2年生の夢

数学では、2年生の夢は、（特に最初の） 恒等式のペアです。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\&\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{alignedat}}}$$ 1697年にヨハン・ベルヌーイ によって発見されました。

これらの定数の数値はそれぞれ約 1.291285997... と 0.7834305107... です。

^{「2年生の夢」 [1]}という名称は、「 1年生の夢」という誤った^[注1]アイデンティティとは対照的です。2年生の夢は、同じように「話がうますぎる」という印象を与えますが、事実です。 ${\textstyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}}$

証拠

区間x  ∈ (0, 1]における関数y  =  x ^x (赤、下) とy  =  x ^{− x (灰色、上) のグラフ。}

2つの恒等式の証明は完全に類似しているため、ここでは2番目の恒等式の証明のみを示します。証明の主要な要素は次のとおりです。

• 次のように書く（自然対数にはln、指数関数にはexpという表記を使用する）。${\textstyle x^{x}=\exp(x\ln x)}$
• expのべき級数を使って展開し、${\textstyle \exp(x\ln x)}$
• 置換積分法を使用して、項ごとに積分します。

詳細には、x ^{x は}次のように展開されます。

$${\displaystyle x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}.}$$

したがって、

$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.}$$

べき級数の 一様収束により、和と積分を入れ替えて次の式が得られる。

$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.}$$

上記の積分を評価するには、積分の変数を置換 によって変更します 。この置換により、積分境界は 次の ように変換され、恒等式 が得られます。ガンマ関数のオイラーの積分恒等式 により、次 の式が得られます。${\textstyle x=\exp(-{\frac {u}{n+1}}).}$ ${\displaystyle 0<u<\infty ,}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du.}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du=n!,}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}$$

これらを合計すると（インデックスを変更してn = 0ではなくn = 1から始まるようにすると）、式が得られます。

歴史的証拠

^{ベルヌーイ[2]}によって示され、ダナム^[3]によって現代化された形で提示された元の証明は、項積分の計算方法が上記のものと異なりますが、それ以外は同じであり、ステップを正当化するための技術的な詳細（項積分など）は省略されています。ベルヌーイは、置換積分を行ってガンマ関数（当時は未知でした）を得る代わりに、部分積分を用いてこれらの項を反復的に計算しました。 ${\textstyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,dx}$

部分積分は以下のように進行し、2つの指数を独立に変化させて再帰積分を得る。まず不定積分を計算し、積分定数 は省略する。これは歴史的に行われてきたことと、定積分を計算する際に必要となるためである。 ${\displaystyle +C}$

とを代入して積分すると次のようになります。 ${\textstyle \int x^{m}(\log x)^{n}\,dx}$ ${\textstyle u=(\log x)^{n}}$ ${\textstyle dv=x^{m}\,dx}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}(\log x)^{n}\,dx&={\frac {x^{m+1}(\log x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\log x)^{n-1}}{x}}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\log x)^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\log x)^{n-1}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\end{aligned}}}$$

（対数関数の積分のリストにも含まれる）。これにより、積分関数の対数のべき乗が1だけ減少し（ からまで）、したがって、次のように 帰納的に積分を計算することができる。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ $${\displaystyle \int x^{m}(\log x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\log x)^{n-i}}$$

ここで、 は階乗の低下を表します。nは整数な ので、帰納法は 0 で停止し、有限の和が存在します。${\textstyle (n)_{i}}$

この場合、 と は整数なので、 ${\textstyle m=n}$

$${\displaystyle \int x^{n}(\log x)^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\log x)^{n-i}.}$$

0から1まで積分すると、1の最後の項を除いてすべての項が消え、^[注2]次の式が得られます。

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx={\frac {1}{n!}}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n}}}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}$$

これは、異なるドメインのガンマ関数のオイラーの積分恒等式を計算することと同じです（置換による変数の変更に対応）。オイラーの積分恒等式自体も、類似の部分積分によって計算できるためです。 ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

参照

• シリーズ（数学）

注記

1. 一般に誤りだが、素数特性pの可換環でnがpのべき乗である場合は正しい。一般的な可換環における正しい結果は二項定理によって与えられる。
2. ロピタルの法則により、すべての項は 0 で消えます(ベルヌーイはこの技術的な部分を省略しました)。また、 log 1 = 0であるため、最後の項以外はすべて 1 で消えます。${\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{m}(\log x)^{n}=0}$

参考文献

式

• ベルヌーイ、ヨハン (1697)。オペラオムニア。 Vol. 3.  376 ～ 381 ページ。
• ボルウェイン、ジョナサン、ベイリー、デイビッド・H、ギルゲンソン、ローランド (2004). 『数学における実験：発見への計算的道筋』テイラー＆フランシス、pp. 4, 44. ISBN 9781568811369。
• ダナム、ウィリアム (2005). 「第3章：ベルヌーイ（ヨハンと）」.微積分ギャラリー：ニュートンからルベーグまでの傑作集. プリンストン大学出版局. pp.  46– 51. ISBN${\displaystyle x^{x}}$  9780691095653。
• OEIS、（OEISの配列A083648）および（OEISの配列A073009）
• ジョージ・ポーリャ; Szegő、Gábor (1998)、「パート I、問題 160」、分析における問題と定理、Springer、p. 36、ISBN 9783540636403
• ワイスタイン、エリック・W.「2年生の夢」。MathWorld。
• マックス・R・P・グロスマン（2017）：2年生の夢。最初の定数の100万桁

関数

• x^xと2年生の夢のための文学、テトレーションフォーラム、2010年3月2日
• 結合指数関数、ジェイ・A・ファンティーニ、ギルバート・C・クロエプファー、1998年
• 2年生の夢関数、ジャン・ジャクリン、2010年、13ページ。
• Lehmer, DH (1985). 「スターリング数とxxに関連する数」.ロッキーマウンテン数学ジャーナル. 15 (2): 461. doi : 10.1216/RMJ-1985-15-2-461 .
• グールド, HW (1996). 「y = xxの高階微分値に関連する多項式集合」.ロッキーマウンテン数学ジャーナル. 26 (2): 615. doi : 10.1216/rmjm/1181072076 .
• ローマン、ガボール（2021）。 「２年生の夢の延長」。Analele Universitatii Ovidius Constanta - Seria Matematica。29 (1): 211–218 .土井: 10.2478/auom-2021-0014。

脚注

1. これはBorwein、Bailey、Girgensohn 2004に掲載されています。
2. ベルヌーイ 1697.
3. ダナム 2005.