スコロホッドの埋め込み定理

数学および確率論において、スコロホッドの埋め込み定理（スコロホッドのしんせきていり、英: Skorokhod's embedded theorem）は、任意の適切な確率変数の集合を、複数の停止時刻で評価されたウィーナー過程（ブラウン運動）とみなすことを可能にする2つの定理のうち、一方または両方である。どちらの定理も、ウクライナの数学者A. V. スコロホッドにちなんで名付けられている。

スコロホッドの最初の埋め込み定理

X を期待値0 、有限分散の実数値確率変数とする。Wを標準実数値ウィーナー過程とする。すると、 Wの自然濾過に関して停止時間τが存在し、W _{τ は}Xと同じ分布に従う。

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau ]=\operatorname {E} [X^{2}]}$

そして

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau ^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X^{4}].}$

スコロホッドの第二埋め込み定理

X ₁、X _{2 、 ... をそれぞれ期待値0で有限分散を持つ}独立かつ同一分布に従う確率変数の列とし、

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$

すると、停止時刻の列τ ₁ ≤ τ ₂ ≤ ...が存在し、それらは部分和S _nと同じ結合分布を持ち、τ ₁、τ ₂ − τ ₁、τ ₃ − τ ₂、...は独立かつ同一分布する確率変数であり、次式を満たす。 ${\displaystyle W_{\tau _{n}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau _{n}-\tau _{n-1}]=\operatorname {E} [X_{1}^{2}]}$

そして

${\displaystyle \operatorname {E} [(\tau _{n}-\tau _{n-1})^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X_{1}^{4}].}$

参考文献

• ビリングスリー、パトリック（1995年）『確率と測度』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社ISBN 0-471-00710-2。（定理37.6、37.7）