自身と交差します。原点はこの曲線の二重点です。原点が特異なのは、そこに単一の接線が正しく定義されない可能性があるためです。

定義

暗黙の方程式によって定義される平面曲線

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

ここで、Fは滑らかな関数であり、その点でFのテイラー級数が少なくとも2 のとき、その関数はその点で特異関数であるといわれます。

その理由は、微分積分学では、そのような曲線の 点（x ₀、y ₀）における接線が次の式で定義されるからである。

${\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,}$

左辺はテイラー展開の1次の項である。したがって、この項がゼロの場合、接線は標準的な方法で定義できない可能性がある。これは、接線が存在しない、あるいは特別な定義が必要となるためである。

一般に超曲面の場合

${\displaystyle F(x,y,z,\ldots)=0}$

特異点とは、すべての偏微分が同時に零となる点である。一般代数多様体V は、いくつかの多項式の共通の零点として定義される。Vの点Pが特異点となるための条件は、多項式の一次偏微分のヤコビ行列の階数が、多様体の他の点の階数よりもPにおいて低いことである。

Vの特異点ではない点は非特異点あるいは正則点と呼ばれる。ほぼすべての点は非特異点である、つまり、非特異点は多様体において開集合かつ稠密な集合を形成する（ザリスキー位相の場合、また複素数上で定義された多様体の場合は通常の位相の場合も同様である）。^{[ 1 ]}

実多様体（実係数の多項式で定義される多様体の実座標を持つ点の集合）の場合、その多様体はすべての正則点の近傍で多様体となる。しかし、実多様体は多様体でありながら特異点を持つ場合があることに注意する必要がある。例えば、方程式y ³ + 2 x ² y − x ⁴ = 0は実解析多様体を定義するが、原点に特異点を持つ。^{[ 2 ]}これは、曲線が実枝を原点で切断する2つの複素共役枝を持つと説明できる。

滑らかな写像の特異点

特異点の概念は純粋に局所的な性質であるため、上記の定義はより広いクラスの滑らかな写像（すべての導関数が存在するMからR ⁿへの関数）をカバーするように拡張できます。これらの特異点の解析は、写像のジェットを考慮することで代数多様体の場合に帰着できます。k番目のジェットは、写像のテイラー級数をk次で切断し、定数項を削除したものです。

ノード

古典代数幾何学において、特定の特異点はノードとも呼ばれていました。ノードとは、ヘッセ行列が非特異となる特異点のことです。これは、特異点の重複度が2であり、接円錐がその頂点以外では特異ではないことを意味します。

参照

• ミルナー写像
• 特異点の解決
• 曲線の特異点
• 特異点理論
• 滑らかなスキーム
• ザリスキ接空間

参考文献

1. ハーツホーン、ロビン(1977).代数幾何学. ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. p. 33. ISBN 978-0-387-90244-9 MR  0463157 Zbl 0367.14001​ 
2. ミルナー、ジョン(1969).複素超曲面の特異点. Annals of Mathematics Studies. 第61巻.プリンストン大学出版局. pp.  12– 13. ISBN 0-691-08065-8。