ソロー残差

ソロー残差は、ある経済における年ごと、あるいは10年ごとの実証的な生産性成長を表す数値です。ノーベル経済学賞受賞経済学者ロバート・ソローは、生産性の上昇を、資本と労働投入量が一定である状態での産出量の上昇と定義しました。これは資本蓄積や労働投入量の増加といった尺度では説明できない成長部分であるため、「残差」と呼ばれます。物理的スループットの増加、すなわち環境資源の増加は計算から明確に除外されているため、残差の一部は物理的スループットの増加に起因すると考えられます。ここで用いられる例は、投入量が変化しない資本内設備を鋼鉄からアルミニウムに置き換える場合です。これは、他の多くの変数が存在するほとんどすべての経済状況とは異なります。ソロー残差はプロサイクリックであり、その指標は現在では多要素生産性成長率または全要素生産性と呼ばれていますが、ソロー（1957）はこれらの用語を使用していませんでした。

歴史

1950年代には、多くの経済学者^{[要出典]が}第二次世界大戦後の復興後の経済成長に関する比較研究を行った。中には^{[誰？ ]}、長期的な成長への道は、産業とインフラへの投資、そして資本集約型の自動化生産へのさらなる移行によって達成されると主張した者もいた。設備の減価償却に伴うこのアプローチの収穫逓減への懸念は常にあったものの、これは採用すべき正しい産業政策という広く受け入れられた見解であった。多くの経済学者は、ソ連の統制経済を、生産物を更なる産業建設にたゆまぬ再投資によって実現した高成長のモデルとして指摘した。

しかし、一部の経済学者^{[誰？ ]}は異なる見解を示しました。彼らは、資本の限界収益が労働の限界収益と等しくなると、資本集中が進むと収益は減少し、貯蓄率の高い経済の急速な成長は短期的な現象に過ぎないと主張しました。この分析は^[要出典]、労働生産性の向上または全要素技術の向上が国家成長の長期的な決定要因であり、資本不足の国だけがインフラ投資によって一人当たり所得を大幅に増加させることができることを示唆しました。これらの資本不足の国の中には、まだ戦争から立ち直りつつある国もあり、このようにして先進国との収束路線に沿って急速に発展すると予想されていました。

ソロー残差は、一人当たり経済成長率が一人当たり資本ストック成長率を上回ることと定義されるため、その検出は、経済の工業化の進展以外にも、生産高への何らかの貢献があるはずであることを示唆しています。生活水準の測定された成長率、つまり生産高対労働投入比率が、資本／労働比率の上昇だけで完全に説明できないという事実は重要な発見であり、成長への潜在的な道筋として資本蓄積ではなくイノベーションを示唆しています。

「ソロー成長モデル」は、経験的残差を説明または導出することを意図したものではなく、マクロ経済の集計モデルに外生的に適用した場合に、長期的に経済にどのような影響を与えるかを示すことを目的としています。このモデルは、実際には「技術」成長と「産業」成長の影響を示すためのツールであり、それぞれの成長がどこから生じているのかを理解しようとするものではありません。ソロー残差は、理論分析の結果を予測するものではなく、主に説明するための観察結果です。これは答えではなく疑問であり、以下の式はその事実を曖昧にすべきではありません。

ソローモデルの残差項として

ソローは、1年間の総生産量（t）の非常に基本的なモデルを仮定した。彼は、生産量は資本量（インフラ）、労働量（労働力人口）、そしてその労働の生産性によって決まると述べた。彼は、労働生産性が長期的なGDP増加の原動力となると考えた。この形式の経済モデルの例を以下に示す。^[1]

${\displaystyle Y(t)=[K(t)]^{\alpha }[A(t)L(t)]^{1-\alpha }\,}$

どこ：

• Y ( t ) は、ある年tにおける経済全体の生産量 ( GDP ) を表します。
• K ( t ) は生産経済における資本であり、資本主義経済におけるすべての企業の合計価値を通じて測定される可能性があります。
• A ( t ) は多要素生産性（しばしば「技術」として一般化される）を表す。この数値のA (1960)からA (1980) への変化は、例えば1960年から1980年までの労働「効率」の伸びやソロー残差を推定する鍵となる。
• L ( t ) は労働力です。これは単純に就労している人の数であり、成長モデルは長期モデルであるため、労働力が拡大する人口の一定の割合であると仮定して、景気循環的な失業の影響を無視する傾向があります。

このモデル内での生産量の変化を測定または予測するために、上記の式を時間 ( t )で微分し、労働対生産量、資本対生産量、生産性対生産量の関係の偏導関数の式を次のように与えます。

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial t}}={\frac {\partial Y}{\partial K}}{\frac {\partial K}{\partial t}}+{\frac {\partial Y}{\partial L}}{\frac {\partial L}{\partial t}}+{\frac {\partial Y}{\partial A}}{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

観察する：

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}={\alpha }[K(t)]^{\alpha -1}\cdot [A(t)L(t)]^{1-\alpha }={\frac {{\alpha }Y}{K(t)}}}$

同様に:

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial L}}={\frac {(1-{\alpha })Y}{L(t)}}}$ そして${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial A}}={\frac {(1-{\alpha })Y}{A(t)}}}$

したがって：

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial t}}={\frac {{\alpha }Y}{K(t)}}{\frac {\partial K}{\partial t}}+{\frac {(1-{\alpha })Y}{L(t)}}{\frac {\partial L}{\partial t}}+{\frac {(1-{\alpha })Y}{A(t)}}{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

経済の成長係数は、前年度の生産高の割合であり、この式の両辺を生産高Yで割ることで求められます（前年比で小さな変化を想定）。

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial Y}{\partial t}}{Y}}=\alpha {\frac {\frac {\partial K}{\partial t}}{K(t)}}+(1-{\alpha }){\frac {\frac {\partial L}{\partial t}}{L(t)}}+(1-{\alpha }){\frac {\frac {\partial A}{\partial t}}{A(t)}}}$

この式の右辺の最初の2項は、資本と労働の前年比変化率であり、左辺は生産量の変化率です。右辺の残りの項は、生産性向上がGDPに与える影響を表し、ソロー残差として定義されます。

${\displaystyle SR(t)={\frac {\frac {\partial Y}{\partial t}}{Y}}-\left(\alpha {\frac {\frac {\partial K}{\partial t}}{K(t)}}+(1-{\alpha }){\frac {\frac {\partial L}{\partial t}}{L(t)}}\right)}$

残差SR ( t )は、資本量Kと労働者数Lの測定可能な変化では説明できない成長の部分です。もし産出量、資本、労働力が20年ごとに倍増するならば、残差はゼロになりますが、一般的にはこれよりも高くなります。産出量が投入要素の増加率よりも速く増加するからです。残差は時期や国によって異なりますが、平時の資本主義国ではほぼ常にプラスになります。戦後の米国の残差に関するいくつかの推定では、生産性の伸びが停滞したように見える1970年代初頭まで、米国の生産性は年間3%上昇したとされています。

回帰分析とソロー残差

上記の関係は、1年間の経済の非常に簡略化された図を示しています。成長理論計量経済学では、複数の年を時系列で観察し、変数の変化に統計的に有意なパターンを見つけ出し、「ソロー残差」の存在と値を特定します。これを行う最も基本的な手法は、すべての変数（ノイズによって隠されている）の変化率が一定であると仮定し、データに回帰分析を適用して、利用可能な過去のデータからこれらの変化率の最良の推定値を求めることです（通常の最小二乗回帰法を使用）。経済学者は常に、まず方程式の自然対数をとってこれを行います（方程式の右辺の変数を分離するため）。この生産関数の両辺を対数化すると、誤差項を含む単純な線形回帰が得られます。 ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \ln(Y(t))=\alpha \ln(K(t))+(1-\alpha )[\ln(L(t))]+(1-\alpha )[\ln(A(t))]+\varepsilon .\,}$

一定の成長係数は上記の変数の指数関数的成長を意味するため、微分化により成長係数間の線形関係が得られ、これは単純な回帰で推測できます。

回帰分析では、推定する式は次のようになります。

${\displaystyle y=C+\beta k+\gamma \ell +\varepsilon \,}$

どこ：

• Cはlog( A )（技術変化率）の 係数（1− α）として解釈できる。
• kは大文字、ln(K)
• γは（対数）出力、ln(Y)
• ℓは労働、ln(L)

回帰方程式の形式を考えると、係数を弾力性として解釈できます。

実際の技術の量またはレベルを計算するには、レベルの式を参照するだけです。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle Y(t)=A(t)^{C}K(t)^{\beta }L(t)^{\gamma }}$

出力、資本、労働の量と、およびの推定値を知っているので、次のように解くことができます。 ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle K(t)}$ ${\displaystyle L(t)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle A(t)=\left({\frac {Y(t)}{K(t)^{\beta }L(t)^{\gamma }}}\right)^{\frac {1}{C}}}$

マンキュー、ローマー、そしてワイルは、ソロー＝スワンモデルに人的資本の項を明示的に追加した。この項をモデルに明示的に組み込むことで、人的資本の変化の影響がソロー残差から資本蓄積へと移される。その結果、拡張ソローモデルではソロー残差が小さくなる。

${\displaystyle Y(t)=[K(t)]^{\alpha }[H(t)]^{\beta }[A(t)L(t)]^{1-\alpha -\beta }\,}$

どこ：

• H ( t ) は、ある年tにおける経済における人的資本ストック ( GDP ) を表します。

このモデルを推定するための関連回帰は次のとおりです。

${\displaystyle \ln(Y(t))=\alpha \ln(K(t))+\beta \ln(H(t))+(1-\alpha -\beta )[\ln(L(t))]+(1-\alpha -\beta )[\ln(A(t))]+\varepsilon .\,}$

ブレトンは、20世紀における人的資本を考慮したソロー・スワン・モデルのソロー残差を推定した。^[2]彼は、1910年から2000年にかけて、世界の主要経済国42カ国において、平均して年率1%の増加と0.3%の増加があったことを明らかにした。 ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle A(t)^{1-\alpha -\beta}}$

生産性の向上が労働に結びつく理由

ソロー残差は全要素生産性を測る指標であるが、ソロー・スワンモデルでは、技術成長を労働増加的とするため、生産性変数は通常、労働変数に付随する。この種の生産性成長は、生産要素に帰属する国民所得のシェアを時間の経過とともに一定に保つために数学的に必要である。これらのシェアは、発展途上国および先進国において歴史的に安定していたように思われる。^[3]しかし、2014年にソローモデルの一種を用いて発表されたトーマス・ピケティの有名な不平等に関する研究では、国民所得における利潤のシェアが安定して比較的低いのは、主に20世紀の現象であると主張した。^[4]

急速に発展する経済における測定の批判

急速に発展する国（危機や貿易自由化後の追い上げ）は、資本蓄積に伴い技術の転換が急速に進む傾向がある。このため、利用可能な技術に関する経験を積むことが難しくなる傾向があり、このような場合のソロー残差がゼロであることは、実際には労働生産性の上昇を示していると示唆されている。この理論では、新しいスキルが不可欠になってもA（労働生産性）が低下していないという事実は、労働力が適応能力を備えていることを示し、残差によって生産性の伸びが過小評価される可能性が高いとされている。この考え方は「実践による学習」と関連している。

参照

• ソロー・コンピュータ・パラドックスは、情報技術がより広く利用されるようになったにもかかわらず、多くの国で残差がゼロであることがわかったことに基づいています。
• 経済における資本のレベルが理論上も測定できるかどうかについての資本論争。測定できないのであれば、ソロー残差も測定できない。
• ソロー成長モデルは、ソロー残差を外生的に追加して、さまざまな生産性成長レベルでのGDP成長を予測できる経済発展モデルです。
• バラッサ＝サミュエルソン効果は、変動するソロー残差の影響を説明するものです。この仮定は、大量生産された貿易財の残差がサービス部門の残差よりも高いと仮定しています。この仮定は購買力平価からの乖離を説明するために用いられており、サービス産業の生産性上昇率が低い（自動化が難しい）という理由だけで、サービス産業への投資が拡大するにつれて、全体の残差に「足かせ」となる可能性があります。
• 多要素生産性

参考文献

1. この式は「コブ・ダグラス関数」であり、その解析的な扱いやすさと、長期的には生産関数における資本と労働の正確な関係は重要ではないことから、他のどの産出関係よりも頻繁に用いられます。規模一定収穫逓（そして技術的な稲田条件を満たす）の任意の生産関数を用いて、より困難を伴いながらも、同じ結果を導き出すことができます。
2. ブレトン、セオドア（2013年）「20世紀における世界の生産性成長と定常状態率」『エコノミクス・レターズ』119（3）：340-342。doi ： 10.1016/ j.econlet.2013.03.013。hdl：10784/2596。
3. Barro, Robert J. ; Sala-i-Martin, Xavier (2004). 「外生的貯蓄率を考慮した成長モデル」『経済成長』 （第2版）ニューヨーク：McGraw-Hill. pp.  23– 84. ISBN 0-262-02553-1。
4. ピケティ、トーマス（2014年）『21世紀の資本』ロンドン：ハーバード大学出版局、ISBN 9780674430006。

さらに読む

• ローマー、デイヴィッド（2000年）『マクロ経済学入門』（第2版）ボストン：マグロウヒル／アーウィン社、ISBN 0-07-231855-4。本書は第1章で上記のモデルを分かりやすく解説しています。後続の章では、このモデルを内生的成長の現代的な分析へと拡張しています。また、本書では成長会計における残差の重要性についても論じています。
• ソロー、ロバート (1957). 「技術変化と集計生産関数」.経済統計レビュー. 39 (3): 312– 320. doi :10.2307/1926047. JSTOR  1926047. S2CID  44651616.
• ソロー、ロバート・M. (1955). 「生産関数と資本理論」『経済研究』103-107頁。

外部リンク

• 韓国のソロー残差は純粋な技術ショックを反映しているか？ –共和分などの現代の計量経済学的手法が、ソロー残差に関してより信頼性の高い推論を導き出すためにどのように使用されているかを示す論文。なぜなら、現実世界は、ここでの単回帰分析で説明した滑らかに進化するモデルとは異なるからである。