ソディのヘクスレット

与えられた3つの球に接する6つの球の連鎖

図1. 回転と拡大縮小によって関連付けられた六角形群。球の中心は楕円形上にあり、楕円形六角形となる。

幾何学において、ソディのヘクスレットとは、6つの球（図1の灰色で示されている）の連鎖であり、各球は隣接する球の両方と接し、さらに互いに接する3つの与えられた球にも接している。図1において、3つの球とは、赤い内側の球と、ヘクスレット球の中心が位置する平面の上下にある2つの球（図示せず）である。さらに、ヘクスレット球は4つ目の球（図1の青い外側の球）に接しているが、この球は他の3つの球とは接していない。

1937年にフレデリック・ソディが発表した定理^[1]によれば、互いに接する球面A、B、Cの任意の組み合わせに対して、常に六角形が見つかる。実際、六角形球面の回転とスケーリングによって関連付けられる六角形は無限に存在する（図1）。この点で、ソディの六角形球面は、 6つの円からなるシュタイナー連鎖の球面版と言える。^{[2]シュタイナー連鎖と一致して、六角形球面の中心は楕円上の単一平面に位置する。ソディの六角形球面の中心は、1822年に神奈川県で発見され}た算額板に示されているように、日本でも独立して発見されている。 ^[3]

意味

ソディのヘクスレットとは、 S ₁～S ₆とラベル付けされた 6 つの球の連鎖です。各球は、A、B、Cという 3 つの球に接しており、これらの球自体も 3 つの異なる点で互いに接しています。(記事全体の一貫性を保つため、ヘクスレット球は常に灰色で、球AとBは緑色、球Cは青色で示します。) ヘクスレット球は、他の 3 つの球A、B、Cには接していない4 つ目の固定球D (常に赤色で表示)にも接しています。

ソディの六角形の各球は、連鎖内の隣接する球とも接しています。例えば、球S _4はS ₃とS ₅に接しています。連鎖は閉じており、連鎖内の各球は2つの接する隣接球を持ちます。特に、最初の球S ₁と最後の球S ₆は互いに接しています。

環状六角穴

環状のソディの六角形は特殊なケース（図2）であり、互いに接する3つの球面は、半径rの球面（青）1つを、垂直距離2 rで隔てられた2つの平行平面（緑）に挟まれた構造となっている。この場合、ソディの六角形は、中心球の周りにボールベアリングのように詰め込まれた半径rの球面6つで構成され、同様に挟まれている。六角形球面は、他の3つの球面とは接していない4つ目の球面（赤）にも接している。

6つの球の連鎖は、中心球の周りを回転させても接線は変化しないため、この場合の解の族は無限に存在することが示される。回転すると、六角形小球の球はトーラス（ドーナツ型の表面）を描き出す。言い換えれば、トーラスはこの六角形小球の族の包絡線である。

反転による解

互いに接する 3 つの球面A、B、Cに対して六角形を求めるという一般的な問題は、反転を用いることで環状の問題に簡略化できます。この幾何学的操作は、常に球面を球面または平面に変換します。平面は無限半径の球面とみなすことができます。球面が平面に変換されるのは、反転の中心を通過する場合のみです。反転の利点は、接線性が維持されることです。変換前に 2 つの球面が接している場合は、変換後も接したままになります。したがって、反転変換を慎重に選択すれば、問題は環状の Soddy の六角形などのより単純な問題に簡略化できます。反転は可逆です。同じ点で反転を繰り返すと、変換されたオブジェクトは元の大きさと位置に戻ります。

球Aと球 Bの接点における反転により、これらの球は平行平面に変換され、aおよびbで表すことができます。球CはAとB の両方に接し、反転の中心を通らないため、C は両方の平面に接する別の球cに変換されます。したがって、 c は2つの平面aとbの間に挟まれます。これが環状の Soddy の六角形 (図 2) です。 6 つの球s ₁ – s _6をc の周囲に詰め込むことができ、同様に境界平面aとbの間に挟まれます。再反転により元の3つの球が復元され、s ₁ – s ₆が元の問題の六角形に変換されます。一般に、これらの六角形球S ₁ – S ₆は半径が異なります。

6つの球体s ₁～s ₆を平面内で任意の角度回転させ、その後反転させることで、無限の種類の六角形を生成することができます。この回転によって生成される包絡線は、球面cを囲み、2つの平面aとbに挟まれたトーラスです。したがって、トーラスの内半径はr、外半径は 3 rです。反転後、このトーラスはデュパンサイクライドになります（図3）。

図3：デュパンのサイクライド。六角球は常に接触しながら回転します。サイクライドは、内球、外球、そして「ドーナツ」の「穴」の上下にある2つの球に接しています。

デュパン環化物

ソディのヘクレットの包絡線はデュパンのサイクライドであり、トーラスの反転である。したがって、ソディの構成は、デュパンのサイクライドが1パラメータ球族の2つの異なる方法での包絡線であり、どちらの族の球も、同じ族の2つの球と、もう一方の族の3つの球に接していることを示す。^[4]この結果はおそらくシャルル・デュパンにも知られており、彼はガスパール・モンジュの指導の下、1803年の学位論文で自身の名を冠したサイクライドを発見した。^[5]

シュタイナー鎖との関係

六角形とその球面中心の平面との交差により、 6 つの円のシュタイナー連鎖が生成されます。

放物線状と双曲状の六角形

$球A$ と球 $B$ は同じ大きさであると仮定します。

記事の冒頭に示されているような楕円六角形には、六角形に接する平面が2つあります。楕円六角形が存在するためには、 $Cの半径が$ $A$ の半径の4分の1未満でなければなりません。C の半径が A の半径の4分の1であれば $、$ 各球 $は$ 途中で平面になります。ただし、反転した像は通常の楕円六角形を示しており、放物線六角形の場合、球が平面に変わる点は、まさにその反転した像が反転の中心を通過する点です。このような六角形には、六角形に接する平面は1つしかありません。放物線六角形の中心線は放物線です。

$C が$ それよりもさらに大きい場合、双曲六角形が形成され、接平面は全く存在しなくなります。球面 $S 1$ から $S 6までをそれぞれ$ $S$ 1 とします。S $1 は$ 平面（反転像が反転中心を通過する）となり、その後凹面が反転（反転像が反転中心を囲む）するまで、あまり遠くまで進むことができません。こうして中心線は双曲線となります。

極限の場合は、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ がすべて同じサイズの場合です。六角形は直線になります。 $S 1$ $は、 A$ 、 $B$ 、 $C$ の間の穴を通過するときに小さくなり、これらに接する平面になるまで大きくなります。反転の中心は、 $S 6$ の像との接点にもなるため、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ に接する平面でもあります。 $S 1$ $が進むにつれて、その凹面は反転し、 A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $S 2$ 、 $S 6$ に接する他のすべての球を囲みます。 $S 2 は$ 上方に押し上げられて成長し、接平面になり、 $S 6$ は縮小します。次に、 $S 1 は接平面としての$ $S 6$ の以前の位置を取得します。次に、再び凹面を反転し、再び穴を通過して、別の往復を開始します。これで、中心線は退化した双曲線になり、2本の直線に縮退しました。^[2]

算額

日本の数学者たちはソディより100年以上も前に、同じ六角形を発見していた。彼らは円と多角形、球と多面体が接するパッキング問題を解析し、西洋の数学者が発見する前に、関連する定理を独自に発見することが多かった。彼らはこれらを算額として出版することが多かった。この六角形に関する算額は、内田逸見流の入沢新太郎博厚によって作られ、 1822年5月に寒川神社に奉納された。オリジナルの算額は失われているが、1832年に内田が著した『古今算額』に記録されている。この記録から算額のレプリカが作られ、2009年8月に寒川神社の報徳博物館に奉納された。^[6]

入澤の算額は3つの問題から成ります。3つ目の問題はソディの六角形に関するもので、「外接球の直径は30寸である。核となる球の直径はそれぞれ10寸と6寸である。球の連鎖にある球の一つの直径は5寸である。そこで残りの球の直径を求めた。答えは15寸、10寸、3.75寸、2.5寸、そして2 + 8/11寸である。」^[7]

彼の回答には、球の直径を計算する方法が記されており、それを数学的記法に変換すると、以下の解が得られる。外側の球の直径と各核球の直径の比をa ₁、a ₂とし、外側の球の直径と各鎖球の直径の比をc ₁、…、c _{6とすると、c}₂、…、 c _6をa ₁、 a ₂、 c ₁で表す。もし

K={\sqrt {3\left(a_{1}a_{2}+a_{2}c_{1}+c_{1}a_{1}-\left({\frac {a_{1}+a_{2}+c_{1}+1}{2}}\right)^{2}\right)}}

それから、

{\begin{aligned}c_{2}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2-K\\c_{3}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2-K\\c_{4}&=2a_{1}+2a_{2}-c_{1}-2\\c_{5}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2+K\\c_{6}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2+K.\end{aligned}}

。

すると、c ₁ + c ₄ = c ₂ + c ₅ = c ₃ + c ₆となります。

r ₁、...、r ₆が6個のボールの直径である場合、次の式が得られます。

{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{4}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{5}}}={\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{6}}}.

参照

注記

^ ソディ 1937
^ オグルヴィ 1990より
^ ロスマン 1998
^ コクセター 1952
^ オコナー＆ロバートソン 2000
^ 山路・西田 2009, p. 443.
^ 天野 1992, 21–24頁。

参考文献

天野博 (1992) 『神奈川県算学集』天野博。
コクセター, HSM ( 1952)、「球面の連結リング」、スクリプタ・マセマティカ、18 : 113–121。
深川英俊、ロスマン、トニー（2008年）、聖なる数学：日本の寺院の幾何学、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-12745-3
オコナー、ジョン・J.；ロバートソン、エドマンド・F.（2000）「ピエール・シャルル・フランソワ・デュパン」、マクチューター数学史アーカイブ。
オグルヴィ、CS（1990）、幾何学への遠足、ドーバー、ISBN 0-486-26530-7。
ソディ、フレデリック（1937）「整数のボウルとヘクスレット」ネイチャー、139（3506）、ロンドン：77-79、doi：10.1038/139077a0。
ロスマン, T (1998)、「日本の寺院の幾何学」、サイエンティフィック・アメリカン、278 : 85–91、doi :10.1038/scientificamerican0598-84。
山路克則；西田智美編(2009) 『和算の辞典』朝倉書店、ISBN 978-4-254-11122-4。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「Hexlet」。MathWorld。
B. アランソン「ソディのヘクスレットのアニメーション」
Wayback Machineの Japanese Temple Geometry (アーカイブ 2019 年 3 月 19 日) – 算数問題 0 のアニメーション 0 は、球 A と球 B の半径が等しく、球 A、B、C の中心が直線上にある場合を示しています。アニメーション 1 は、球 A と球 B の半径が等しく、球 A、B、C の中心が直線上にない場合を示しています。アニメーション 2 は、球 A と球 B の半径が等しくない場合を示しています。アニメーション 3 は、球 A、B、C の中心が直線上にあり、球 A、B の半径が可変である場合を示しています。
寒川神社宝徳館所蔵の算額レプリカ（ウェイバックマシンより）（2016年8月26日アーカイブ） – 3番目の問題はソディの六角形に関係しています。
古今山鑑（1832年）のページ - 京都大学数学教室
『古今三観』（1832年）のページ – 左のページはソディのヘクスレットに関するものです。

[1] ソディ 1937

[ogilvy-2] オグルヴィ 1990より

[3] ロスマン 1998

[4] コクセター 1952

[5] オコナー＆ロバートソン 2000

[6] 山路・西田 2009, p. 443.

[7] 天野 1992, 21–24頁。