融合カテゴリーの骨格化

数学において、融合圏の骨格化とは、融合圏または関連する圏的オブジェクトの核となるデータを、最小限の集合論的情報に基づいて抽出するプロセスである。この集合論的情報は、融合圏の骨格データと呼ばれる。このプロセスは、圏論における骨格化の一般的な手法と関連している。骨格化は、例題の扱い、 ^[1]、計算の実行、^[2]、融合圏の分類によく用いられる。 ^[3]

融合圏の重要な特徴は、スケルトン化の技法を効果的にするものであり、融合圏に課せられる強い有限性条件である。例えば、単純対象の同型類が有限個存在することや、すべてのホム空間が有限次元であることなどである。これにより、融合圏の圏論的構造全体を、テンソルに配置された有限個の複素数で符号化することができる。融合圏の整合条件は、テンソルの適合条件となる。

この文脈では、スケルトン化は、集合理論的情報を取得してカテゴリー理論的データに変換する分類の逆のプロセスです。

融合カテゴリーの場合

融合カテゴリーの骨格化は、しばしば弦図法の観点から述べられる。^{[4] [5] [6]} このアプローチでは、カテゴリー内のモルフィムは弦として描かれ、これはいくつかの点状オブジェクトの時空軌道として解釈することができる。

抽象ストリングダイアグラムとモルフィズムの関係。

テンソル積は、文字列を互いに隣接させて配置することによって表されます。

弦図における 2 つの射のテンソル積。

を融合圏と表記する。を の単純オブジェクトの同型類の集合と表記する。融合圏の定義により、は有限集合であり、テンソル単位に対応する特別な元を含む。融合圏は半単純 であるため、すべての に対して、分解 が成立する。ここで、係数 は、 とのテンソル積で発生する重複度を表す。これらの係数はの同型類にのみ依存する非負の整数であり、 の融合係数[ ^1]と呼ばれ、 の骨格データの最初の基本要素である。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle [{\bf {1}}]}$ ${\displaystyle [A],[B]\in {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle A\otimes B\cong \bigoplus _{[C]\in {\mathcal {L}}}N_{C}^{A,B}\cdot C}$ ${\displaystyle N_{C}^{A,B}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle N_{C}^{A,B}}$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

単純なオブジェクトが与えられれば、次のように文字列図の概念を使用して任意の射を描くことができます。 ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \eta :C\to A\otimes B}$

における基本射影。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

素射の合成はF記号を定義するために用いることができる。F記号は、6j記号と同様に、モノイド構造の結合性を符号化する10添字テンソルである。任意の単純対象と射、、が​​与えられれば、 F記号が存在する。これらの記号は、関係 ${\displaystyle A,B,C,D,E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \nu :E\to D\otimes C}$ ${\displaystyle \mu :D\to A\otimes B}$ ${\displaystyle \beta :E\to A\otimes F}$ ${\displaystyle \alpha :F\to B\otimes C}$ ${\displaystyle (F_{D;E,F}^{A,B,C})_{\alpha ,\beta }^{\mu ,\nu }}$

ストリング ダイアグラムを使用した F シンボルの暗黙的な定義。

このF記号の定義では、和は単純な対象、および写像の基底と、に対して取られます。F記号の値は、この基底の選択に依存します。基本融合空間の基底を異なるものに選択することを、 F記号上のゲージ変換と呼びます。シュアーの補題により、融合空間の次元は融合係数 に等しいため、指数が取る値の数は融合係数に依存します。 ${\displaystyle [F]\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \alpha :F\to B\otimes C}$ ${\displaystyle \beta :E\to A\otimes F}$ ${\displaystyle {\text{dim}}_{\mathbb {C} }({\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\otimes C))=N_{C}^{A,B}}$

多重度フリー融合カテゴリの場合

融合圏は、その融合係数がすべて0または1に等しい場合、多重度フリーと呼ばれます。^{[5] [1]}多重度フリーの融合圏では、射の選択を示すF記号の4つの添え字は無関係になります。したがって、この場合、F記号は6つの添え字のみと見なすことができます。これは融合圏の骨格化のプロセスを簡素化するため、多くの著者は多重度フリーの融合圏に対してのみ骨格化を定義しています。^[5]

編組融合カテゴリーの場合

融合カテゴリ上の編組モノイド構造は次のように表すことができます。

編組モノイドカテゴリのストリングダイアグラム表記。

これらの基本射を用いてR-記号を定義することができる。R-記号は、圏の組紐構造を符号化した5指数テンソルである。任意の単純対象とが与えられ、R-記号が存在する。これらの記号は、関係式によって暗黙的に定義される。 ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mu :A\to B\otimes C}$ ${\displaystyle \nu :C\to B\otimes A}$ ${\displaystyle (R_{C}^{A,B})_{\nu }^{\mu }}$

ストリング ダイアグラムを使用した R シンボルの暗黙的な定義。

モジュラーテンソルカテゴリの場合

モジュラーテンソル圏（またはより一般的にはプレモジュラーテンソル圏）上のピボット構造は、-記号（ツイストとも呼ばれる）を使用して骨格的にエンコードできます。[ 1 ]^{これらのシータ記号は、ほとんどの場合、 上の}リボン構造に直接関連付けられます。リボン構造は、編み込みと球面構造から、デリーニュのツイスティング補題によって得られます。これは、球面構造とリボン構造は編み込みがある場合に同値であるとするものです。^[7]さらに、デリーニュのツイスティング補題によれば、ピボット構造は と同値です。定義により、リボン構造は条件およびを満たす自然変換です。任意の単純なオブジェクト について、となる一意のスカラーを持つマップを識別できます。このスカラーは、単純なオブジェクト に関連付けられた -記号と呼ばれ、 の同型クラスにのみ依存します。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \theta :{\text{id}}_{\mathcal {C}}\to {\text{id}}_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \theta _{A\otimes B}=\beta _{B,A}\circ \beta _{A,B}\circ (\theta _{A}\otimes \theta _{B})}$ ${\displaystyle \theta _{A^{*}}=(\theta _{A})^{*}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \theta _{A}:A\to A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \theta _{A}=\lambda \cdot {{\text{id}}_{A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

参考文献

1. Simon, Steven H. (2023-09-29).トポロジカル量子. Oxford University PressOxford. doi :10.1093/oso/9780198886723.001.0001. ISBN 978-0-19-888672-3。
2. Bonderson, Parsa (2021). 「トポロジカル秩序の測定」. Physical Review Research . 3 (3) 033110. arXiv : 2102.05677 . Bibcode :2021PhRvR...3c3110B. doi :10.1103/PhysRevResearch.3.033110.
3. Rowell, Eric; Stong, Richard; Wang, Zhenghan (2007). 「モジュラーテンソルカテゴリの分類について」arXiv : 0712.1377 [math.QA].
4. ダビドヴィッチ、オリット;ハゲ、トビアス。王正漢 (2013)。 「算術モジュラーカテゴリーについて」。arXiv : 1305.2229 [数学.QA]。
5. Rowell, Eric; Wang, Zhenghan (2018-01-16). 「トポロジカル量子コンピューティングの数学」(PDF) .アメリカ数学会報. 55 (2): 183– 238. doi : 10.1090/bull/1605 . ISSN  0273-0979 . 2025年2月21日閲覧.
6. Selinger, P. (2011), Coecke, Bob (ed.), "A Survey of Graphical Languages for Monoidal Categories" , New Structures for Physics , Lecture Notes in Physics, vol. 813, Berlin, Heidelberg: Springer, pp.  289– 355, arXiv : 0908.3347 , doi :10.1007/978-3-642-12821-9_4, ISBN 978-3-642-12821-9、2025年2月21日取得
7. Yetter, David N. (1992). 「Framed tangles と Deligne の定理による Tannakian カテゴリの編組変形」. Contemporary Mathematics . Vol. 134. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. pp.  325– 349. doi :10.1090/conm/134/1187296. ISBN 978-0-8218-5141-8。