スルツキー方程式

ミクロ経済学において、オイゲン・スラツキーにちなんで名付けられたスラツキー方程式（またはスラツキー恒等式）は、マーシャルの（補償されない）需要の変化とヒックスの（補償される）需要の変化を関連付けます。ヒックスの需要は、効用の一定レベルを維持するために補償することから、このように呼ばれています。

スラツキー方程式には、代替効果と所得効果という2つの部分があります。一般的に、代替効果はマイナスです。スラツキーは、商品の価格が変動した場合の消費者の反応を調べるためにこの式を導き出しました。価格が上昇すると、予算セットは内側に移動し、需要量も減少します。対照的に、価格が下落すると、予算セットは外側に移動し、需要量が増加します。代替効果は相対的な価格変動の影響によるものであり、所得効果は所得が解放される影響によるものです。この式は、価格変動によって引き起こされる財の需要の変化が、次の2つの影響の結果であることを示しています。

• 代替効果：財の価格が変化し、相対的に安くなると、消費者の消費は仮に変わらない可能性がある。もしそうなら、所得が余剰となり、そのお金を1つ以上の財に使うことができる。
• 所得効果:価格の低下により消費者の購買力が増加するため、消費者は製品が正常財か劣等財かに応じて、他の製品を購入したり、同じ製品をより多く購入したりできるようになります。

スラツキー方程式は、財jの価格の変化に対する財iの需要の変化を分解します。

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,}$

ここで、はヒックス需要、はマーシャル需要であり、価格水準、富水準（または所得水準）、そして元の価格と所得における効用を最大化することで得られる固定効用水準のベクトルにおける需要であり、正式には間接効用関数で表されます。式の右辺は、効用をuに固定した場合の財iの需要の変化から財jの需要量を差し引いたものに、富の変化に伴う財iの需要の変化を乗じた値に等しくなります。 ${\displaystyle h(\mathbf {p} ,u)}$ ${\displaystyle x(\mathbf {p} ,w)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$

右辺の第1項は代替効果、第2項は所得効果を表します。^[1]効用は観測不可能であるため、代替効果は直接観測できません。しかし、スラツキー方程式の他の2つの観測可能な項を参照することで計算できます。このプロセスは、需要変化のヒックス分解と呼ばれることもあります。^[2]

この式は弾性の観点から書き直すことができる。

${\displaystyle \varepsilon _{p,ij}=\varepsilon _{p,ij}^{h}-\varepsilon _{w,i}b_{j}}$

ここで、ε _pは（補償されていない）価格弾力性、ε _p ^hは補償された価格弾力性、 ε _{w,i は}財iの所得弾力性、b _{j は}財jの予算配分です。

全体的に、スラツキー方程式は、需要の総変化は所得効果と代替効果で構成され、両方の効果が総合して需要の総変化に等しくなければならないと述べています。

${\displaystyle \Delta x_{1}=\Delta x_{1}^{s}+\Delta x_{1}^{l}}$

上記の式は、需要の変化が財の種類の変化を示唆していることを示す点で有用です。無差別曲線は常に右下がりであるため、代替効果は負です。しかし、所得効果には同じことは当てはまりません。所得効果は、所得が財の消費にどの程度影響するかによって異なります。

正常財に対する所得効果は負であるため、価格が下がると消費者の購買力または所得は増加します。価格が上昇し、購買力または所得が減少する場合は、その逆が当てはまります。

劣等財の例として、インスタントラーメンが挙げられます。消費者は食費が不足するとインスタントラーメンを購入しますが、インスタントラーメンは一般的に人々が日常的に消費する商品とは考えられていません。これは貨幣制約によるもので、富が増加すると消費は減少します。この場合、代替効果はマイナスですが、所得効果もマイナスです。

いずれにしても、価格が上昇すると、代替効果または所得効果は商品の種類に応じてプラスまたはマイナスになります。

	トータルエフェクト	代替効果	所得効果
+	代替品	代替品	劣悪品
-	補完財	補完財	通常商品

しかし、劣った補完財について言及した場合、全体の効果が常にマイナスになるかどうかは断言できません。例えば、代替効果と所得効果は逆方向に作用します。全体の効果は、最終的にどちらの効果がより強いかによって決まります。

導出

スラツキー方程式を導く方法はいくつかありますが、以下の方法がおそらく最も単純でしょう。まず、支出関数 、u が p と w を与えられた場合に効用を最大化することで得られる効用である恒等式に注目しましょう。p jについて全微分すると、以下_の式が得られます 。${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}$ ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}}$ 。

シェパードの補題と最適条件 により、${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),}$ ここで、間接効用関数は、${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$

上記の導出をSlutsky方程式として置き換えて書き直すことができます。

スルツキー行列

スラツキー方程式は行列形式で書き直すことができます。

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,}$

ここで、D _pは価格に関する微分演算子であり、D _{w は}富に関する微分演算子です。

この行列はヒックス置換行列として知られており、正式には次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u):=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}\end{bmatrix}}}$

スラツキー行列は次のように表されます。

${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\end{array}}\right)}$

が消費者が価格と所得で達成する最大効用である場合、つまり である場合、Slutsky 方程式は Slutsky 行列の各要素がHicksian 代替行列 の対応​​する要素と正確に等しいことを意味します。つまり、 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u=v(\mathbf {p} ,w)}$ ${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)=\sigma (\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w)).}$

スラツキー行列は対称行列であり、支出関数 が凹面であることを考えると、スラツキー行列も負の半定値行列です。 ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$

例

2 つの財と所得を持つコブ・ダグラス効用関数 (コブ・ダグラス生産関数を参照)は、財 1 と財 2 に対するマーシャル需要を生み出します。 スラツキー方程式を変形して 、ヒックス導関数を左辺に置くと、代替効果が得られます。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}.}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}$

元のスラツキー方程式に戻ると、代替効果と所得効果がどのように加算されて、価格上昇が需要量に及ぼす全体的な影響が示されるかがわかります。

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}}$

したがって、が上昇した場合の需要量の総減少のうち、21/70は代替効果によるものであり、49/70は所得効果によるものである。財1とは、この消費者が所得の大部分を費やす財（）であり、これが所得効果がこれほど大きい理由である。 ${\displaystyle .7w/p_{1}^{2}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}q_{1}=.7w}$

スラツキー方程式の答えは、ヒックス需要関数を直接微分したものと同じであることが確認できる。これは^{[3]である。}

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{.3}u,}$

ここで効用はである。導関数は ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}u,}$

したがって、コブ＝ダグラスの間接効用関数はであり、消費者が指定された需要関数を使用する場合、導関数は次のようになります。 ${\displaystyle v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3},}$ ${\displaystyle u=v}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}},}$

それはまさにスラツキー方程式の答えです。

スラツキー方程式は、交差価格代替効果の計算にも適用できます。 が上昇しても財1のマーシャル需要量 （）は影響を受けないため、ここではゼロになると考える人もいるかもしれませんが、これは誤りです。スラツキー方程式を再度整理すると、交差価格代替効果は次のようになります。 ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$ ${\displaystyle \partial x_{1}/\partial p_{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}={\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}}$

これは、が上昇すると、財1への代替効果が働くことを 示しています。同時に、の上昇は財1の需要に対して、代替効果と同じ大きさの負の所得効果（逆効果）を及ぼすため、純効果はゼロになります。これはコブ＝ダグラス関数の特殊な性質です。 ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle .21w/(p_{1}p_{2})}$ ${\displaystyle p_{2}}$

複数の価格が同時に変更される

2つの財がある場合、行列形式のスラツキー方程式は次のようになる。^[4]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

厳密に言えば、スラツキー方程式は微小な価格変化にのみ適用されますが、有限な変化については線形近似が一般的に用いられます。2つの財の価格が と だけ変化した場合、2つの財の需要への影響は次のようになります。 ${\displaystyle \Delta p_{1}}$ ${\displaystyle \Delta p_{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}}$

行列を掛け合わせると、例えば財1への影響は次のようになる。

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

最初の項は代替効果です。2番目の項は所得効果で、所得損失に対する消費者の反応と、各価格上昇による所得損失の大きさを乗じたものです。

ギッフェン財

ギッフェン財とは、価格が上昇すると需要が増加する財であり、劣等財の特殊なケースでもあります。^[5]所得劣等という極端なケースでは、所得効果の大きさが代替効果の大きさを上回り、価格上昇に対する需要の全体的な変化がプラスになります。スルツキーは需要の変化を純粋な代替効果と所得効果に分解し、需要の法則がギッフェン財には当てはまらない理由を説明しています。

参照

• 消費者の選択
• ホテリングの補題
• ヒックス需要関数
• マーシャルの需要関数
• コブ・ダグラス生産関数
• ギッフェンは良い
• 購買力
• 普通良好
• 供給の価格弾力性
• 代替品が良い
• 劣等財
• 補完的な商品

参考文献

1. ニコルソン, W. (2005).ミクロ経済理論（第10版）. オハイオ州メイソン: トムソン高等教育.
2. Varian, H. (1992).ミクロ経済分析（第3版）. ニューヨーク: WW Norton.
3. Varian, H. (1992).ミクロ経済分析（第3版）. ニューヨーク: WW Norton.、121ページ。
4. Varian, H. (1992).ミクロ経済分析（第3版）. ニューヨーク: WW Norton.、120-121ページ。
5. Varian, Hal R. 「第8章 スラツキー方程式」エッセイ。『微積分付き中級ミクロ経済学』第1版、137ページ。ニューヨーク：WW Norton、2014年。

参考文献

Varian, HR (2020). 『中級ミクロ経済学：現代的アプローチ』（第9版）. WW Norton & Company.