時空
Mathematical model combining space and time

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1908年、ヘルマン・ミンコフスキーは、時​​間と3つの空間次元を、現在ミンコフスキー空間として知られる単一の4次元連続体に融合する特殊相対性理論の幾何学的解釈を提示しました。この解釈は、時空が質量とエネルギーによって曲がっているという一般相対性理論にとって極めて重要であることが証明されました。

基礎

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定義

定義

非相対論的古典力学は、時間を、全体にわたって均一で、空間から分離され、すべての観測者が同意する普遍的な測定量として扱います。古典力学は、時間の経過速度は観測者の運動状態や外部のものと無関係であると仮定しています。[1]空間はユークリッド空間であると仮定しています。つまり、空間は常識的な幾何学に従うと仮定しています。[2]

特殊相対性理論の文脈では、物体の時間の経過速度は観測者に対する物体の速度に依存するため、時間は空間の3次元から切り離すことはできません。 [3] : 214–217  一般相対性理論は、重力場が、その場の外にいる観測者から見た物体の時間の経過を どのように遅らせることができるかを説明します。

通常の空間では、位置は次元と呼ばれる3つの数値で指定されます。直交座標系では、これらはしばしばx、y 、 zと呼ばれます。時空内の点は事象と呼ばれ、空間内の3次元の位置と時間内の位置の4つの数値を指定する必要があります（図1）。事象は、座標x、y、z、tのセットで表されます。[4]したがって、時空は4次元です

爆竹や火花などの出来事を説明するために一般的な文献で用いられる類推とは異なり、数学的な出来事は持続時間がゼロであり、時空内の単一の点を表します。[5]爆竹や火花の爆発に対して相対的に運動することは可能ですが、観測者が出来事に対して相対的に運動することは不可能です

時空における粒子の軌跡は、一連の出来事として考えることができます。一連の出来事は互いに結び付けられ、時空における粒子の進行を表す曲線を形成します。この軌跡は粒子の世界線と呼ばれます。[6] : 105 

数学的には、時空は多様体であり、つまり、地球の表面が十分に小さなスケールで平らに見えるのと同じように、各点の近くでは局所的に「平ら」に見える。[7]スケール係数（慣習的に光速と呼ばれる）は、空間で測定された距離と時間で測定された距離を関連付ける。このスケール係数の大きさ（空間で約30万キロメートル、または19万マイルは時間で1秒に相当する）と、時空が多様体であるという事実は、通常の非相対論的速度と通常の人間スケールの距離において、人間が観測するものは、世界がユークリッド世界であった場合に観測されるものと著しく異なることはほとんどないことを意味する。 1800年代半ばにフィゾーの実験やマイケルソン・モーリーの実験といった高感度の科学的測定が登場して初めて、観測とユークリッド空間という暗黙の仮定に基づく予測との間に不可解な矛盾が指摘されるようになりました。[8] c {\displaystyle c}

図1-1。時空におけるそれぞれの位置は、参照フレームによって定義された4つの数値、すなわち空間内の位置と時間で示されます。時間は、空間内の各位置に設置された時計の読みとして視覚化できます。「観測者」は、それぞれの参照フレームに従って時計を同期させます。

特殊相対論では、観測者とは、ほとんどの場合、一連の物体または事象が測定される参照フレームを意味します。この用法は、この用語の通常の英語の意味とは大きく異なります。参照フレームは本質的に非局所的な構成物であり、この用語の用法によれば、観測者が位置を持っていると言うことは意味がありません。[9]

図1-1では、検討中のフレームに、この基準フレーム内で同期された稠密な時計の格子が備わっており、それが空間の3次元全体に無限に広がっていると想像してください。格子内の特定の位置は重要ではありません。時計の格子は、フレーム全体で発生する出来事の時間と位置を決定するために使用されます。「観測者」という用語は、1つの慣性基準フレームに関連付けられた時計の集合全体を指します。[9] : 17–22 

この理想的なケースでは、空間のあらゆる点には時計が関連付けられており、時計は各イベントを瞬時に記録し、イベントとその記録の間に時間遅延はありません。実際の観測者は、光の速度による信号の発信と検出の間に遅延を観測します。実験後のデータ処理において、時計を同期させるために、信号受信時刻は、理想的な時計格子によって記録された場合の実際の時刻を反映するように修正されます。[9] : 17–22 

特殊相対性理論に関する多くの書籍、特に古い書籍では、「観測者」という言葉はより一般的な意味で使用されています。どちらの意味が採用されているかは、通常、文脈から明らかです。

物理学者は、信号伝播遅延を除外した後に測定または観測するものと、そのような補正なしに視覚的に見るものを区別します。測定するものと見るものの違いを理解していないことが、相対性理論の研究者の間で多くの混乱の原因となっています。[10]

歴史

1800年代半ばまでに、アラゴ斑点の観測や空気中と水中における光速度の差測定など、様々な実験によって、粒子理論とは対照的に光の波動性が証明されたと考えられていました。[11]当時、波の伝播には波動媒体の存在が必要であると想定されていました。光波の場合、これは仮説上の光伝導エーテルであると考えられていました。[注 1]この仮説媒体の特性を確立しようとする様々な試みは、矛盾する結果をもたらしました。例えば、1851年にフランスの物理学者イポリット・フィゾーが行ったフィゾーの実験では、流水中の光速度は、空気中の光速度と水の速度の合計よりも、水の屈折率に依存する量だけ遅いことが実証されました。[12]

とりわけ、この実験で示唆された部分的なエーテル引きずりが屈折率（波長に依存）に依存していることから、エーテルは異なる光の色に対して同時に異なる速度で流れるという受け入れがたい結論が導かれた。 [13] 1887年のマイケルソン・モーリーの実験（図1-2）では、地球の運動が仮想エーテルを通過することで光速に差が生じることは示されておらず、最も可能性の高い説明である完全なエーテル引きずりは恒星の光行差の観測と矛盾していた。[8]

1889年にジョージ・フランシス・フィッツジェラルド[14] 、1892年にヘンドリック・ローレンツはそれぞれ独立して、固定されたエーテル中を移動する物質は通過によって物理的に影響を受け、運動方向に収縮し、それがまさにマイケルソン・モーリーの実験の否定的な結果を説明するのに必要な量であると提案しました。運動方向に横切る方向には長さの変化は起こりません。

1904年までに、ローレンツは理論を拡張し、後にアインシュタインが導出する方程式、すなわちローレンツ変換と形式的に同一の方程式に到達しました。[15]力学理論（力とトルクとそれらが運動に及ぼす影響の研究）として、彼の理論は物質の物理的構成要素の実際の物理的変形を仮定していました。[16] : 163–174 ローレンツの方程式は、彼が局所時間と呼ぶ量を予測し、それによって光行差、フィゾーの実験、その他の現象 を説明することができました

図1-3

アンリ・ポアンカレは、空間と時間を時空に統合した最初の人物です。[17] [18] : 73–80, 93–95 彼は1898年に、2つの出来事の同時性は慣習の問題であると主張しました。[19] [注2] 1900年には、光速一定を仮定した時計同期の明示的な操作的定義を適用することにより、ローレンツの「局所時間」は実際には動く時計によって示されるものであることを認識しました。[注3] 1900年と1904年には、彼が相対性原理と呼んだものの妥当性を強調することにより、エーテルの固有の検出不可能性を示唆しました。1905/1906年には[20]、ローレンツの電子理論を相対性公理と一致させるために数学的に完成させました

ローレンツ不変重力に関する様々な仮説を議論する中で、彼は4次元時空という革新的な概念を導入し、4次元位置ベクトル、4次元速度ベクトル、4次元力ベクトルという4つのベクトルを定義した。[21] [22]しかし、その後の論文では4次元形式論を追求せず、この研究は「限られた利益のために多大な苦労を伴う」ように思われると述べ、最終的に「我々の世界の記述には3次元言語が最も適しているようだ」と結論付けた。[22] 1909年になっても、ポアンカレはローレンツ変換の力学的解釈を記述し続けた。[16] : 163–174 

1905年、アルベルト・アインシュタインは特殊相対性理論を、力学ではなく運動学（力の影響を受けない運動物体の研究）の観点から解析した。彼の結果は、数学的にはローレンツとポアンカレの結果と等価であった。彼は、理論全体が相対性原理と光速度不変原理という二つの公理の上に成り立っていることを認識することで、これらの結果を導き出した。彼の業績は、動いている時計間の光信号の交換、動く棒の長さの精密な測定など、鮮明なイメージに満ちていた。[23] [注 4]

1905年、アインシュタインは質量とエネルギーの一般的な等価性を導入することで、電磁気的な質量とエネルギーの関係に関する以前の試みを覆しました。これは、1907年に慣性質量と重力質量の等価性を宣言する等価原理を定式化する上で重要な役割を果たしました。質量とエネルギーの等価性を用いて、アインシュタインは物体の重力質量がそのエネルギー量に比例することを示しました。これは一般相対性理論の発展における初期の成果の1つでした。彼は当初時空について幾何学的に考えていなかったように見えますが、[3] : 219 一般相対性理論のさらなる発展において、アインシュタインは時空形式論を完全に取り入れました

アインシュタインが1905年に論文を発表したとき、彼のもう一人の競争相手であり、かつての数学教授であるヘルマン・ミンコフスキーも特殊相対性理論の基本要素のほとんどに到達していました。マックス・ボルンは、ミンコフスキーの学生／共同研究者になるためにミンコフスキーと会った時のことを次のように語っています。[25]

私はケルンに行き、ミンコフスキーに会い、1908年9月2日に行われた彼の有名な講演「空間と時間」を聞きました。[…] 彼は後に私に、アインシュタインが、互いに相対的に移動する観測者の異なる局所時間の等価性を宣言した論文を発表したとき、大きな衝撃を受けたと言いました。なぜなら、彼は独立して同じ結論に達していたにもかかわらず、まず数学的構造の素晴らしさを解明したかったため、それを発表しなかったからです。彼は決して優先権を主張せず、常にアインシュタインに偉大な発見における自分の分担をすべて与えました

ミンコフスキーは、少なくとも1905年の夏、ミンコフスキーとダヴィド・ヒルベルトが当時の著名な物理学者を集め、ローレンツ、ポアンカレらの論文を研究する高度なセミナーを主催して以来、マイケルソンの破壊的な実験後の電磁力学の状態に関心を抱いていました。ミンコフスキーはアインシュタインの研究をローレンツの研究の延長と見なし、ポアンカレから最も直接的な影響を受けました。[26]

図1–4. 1908年の空間と時間に関する講演でミンコフスキーが提示した手彩色の透明シート

1907年11月5日（死の1年強前）、ミンコフスキーはゲッティンゲン数学会で「相対性原理（Das Relativitätsprinzip）」と題した講演を行い、時空の幾何学的解釈を紹介しました。[注 5] 1908年9月21日、ミンコフスキーはドイツ科学者医師協会で「空間と時間（Raum und Zeit）」[27]を発表しました。 『空間と時間』の冒頭には、「今後、空間自体と時間自体が完全に影と化し、両者の何らかの結合のみが独立性を維持する」というミンコフスキーの記述が含まれています『空間と時間』は、時空図（図1-4）を初めて公開し、不変区間の概念（後述）と光速が有限であるという経験的観察によって特殊相対論全体を導出できるという注目すべき実証を含んでいました。[注6]

時空の概念とローレンツ群は、19世紀にすでに発展していた球面幾何学、双曲幾何学、または共形幾何学、およびそれらの変換群と密接に関連しており、そこでは時空区間に類似した不変区間が使用されています。[注7]

一方、アインシュタインは当初、ミンコフスキーの特殊相対性理論の幾何学的解釈を「überflüssige Gelehrsamkeit（余計な学識）」と見なし、軽視していました。しかし、1907年に始まった一般相対性理論の探求を完了させるためには、相対性理論の幾何学的解釈が不可欠であることが判明しました。1916年、アインシュタインはミンコフスキーへの恩義を深く認めました。ミンコフスキーの解釈は、一般相対性理論への移行を大いに促進しました。[16] : 151–152 一般相対性理論の曲がった時空など、他の種類の時空が存在するため、特殊相対性理論の時空は今日、ミンコフスキー時空として知られています。

特殊相対性理論における時空

時空間隔

3次元では、 2点間の距離は ピタゴラスの定理を 用いて定義できます Δ d {\displaystyle \Delta {d}}

( Δ d ) 2 = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 {\displaystyle (\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}}

2人の観測者が異なる座標系を用いて2点の x、y、z位置を測定する場合でも、同じ単位で測定していると仮定すると、2点間の距離は両者にとって同じになります。距離は「不変」です。

しかし、特殊相対論では、ローレンツ収縮により、2人の異なる観測者が測定した場合、一方の観測者が移動しているときに2点間の距離は同じではなくなります。2点が空間だけでなく時間的にも離れている場合、状況はさらに複雑になります。例えば、1人の観測者が同じ場所で異なる時間に2つの出来事が起こるのを見た場合、最初の観測者に対して動いている人は、2つの出来事が異なる場所で起こっているのを見ます。なぜなら、動いている視点は自身を静止していると見なし、出来事の位置は遠ざかっているか近づいていると見なすからです。したがって、2つの出来事間の有効な「距離」を測定するには、異なる尺度を使用する必要があります。[31] : 48–50, 100–102 

4次元時空において、距離に相当するのは間隔です。時間は4次元目として登場しますが、空間次元とは異なる扱いを受けます。したがって、ミンコフスキー空間は4次元ユークリッド空間とは重要な点で異なります。空間と時間を時空に統合する根本的な理由は、空間と時間が別々には不変ではないためです。つまり、適切な条件下では、異なる観測者は2つの事象間の時間の長さ（時間の遅れのため）または2つの事象間の距離（長さの収縮のため）について意見が一致しません。特殊相対論は、空間と時間の距離を組み合わせた、時空間隔と呼ばれる新しい不変量を提供します。任意の2つの事象間の時間と距離を測定するすべての観測者は、最終的に同じ時空間隔を計算することになります。観測者が2つの事象を時間的に、空間距離によって隔てられていると測定するとします。すると、空間的に距離によって隔てられ、-座標で隔てられている2つの事象間の時空間隔の2乗は、次のようになります。[32] Δ t {\displaystyle \Delta t} Δ x . {\displaystyle \Delta x.} ( Δ s ) 2 {\displaystyle (\Delta {s})^{2}} Δ x {\displaystyle \Delta {x}} Δ c t = c Δ t {\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t} c t {\displaystyle ct}

( Δ s ) 2 = ( Δ c t ) 2 − ( Δ x ) 2 , {\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},}

または3次元空間の場合、

( Δ s ) 2 = ( Δ c t ) 2 − ( Δ x ) 2 − ( Δ y ) 2 − ( Δ z ) 2 . {\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}.}

光速定数は、時間単位（秒など）を空間単位（メートルなど）に変換します。間隔の2乗は、2つの別々の物体が事象を起こしているか、空間内の単一の物体が事象間で慣性運動しているために、時間的に分離され、さらに空間的にも分離されている事象Aと事象B間の分離の尺度です。分離間隔は、事象Bと事象Aを隔てる空間距離の2乗と、同じ時間間隔で光信号が移動した空間距離の2乗との差です。事象の分離が光信号によるものである場合、この差はゼロになり、とな​​ります。 c , {\displaystyle c,} t {\displaystyle t} Δ s 2 {\displaystyle \Delta s^{2}} Δ t {\displaystyle \Delta t} Δ s = 0 {\displaystyle \Delta s=0}

検討対象の事象が互いに無限小に近い場合、次のように書くことができます

d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 . {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.}

異なる慣性系、例えば座標 では、時空間隔は上記と同じ形式で表すことができます。光速不変のため、すべての慣性系における光事象はゼロ間隔 に属します。 となる他の任意の微小事象については、 が証明でき、 これを積分すると が導かれます。[33] ：2 すべての慣性系における同じ事象間の時空間隔の不変性は、特殊相対性理論の基本的な結果の1つです。 ( t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle (t',x',y',z')} d s ′ {\displaystyle ds'} d s = d s ′ = 0 {\displaystyle ds=ds'=0} d s ≠ 0 {\displaystyle ds\neq 0} d s 2 = d s ′ 2 {\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}} s = s ′ {\displaystyle s=s'}

簡潔にするために、以下の議論のほとんどを含め、デルタなしで表現された間隔表現を頻繁に目にしますが、一般には などを意味することを理解する必要があります。私たちは常に、2つの事象に属する空間的または時間的な座標値の差に関心があり、優先される原点がないため、単一の座標値には本質的な意味はありません。 x {\displaystyle x} Δ x {\displaystyle \Delta {x}}

図2–1. 同じ事象で発生した2つの光子AとB、および光速より遅い物体Cを示す時空図

上記の式は、項と項の間にマイナス記号が付いている点を除けば、ピタゴラスの定理に似ています。時空間隔は量そのものではなく、その量です。これは、ユークリッド幾何学における距離とは異なり、ミンコフスキー時空における間隔は負の値になる可能性があるためです。物理学者は、負の数の平方根を扱うのではなく、慣習的に、何かの平方ではなく、それ自体が独立した記号であるとみなします。[3] : 217  ( c t ) 2 {\displaystyle (ct)^{2}} x 2 {\displaystyle x^{2}} s 2 , {\displaystyle s^{2},} s {\displaystyle s} s 2 {\displaystyle s^{2}}

注：相対性理論の文献では、2つの符号規則が使用されています。
s 2 = ( c t ) 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
と
s 2 = − ( c t ) 2 + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}
これらの符号規則は、計量記号 (+−−−)と(−+++)に関連付けられています。小さな違いとして、時間座標を最初ではなく最後に置くことがあります。どちらの規則も、研究分野で広く使用されています。[34]
以下の議論では、最初の規則を使用します。

一般に、は任意の実数値をとることができます。 が正の場合、時空間隔は時間的と呼ばれます。質量のある物体が横断する空間距離は、同じ時間間隔で光が移動する距離よりも常に短いため、正の間隔は常に時間的です。 が負の場合、時空間隔は空間的 と呼ばれます。 のとき、時空間隔はゼロに等しくなります。言い換えれば、光速で移動するものの世界線上にある2つのイベント間の時空間隔はゼロです。このような間隔は光的またはヌルと呼ばれます。遠くの星から私たちの目に到達する光子は、（私たちから見ると）その通過に何年も費やしているにもかかわらず、老化していません。[31] : 48–50  s 2 {\displaystyle s^{2}} s 2 {\displaystyle s^{2}} s 2 {\displaystyle s^{2}} x = ± c t . {\displaystyle x=\pm ct.}

時空図は通常、単一の空間座標と単一の時間座標のみで描かれます。図2-1は、同じ事象から発生し、反対方向に進む2つの光子AとBの世界線（つまり、時空における経路）を示す時空図を示しています。さらに、Cは光速より遅い物体の世界線を示しています。垂直方向の時間座標は、水平方向の空間座標と同じ単位（メートル）になるようにスケーリングされています。光子は光速で移動するため、その世界線の傾きは±1です。[31] ：23–25 つまり、光子が左または右に1メートル移動するごとに、約3.3ナノ秒の時間が必要です。 c {\displaystyle c}

基準系

図2-2. 標準構成における2つの基準系のガリレイ図
図2–3. (a) 標準構成における2つの参照系のガリレオ図、(b) 2つの参照系の時空図、(c) 反射光パルスの経路を示す時空図

異なる基準系を持つ観測者によって測定された時空座標が互いにどのように比較されるかを理解するには、標準構成のフレームを用いた簡略化された設定で作業することが有用です。注意深く行えば、得られる結論の一般性を損なうことなく、数学を簡略化することができます。図2-2では、2つのガリレオ基準系（つまり、従来の3空間フレーム）が相対的に動いている様子が示されています。フレームSは最初の観測者Oに属し、フレームS′（「Sプライム」と発音）は2番目の観測者O′に属します。

  • フレームSのx軸、y軸、z軸は、フレームS′のそれぞれのプライム付き軸と平行になっています。
  • フレームS′は、フレームSで測定された一定速度vで、フレームSのx方向に移動しています。
  • S系とS′系の原点は、S系では時刻t = 0 、 S′系では時刻t ′ = 0のときに一致する。 [6] : 107 

図2-3aは図2-2を異なる向きで描き直したものである。図2-3bは観測者Oの視点から見た相対論的時空図を示している。SとS′は標準配置にあるため、 S系では時刻t = 0 、 S′系では時刻t ′ = 0で原点は一致する。ct ′軸は、S′系においてx ′ = 0となる事象を通過する。しかし、 x ′ = 0となる点はS系のx方向に速度vで移動しているため、0以外の時刻ではct軸と一致しない。したがって、 ct′軸はct軸に対して[31] : 23–31 で与えられる角度θだけ傾いている

tan ⁡ ( θ ) = v / c . {\displaystyle \tan(\theta )=v/c.}

x ′軸もx軸に対して傾いています。この傾きの角度を決定するために、光パルスの世界線の傾きは常に±1であることを思い出してください。図2-3cは、観測者O′の視点からの時空図を示しています。事象Pは、x′ = 0、ct′ = − aにおける光パルスの放射を表しています。パルスは光源から距離aにある鏡で反射され（事象Q）、 x ′ = 0、ct ′ = aにある光源に戻ります（事象R）。

図2-3bには、観測者Oの座標系で同じ事象P、Q、Rがプロットされています。光路の傾きはそれぞれ1と-1なので、△PQRはPQとQRがx軸とct軸に対してともに45度の直角三角形を形成します。OP = OQ = ORなので、x′とx′の間の角度もθでなければなりません。[6] : 113–118 

静止系では空間軸と時間軸が直角に交わりますが、運動系では鋭角に交わる軸で描かれます。これらの系は実際には等価です。[31] : 23–31 この非対称性は、時空座標をデカルト平面にマッピングする際の避けられない歪みによるもので、地球のメルカトル図法において、極付近の陸地（グリーンランドと南極大陸）の相対的な大きさが赤道付近の陸地に比べて非常に誇張されているのと同じくらい奇妙なものとみなされるべきです。

光円錐

図2–4。ある事象を中心とした光円錐は、残りの時空を未来、過去、そして「他の場所」に分割します

図2-4では、事象Oは時空図の原点にあり、2本の対角線は原点事象に対して時空間隔がゼロであるすべての事象を表しています。これらの2本の線は、事象Oの光円錐と呼ばれるものを形成します。これは、2つ目の空間次元を追加すると（図2-5） 、Oを頂点とする2つの直円錐のように見えるためです。一方の円錐は未来（t>0）に伸び、もう一方の円錐は過去（t<0）に伸びています。

図2-5. 2次元空間における光円錐に時間次元を加えたもの

光（二重）円錐は、その頂点を基準として時空を別々の領域に分割します。未来光円錐の内部は、頂点から光速で空間距離を横断するのに必要な時間（時間距離）よりも長い時間だけ離れたすべての事象で構成されます。これらの事象は、事象Oの時間的未来を構成します。同様に、時間的過去は過去光円錐の内部事象で構成されます。したがって、時間的間隔においてΔctはΔxよりも大きく、時間的間隔は正になります。[3] ：220 

光円錐の外側の領域は、事象Oから、与えられた時間内に光速で通過できるよりも長い空間だけ離れた事象から構成されます。これらの事象は、図2-4で「どこか他の場所」と示されている、事象Oのいわゆる空間的領域を構成します。光円錐自体上の事象は、Oから光的（またはヌル分離）であると言われます。時空間隔の不変性のため、すべての観測者は任意の事象に同じ光円錐を割り当て、したがってこの時空の分割に同意するでしょう。[3] : 220 

光円錐は因果律の概念において重要な役割を果たす。光速以下の信号がOの位置と時刻からDの位置と時刻へ伝播する可能性がある（図2-4）。したがって、事象Oが事象Dに因果的な影響を及ぼす可能性がある。未来光円錐には、Oによって因果的に影響を受ける可能性のあるすべての事象が含まれる。同様に、光速以下の信号がAの位置と時刻からOの位置と時刻へ伝播する可能性がある。過去光円錐には、Oに因果的な影響を及ぼす可能性のあるすべての事象が含まれる。対照的に、信号が光速より速く伝播できないと仮定すると、例えばBやCのような空間的領域（他の場所）にあるいかなる事象も、事象Oに影響を与えることはできず、また、そのような信号を用いた事象Oによって影響を受けることもない。この仮定の下では、事象Oと光円錐の空間的領域にあるいかなる事象との間にも因果関係は存在しない。[35]

同時性の相対性

図2-6. 同時性の相対性を示すアニメーション

すべての観測者は、任意の事象について、その事象の未来光円錐内の事象が、その事象の後に発生することに同意するでしょう。同様に、任意の事象について、その事象の過去光円錐内の事象が、その事象の前に発生します。時間的に分離された事象について観測される前後関係は、観測者の参照系が何であっても、つまり観測者がどのように動いていても、変化しません。空間的に分離された事象の場合、状況は全く異なります。図2-4は、 v = 0で移動する観測者の参照系から描かれています。この参照系では、事象Cは事象Oの後に発生し、事象Bは事象Oの前に発生することが観測されます。[36]

異なる参照系から見ると、これらの因果的に関連しない出来事の順序は逆転する可能性があります。特に、特定の参照系において2つの出来事が同時である場合、それらは必然的に空間的な間隔によって分離されており、したがって因果的に関連していないことに注意する必要があります。同時性は絶対的なものではなく、観察者の参照系に依存するという観察は、同時性の相対性と呼ばれます。[36]

図2-6は、同時性の相対性の解析における時空図の使用を示しています。時空における事象は不変ですが、座標系は図2-3で前述したように変換されます。3つの事象（A、B、C）は、 v = 0で移動する観測者の基準系からは同時です。v = 0.3 cで移動する観測者の基準系からは、事象はC、B、Aの順序で発生するように見えます。v = -0.5 cで移動する観測者の基準系からは、事象はA、B、Cの順序で発生するように見えます。白い線は、観測者の過去から未来へと移動する同時性の平面を表し、そこにある事象を強調表示しています。灰色の領域は観測者の光円錐であり、不変のままです

空間的な時空間隔は、測定される事象が観測者と同時である場合に観測者が測定するのと同じ距離を与えます。したがって、空間的な時空間隔は固有距離、すなわち真の距離の尺度を提供します。同様に、時間的な時空間隔は、与えられた世界線に沿って移動する時計の累積的な刻みによって示されるのと同じ時間の尺度を提供します。したがって、時間的な時空間隔は固有時間の尺度を提供します。 [ 3] : 220–221  − s 2 . {\displaystyle {\sqrt {-s^{2}}}.} s 2 . {\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}.}

不変双曲面

図2–7。(a) 不変双曲面の族、(b) 2枚双曲面と1枚双曲面

ユークリッド空間（空間次元のみ）では、ある点から等距離（ユークリッド計量を使用）にある点の集合は、円（2次元）または球（3次元）を形成します。（1+1）次元ミンコフスキー時空（時間次元と空間次元をそれぞれ1つずつ持つ）では、原点から一定の時空間隔にある点（ミンコフスキー計量を使用）は、2つの方程式で与えられる曲線を形成します

( c t ) 2 − x 2 = ± s 2 , {\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},}

正の実定数を持つ。これらの方程式は、 x - ct時空図における2つの双曲線族を記述し、これらは不変双曲線と呼ばれる。 s 2 {\displaystyle s^{2}}

図2-7aでは、マゼンタ色の双曲線はそれぞれ、原点から一定の空間的距離を持つすべての事象を結び、緑色の双曲線は等しい時間的距離を持つ事象を結びます。

x軸と交差するマゼンタ色の双曲線は時間的曲線です。つまり、これらの双曲線は時空内の（一定に加速する）粒子が通過できる実際の経路を表しています。1つの双曲線上の任意の2つの事象間には因果関係が可能です。なぜなら、すべての割線の傾き（必要な速度を表す）の逆数は 未満だからです。一方、ct軸と交差する緑色の双曲線は空間的曲線です。なぜなら、これらの双曲線に沿ったすべての区間は空間的区間だからです。これらの双曲線のいずれかの上の任意の2点間には因果関係はありません。 なぜなら、すべての割線は より大きい速度を表すからです c {\displaystyle c} c {\displaystyle c}

図2-7bは、(1+2)次元ミンコフスキー時空（時間次元1次元、空間次元2次元）における状況と、それに対応する双曲面を示しています。原点から空間的間隔だけずれた不変双曲面は1枚の双曲面を生成し、原点から時間的間隔だけずれた不変双曲面は2枚の双曲面を生成します。

原点までの時空間隔がゼロとなる事象によって確立される、空間的双曲面と時間的双曲面の間の(1+2)次元境界は、双曲面を光円錐に縮退させることによって構成されます。(1+1)次元では、双曲面は図2-7aに示す2本の灰色の45°線に縮退します。

時間の遅れと長さの収縮

図2-8。不変双曲面は、異なる速度で移動する時計によって、原点から一定の固有時間内に到達できる点で構成されています

図2-8は、原点から固有時間5メートル（約1.67 × 10 -8 秒）で到達できるすべての事象に対する不変双曲線を示しています。異なる世界線は、異なる速度で動く時計を表しています。観測者に対して静止している時計は、世界線が垂直で、観測者によって測定された経過時間は固有時間と同じです。0.3  ℃で移動する時計の場合、観測者によって測定された経過時間は5.24メートル（1.75 × 10 -8 秒）ですが、0.7 ℃で移動する時計の場合 、観測者によって測定された経過時間は7.00メートル（2.34 × 10 −8 秒）です。[3] : 220–221 

これは時間の遅れとして知られる現象を示しています。より速く移動する時計は、（観測系において）同じ量の固有時を刻むのに時間がかかり、時間の遅れがない場合よりも、その固有時間内でx軸に沿ってより遠くまで移動します。[3] : 220–221 異なる慣性系における2人の観測者による時間の遅れの測定は相互的です。観測者Oが自身の系において観測者O′の時計がより遅く動いていると測定した場合、観測者O′は観測者Oの時計がより遅く動いていると測定します。

図2–9。この時空図では、プライム系で測定された動く棒の1mの長さは、プライム系以外の系に投影されたときの短縮距離OCです

長さの収縮は、時間の遅れと同様に、同時性の相対性の現れです。長さの測定には、ある参照系において同時である2つの出来事間の時空間隔の測定が必要です。しかし、ある参照系において同時である出来事は、一般的に、他の参照系においては同時ではありません

図2-9は、 x軸に沿って0.5 cで移動する1mの棒の動きを示しています 。青い帯の端は、棒の両端の世界線を表しています。不変双曲線は、原点から1mの空間的間隔で離れた事象を示しています。t ′ = 0 のときに測定された端点OとBは、S ′ 系では同時発生の事象です。しかし、S系の観測者にとって、事象OとBは同時ではありません。長さを測定するために、S系の観測者は、棒の両端をそれらの世界線に沿ってx軸に投影して測定します。棒の世界面をx軸に投影すると、短縮された長さOCが得られます。[6] : 125 

（図示なし）Aを通る垂直線をx ′軸と交差するように引くと、観測者Oの視点からOBが短縮されているのと同様に、観測者O′の視点からOAも同様に短縮されていることがわかります。それぞれの観測者が相手の時計が遅いと測定するのと同じように、それぞれの観測者は相手の定規が縮んでいると測定します

相互の長さの収縮に関して、図2-9は、プライム付きフレームとプライムなしフレームが双曲角（ユークリッド幾何学における通常の角度に類似）だけ相互に回転していることを示しています。[注8 ]この回転により、プライム付きのメートル棒をプライムなしのx軸に投影すると短縮され、プライムなしのメートル棒をプライム付きのx′軸に投影すると同様に短縮されます。

相互時間の遅れと双子のパラドックス

相互時間の遅れ

相互時間の遅れと長さの収縮は、初心者には本質的に自己矛盾した概念のように思われがちです。S座標系にいる観測者が、S'座標系で静止している時計を自分の時計よりも遅く動いていると測定し、S'座標系では速度vで動いている時計を測定する場合、相対性原理によれば、S'座標系にいる観測者は同様に、S'座標系で速度-vで動いている時計を自分の時計よりも遅く動いていると測定します。2つの時計がどのようにして一方よりも遅く動いているのかは、「特殊相対性理論の理解の核心に迫る」重要な問題です。[3] : 198 

この一見矛盾する現象は、必要な関連測定の異なる設定を正しく考慮していないことに起因しています。これらの設定により、唯一の一見矛盾する現象を一貫して説明することができます。これは、2つの同一の時計の抽象的な刻み方ではなく、1つのフレームで移動する時計の2つの刻みの時間的距離を測定する方法に関するものです。それぞれのフレームで移動する時計の刻み間の持続時間を相互に観測するには、異なる時計のセットが関与する必要があることがわかります。フレームSで、移動する時計W′（S′内で静止）の刻み時間を測定するには、空間距離dでS内の任意に固定された2つの点に静止している、 同期した2つの追加の時計W 1とW 2を使用します

2 つのイベントは、「2 つの時計が同時に 1 つの場所にある」という条件、つまり W′ が W 1と W 2をそれぞれ通過するときに定義できます。 どちらのイベントでも、共存する時計の 2 つの読み取り値が記録されます。 W 1と W 2の 2 つの読み取り値の差は、S における 2 つのイベントの時間的距離であり、それらの空間的距離はdです。 W′ の 2 つの読み取り値の差は、S′ における 2 つのイベントの時間的距離です。 S′ では、これらのイベントは時間的にのみ分離されており、S′ では同じ場所で発生します。 これら 2 つのイベントがまたがる時空間隔の不変性と、S における空間的距離d がゼロではないため、S′ における時間的距離は S における時間的距離よりも小さくなければなりません。つまり、動いている時計 W′ の読み取り値から生じる 2 つのイベント間のより短い時間的距離は、より遅く動いている時計 W′ に属します。

逆に、フレームS′において、動いている時計W（Sでは静止している）上の2つの事象の時間的距離を判断するには、S′に静止している2つの時計が必要です。

この比較では、時計Wは速度-vで動いています。「2つの時計が同時に1つの場所にいる」ことで定義される事象の4つの読み取り値を再び記録すると、2つの事象の類似した時間的距離が得られます。今度はS′では時間的にも空間的にも離れており、Sでは時間的にのみ離れているが同じ場所にあります。時空間隔を不変に保つためには、S′における事象の空間的分離のため、Sにおける時間的距離はS′よりも小さくなければなりません。つまり、時計Wはより遅く動いているように観測されます

SとS′における「1つの動く時計」と「2つの静止した時計」という2つの判断に必要な記録には、それぞれ3つの時計を持つ2つの異なるセットが必要です。測定には異なる時計のセットが関係しているため、一方の観測者が動く時計を遅いと測定した場合、もう一方の観測者がもう一方の時計を速いと測定するなど、測定値が相互に「一致」しているという本質的な必然性はありません。[3] : 198–199 

図2-10. 相互の時間の遅れ

図2-10は、ミンコフスキー図を用いて相互時間の遅れに関するこれまでの議論を示しています。上の図は、プライム付きの直交座標系で「静止」しているフレームSと、 プライム付きの斜軸で右に傾斜した座標系で「 v > 0で移動」しているフレームS′から見た測定値を示しています。下の図は、プライム付きの直交座標系で「静止」しているフレームS′と、プライムなしの斜軸で左に傾斜した座標系で「- v  < 0で移動」しているフレームSを示しています。

空間軸 ( x , x ′ )に平行に引かれた各線は、同時性の線を表します。この線上のすべてのイベントは同じ時間値 ( ct , ct ′ ) を持ちます。同様に、時間軸 ( ct , ct ′ )に平行に引かれた各線は、等しい空間座標値 ( x , x ′ )の線を表します。

どちらの図でも、原点O（= O ′）を事象として指定することができ、それぞれの「動く時計」は両方の比較において「静止している最初の時計」と共存します。明らかに、この事象では、両方の比較における両方の時計の読み取り値はゼロです。結果として、動く時計の世界線は、右に傾斜したct ′軸（上の図、時計W′）と左に傾斜したct軸（下の図、時計W）です。W 1とW′ 1の世界線は、対応する垂直時間軸です（上の図ではct 、下の図ではct ′）。
上の図では、W 2の位置はA x > 0とされており、したがって、この時計の世界線（図には示されていません）は、 Aとラベル付けされた事象（「2つの時計が同時に1つの場所にある」）において、動いている時計の世界線（ ct ′軸）と交差します。下の図では、W 2 ′の位置はC x ′ < 0とされており 、したがって、この測定では、動いている時計 W は事象CにおいてW ′ 2を通過します
上の図では、事象Aのct座標A t （W 2の読み取り値）はBで示されており、W 1とW 2で測定された2つの事象間の経過時間はOBで示されています。比較のために、W′で測定された時間間隔OAの長さをct軸のスケールに変換する必要があります。これは、 Aを通る不変双曲線（図2-8も参照）によって行われ、原点Aから同じ時空間隔にあるすべての事象を結びます。これによりct軸上の事象Cが生成され、明らかにOC  <  OBとなり、「動いている」時計W′の方が遅く進みます

上の図で相互の時間の遅れを直ちに示すために、事象Dはx ′ = 0（S′における時計W′の位置）における事象として構築することができ、これはS′におけるC（OCはOAと同じ時空間隔を持つ）と同時に発生します。これは、時間間隔ODがOAよりも長いことを示し、「動いている」時計の方が遅く進んでいることを示しています。[6] : 124 

下の図では、系Sは静止した系S′において速度−vで運動しています。時計Wの世界線はct軸（左に傾いている）であり、W′1の世界線は垂直なct ′軸であり、W′2の世界線は事象Cを通る垂直なct′軸で、ct ′座標はDです。事象Cを通る不変双曲線は、時間間隔OCをOAにスケーリングします。これはODよりも短くなります。また、Bは（上の図のDと同様に）SにおいてAと同時に、x = 0で構築されます。 結果OB  >  OCは、上記に対応します。

「測定」という言葉は重要です。古典物理学では、観測者は観測対象に影響を与えることはできませんが、物体の運動状態は観測者による物体の 観測に影響を与える可能性があります。

双子のパラドックス

特殊相対性理論の入門書の多くは、一連の「パラドックス」を提示することで、ガリレイ相対性理論と特殊相対性理論の違いを説明しています。これらのパラドックスは、実際には、光速に匹敵する速度への私たちの不慣れさから生じる、不適切な問題です。解決策は、特殊相対性理論の多くの問題を解決し、いわゆる直感に反する予測に慣れることです。時空を研究するための幾何学的アプローチは、現代的な直感を養うための最良の方法の1つと考えられています。[37]

双子のパラドックスは、一卵性双生児に関する思考実験です。片方の双子が高速ロケットで宇宙へ旅立ち、帰還すると、地球に残った双子の方が年を取っていることに気づきます。この結果は不可解に見えます。なぜなら、双子はそれぞれ、もう片方の双子が動いているのを観測しており、一見すると、どちらももう片方の双子の方が年を取っていないように見えるはずだからです。双子のパラドックスは、3つ目の時計の必要性を回避することで、上記に示した相互の時間の遅れの正当性を回避しています。[3] : 207 しかしながら、双子のパラドックスは特殊相対性理論の文脈で容易に理解できるため、真のパラドックスではありません

パラドックスが存在するという印象は、特殊相対論の主張に対する誤解から生じています。特殊相対論は、すべての参照系が同等であるとは宣言しておらず、慣性系のみを同等としています。旅する双子の参照系は、加速している間は慣性ではありません。さらに、双子の違いは観測的に検出可能です。旅する双子は家に帰るためにロケットを発射する必要がありますが、家にいる双子はそうする必要はありません。[38] [注9]

図2–11. 双子のパラドックスの時空による説明

これらの違いにより、双子の年齢に差が生じるはずです。図2-11の時空図は、双子がx軸に沿ってまっすぐ進み、すぐに戻ってくるという単純なケースを示しています。留守番の双子の視点から見ると、双子のパラドックスには何の不可解な点もありません。旅行中の双子の世界線に沿ってOからCまで測定された固有時間と、CからBまで測定された固有時間の合計は、留守番の双子のOからA、Bまで測定された固有時間よりも短くなります。より複雑な軌跡を描くには、曲線に沿ったそれぞれのイベント間の固有時間を積分（つまり、経路積分）して、旅行中の双子が経験する固有時間の合計を計算する必要があります。[38]

双子のパラドックスを旅行中の双子の視点から分析すると、複雑な問題が発生します。

以下では、留守番の双子をテレンス、旅行中の双子をステラとするワイスの命名法を使用します。[38]

ステラは慣性系にありません。この事実を踏まえると、双子のパラドックスを完全に解決するには一般相対性理論が必要であると誤って述べられることがあります。[38]

純粋なSR分析は次のようになります。ステラの静止系で分析すると、彼女は旅行中ずっと静止しています。方向転換のためにロケットを発射するとき、彼女は重力に似た疑似力を経験します。[38]図2-6と2-11は同時性線（面）の概念を示しています。観測者のx軸（xy平面）に平行な線は、観測者フレームで同時である一連のイベントを表します。図2-11で、青い線はテレンスの世界線上のイベントを結び、ステラの視点からは彼女の世界線上のイベントと同時です。（テレンスは、同時に水平な一連の同時性を観察することになります。）ステラは、往路と復路の両方の行程を通じて、テレンスの時計が自分の時計よりも遅く動いているのを計測します。しかし、方向転換中（つまり図の太い青い線の間）には、ステラの同時性の線の角度に変化が起こり、これはステラが自分と同時であると考えているテレンスの世界線における出来事が急速に飛び越えることに対応しています。そのため、旅の終わりに、ステラはテレンスが自分よりも年を取っていることに気づきます。[38]

双子のパラドックスを分析するために一般相対性理論は必要ありませんが、一般相対性理論の等価原理を適用することで、この主題へのさらなる洞察が得られます。ステラは慣性系では静止していません。ステラの静止系で分析すると、彼女は旅の間ずっと静止しています。惰性で進んでいるとき、彼女の静止系は慣性系であり、テレンスの時計は遅く動いているように見えます。しかし、方向転換のためにロケットを発射するとき、彼女の静止系は加速系となり、まるで重力場にいるかのように彼女を押し出す力を感じますテレンスはその場の上位にいるように見え、重力による時間の遅れのために、彼の時計は速く進んでいるように見えるでしょう。その結果、2人が再会したときには、テレンスはステラよりも年を取っていることになります。[38]重力による時間の遅れを予測する理論的議論は、一般相対性理論に限ったものではありません。ニュートンの理論を含め、等価性の原理を尊重するあらゆる重力理論は、重力による時間の遅れを予測します。[3] : 16 

重力

この導入部では、最も記述しやすい特殊相対性理論の時空に焦点を当ててきました。ミンコフスキー時空は平坦で、重力を考慮せず、全体的に均一であり、その中で起こる出来事の静的な背景に過ぎません。重力の存在は時空の記述を非常に複雑にします。一般相対性理論では、時空はもはや静的な背景ではなく、それに含まれる物理系と積極的に相互作用します。時空は物質の存在下で曲がり、波を伝播し、光を曲げ、その他多くの現象を示します。[3] : 221 これらの現象のいくつかについては、この記事の後半で説明します。

時空の基礎数学

ガリレイ変換

基本的な目標は、相対的に運動している観測者による測定値を比較できるようにすることですフレーム S に観測者 O がいて、あるイベントの時間と空間座標を測定し、このイベントに 3 つの直交座標と、同期した時計の格子( x、y、z、t )で測定した時間を割り当てたとします(図 1-1 を参照)。別のフレーム S′ にいる 2 番目の観測者 O′ は、同じイベントを自身の座標系と同期した時計の格子( x ′、y ′、z ′、t ′ )で測定します。慣性系ではどちらの観測者も加速されておらず、簡単な方程式を使用して座標( x、y、z、t )を( x ′、y ′、z ′、t ′ )に関連付けることができます。 2つの座標系が標準構成、つまり平行な( x , y , z )座標系に配置され、 t ′ = 0のときにt = 0となることを前提とすると、座標変換は次のようになります。[39] [40]

x ′ = x − v t {\displaystyle x'=x-vt}
y ′ = y {\displaystyle y'=y}
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
t ′ = t . {\displaystyle t'=t.}
図3–1. ガリレオ時空と速度の合成

図3-1は、ニュートン理論において、光速度ではなく時間が普遍的であることを示しています。[41] : 36–37 次の思考実験を考えてみましょう。赤い矢印は、プラットフォームに対して0.4 c の速度で動いている列車を示しています。列車内で、乗客が列車のフレーム内に0.4 c の速度で弾丸を発射します。青い矢印は、線路上に立っている人が弾丸の速度を0.8 c と測定していることを示しています。これは、私たちの素朴な予想と一致しています。

より一般的には、フレームS′がフレームSに対して速度vで運動していると仮定すると、フレームS′内で観測者O′は速度u ′で運動する物体を測定します。フレームSに対する速度uは、 x = ut、x ′ = x − vt、t = t ′であるため、 x ′ = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t ′と表すことができます。これはu ′ = x ′ / t ′となり、最終的には

u ′ = u − v {\displaystyle u'=u-v}   または   u = u ′ + v , {\displaystyle u=u'+v,}

これは速度の加法に関する常識的なガリレオの法則です。

速度の相対論的合成

図3–2. 速度の相対論的合成

相対論的時空では、速度の構成は全く異なります。方程式の複雑さを少し軽減するために、物体の光に対する速度の比を表す一般的な略記法を導入します

β = v / c {\displaystyle \beta =v/c}

図3-2aは、速度v / c = β = s / aで前進する赤い列車を示しています。列車のプライムフレームから、乗客は速度u ′ / c = β ′ = n / mで与えられる弾丸を発射します。ここで、距離は黒のx軸ではなく、赤のx ′軸に平行な線に沿って測定されます。青い矢印で示されるように、プラットフォームに対する弾丸の合成速度uはいくらでしょうか？図3-2bを参照してください。

  1. プラットフォームから見ると、弾丸の合成速度はu = c ( s + r )/( a + b )で与えられます。
  2. 2つの黄色の三角形は、共通の角度αを共有する直角三角形であるため、相似です。大きな黄色の三角形では、比s / a = v / c = βです。
  3. 2つの黄色の三角形の対応する辺の比は一定であるため、r / a = b / s = n / m = β ′です。したがって、b = u ′ s / c、r = u ′ a / cです。
  4. ステップ1のuの式にbとrの式を代入すると、アインシュタインの速度の加算に関する公式が得られます。[41] : 42–48 
    u = v + u ′ 1 + ( v u ′ / c 2 ) . {\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}

上記の速度の加算に関する相対論的な公式には、いくつかの重要な特徴があります

  • u ′とvが光速に比べてどちらも非常に小さい場合、積vu ′ / c 2は無視できるほど小さくなり、全体的な結果は速度の加算に関するガリレイの公式（ニュートンの公式）u  =  u ′  +  vと区別がつかなくなります。ガリレイの公式は、低速度に適用可能な相対論的公式の特殊なケースです。
  • u ′をcと等しく設定すると、vの初期値に関係なく、u  =  cとなります。光速度は、放射源に対する観測者の相対的な動きに関係なく、すべての観測者にとって同じです。[41] : 49 

時間の遅れと長さの収縮の再考

図3-3. 時間の遅れと長さの収縮を示す時空図

時間の遅れと長さの収縮を定量的に表現することは簡単です。図3-3は、前の2つのアニメーションから個々のフレームを抽出し、このセクションのために簡略化してラベルを付け直した合成画像です。

方程式の複雑さを少し軽減するために、 ctには様々な略記法があります。

T = c t {\displaystyle \mathrm {T} =ct} とが一般的です。 w = c t {\displaystyle w=ct}
また、慣例的な表記法も非常によく見られます。 c = 1. {\displaystyle c=1.}
図3-4. 速度の関数としてのローレンツ因子

図3-3aでは、線分OAとOKは等しい時空間隔を表しています。時間の遅れはOB / OKの比で表されます。不変双曲線の方程式はw = √ x 2 + k 2（k  =  OK）で、運動中の粒子の世界線を表す赤い線はw  =  x / β  =  xc / vです。少し代数操作を行うと、 O B = O K / 1 − v 2 / c 2 . {\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}

平方根記号を含む式は相対性理論で非常に頻繁に現れ、この式を1で割ったものはローレンツ因子と呼ばれ、ギリシャ文字のガンマで表されます。[42] γ {\displaystyle \gamma }

γ = 1 1 − v 2 / c 2 = 1 1 − β 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}

vがc以上の場合、の式は物理的に意味をなさなくなり、cは自然界で可能な最大速度であることを意味します。vが0より大きい場合、ローレンツ因子は1より大きくなりますが、曲線の形状は低速ではローレンツ因子が1に非常に近くなるようになっています。 γ {\displaystyle \gamma }

図3-3bでは、線分OAとOKは等しい時空間隔を表しています。長さの収縮はOB / OKの比で表されます。不変双曲線の方程式はx = √ w 2 + k 2（k  =  OK ）であり、運動中の棒の端点の世界線を表す青い帯の端の傾きは1/ β  =  c / vです。事象Aの座標は( x ,  w ) = ( γk ,  γβk )です。AとBを通る接線の方程式はw  = ( x  −  OB )/ βであるため、γβk  = ( γk  −  OB )/ βとなり、

O B / O K = γ ( 1 − β 2 ) = 1 γ {\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}

ローレンツ変換

ガリレイ変換と、それによって生じる速度の加算という常識的な法則は、飛行機、車、ボールといった私たちの日常の低速の世界ではうまく機能します。しかし、1800年代半ば以降、高感度の科学機器は、通常の速度の加算ではうまくいかない異常を発見し始めました。

ローレンツ変換は、特殊相対論において、事象の座標をあるフレームから別のフレームに変換するために使用されます。

ローレンツ因子はローレンツ変換に現れます。

t ′ = γ ( t − v x c 2 ) x ′ = γ ( x − v t ) y ′ = y z ′ = z {\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}

逆ローレンツ変換は次のとおりです。

t = γ ( t ′ + v x ′ c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}

v  ≪  cかつxが十分に小さい場合、 v 2 / c 2項とvx / c 2項はゼロに近づき、ローレンツ変換はガリレイ変換に近似します。

t ′ = γ ( t − v x / c 2 ) , {\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),} x ′ = γ ( x − v t ) {\displaystyle x'=\gamma (x-vt)} など、ほとんどの場合、実際にはなどを意味します。簡潔にするために、ローレンツ変換方程式はデルタなしで書かれますが、x はΔ xなどを意味します。一般的に、私たちは常に事象間の 空間と時間の差に関心を持っています Δ t ′ = γ ( Δ t − v Δ x / c 2 ) , {\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),} Δ x ′ = γ ( Δ x − v Δ t ) {\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}

一方の変換セットを通常のローレンツ変換、もう一方を逆変換と呼ぶのは誤解を招きます。なぜなら、フレーム間に本質的な違いがないからです。異なる著者は、どちらかの変換セットを「逆」セットと呼んでいます。SフレームはS ′に対して前進または後退のみできるため、順方向変換と逆方向変換は互いに自明に関連しています。したがって、方程式を反転するには、単にプライム付き変数とプライムなし変数を入れ替え、vを−vに置き換えるだけです。[43] : 71–79 

例：テレンスとステラは地球から火星への宇宙レースに参加しています。テレンスはスタートラインの役員であり、ステラは参加者です。時刻t = t ′ = 0に、ステラの宇宙船は瞬時に速度0.5  cまで加速します。地球から火星までの距離は300光秒（約90.0 × 10 6  km ）。テレンスはステラがt  = 600.00秒にフィニッシュラインの時計を通過するのを観察します。しかしステラは、フィニッシュラインを通過した時点で船のクロノメーターの時刻が⁠ ⁠ t ′ = γ ( t − v x / c 2 ) = 519.62   s {\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}} であると観察し、彼女のフレームで測定されたスタートラインとフィニッシュラインの間の距離を259.81光秒（約77.9 × 10 6  km） 。1）。

Deriving the Lorentz transformations

図3–5. ローレンツ変換の導出

1905年のアインシュタインの最初の研究以来、ローレンツ変換の導出は数十に及び、それぞれが特定の焦点を当ててきました。アインシュタインの導出は光速度の不変性に基づいていましたが、出発点となり得る他の物理原理も存在します。結局のところ、これらの代替的な出発点は、ある粒子が別の粒子に及ぼす影響は瞬時に伝達されないという局所性原理の異なる表現と見なすことができます。[44]

ここで示され、図3-5に示されている導出は、Bais [41] : 64–66 によって提示されたものに基づいており、相対論的速度合成、時間の遅れ、および長さの収縮のセクションの以前の結果を利用しています。事象Pは、黒い「静止系」では座標( w ,  x )を持ち、速度パラメータβ  =  v / cで移動している赤い枠では座標( w ′ ,  x ′ )を持ちます。w ′とx ′をwとxに基づいて決定するには（またはその逆）、まず逆ローレンツ変換を 導出する方が簡単です

  1. 横方向の長さの伸縮というものはあり得ません。y 'はyと等しく、 z ′はzと等しくなければなりません。そうでなければ、高速で移動する1mのボールが1mの円形の穴を通過できるかどうかは観測者次第です。相対性理論の第一公理は、すべての慣性系は等価であると述べており、横方向の伸縮はこの法則に反します。[43] : 27–28 
  2. 図から、w = a + b、x  =  r  +  sです。
  3. 相似三角形を使用した以前の結果から、s / a  =  b / r = v / c  =  βであることがわかります。
  4. 時間の遅れのため、a  =  γw ′
  5. 式（4）をs / a =  β に代入するとs  =  γw′βとなる。
  6. 長さの収縮と相似三角形から、 r  =  γx ′、b  =  βr = βγx ′となります。
  7. s、a、r、bの式をステップ2の式に代入すると、すぐに次の式が得られます 。
    w = γ w ′ + β γ x ′ {\displaystyle w=\gamma w'+\beta \gamma x'}
    x = γ x ′ + β γ w ′ {\displaystyle x=\gamma x'+\beta \gamma w'}

上記の式は、 wにct、w ′にct ′、βにv / cを代入するとわかるように、逆ローレンツ変換のt方程式とx方程式の別の表現です。逆変換から、 t ′とx ′を解くことで順変換の式を導くことができます。

ローレンツ変換の線形性

ローレンツ変換は線形性と呼ばれる数学的性質を持つ。なぜなら、x ′とt ′はxとtの線形結合として得られ、高次のべき乗は含まれないからである。この変換の線形性は、導出において暗黙のうちに仮定された時空の基本的性質、すなわち慣性座標系の性質は場所と時間に依存しないという性質を反映している。重力がない場合、時空はどこでも同じに見える。[41] : 67 すべての慣性観測者は、加速運動と非加速運動を構成するものについて同意するだろう。[43] : 72–73 観測者はそれぞれ独自の空間と時間の測定値を使用できるが、それらは絶対的なものではない。他の観測者の慣習でも同様である。[3] : 190 

線形性の結果として、2つのローレンツ変換を順番に適用すると、結果もローレンツ変換になります

例：テレンスはステラが0.500 cで自分から遠ざかっていくのを観測し 、β  = 0.500のローレンツ変換を用いてステラの測定値を自分の測定値と関連付けることができます。ステラは、自身の座標系でウルスラが0.250  cで自分から遠ざかっていくのを観測し、 β  = 0.250のローレンツ変換を用いてウルスラの測定値を自分の測定値と関連付けることができます。変換の線形性と速度の相対論的合成により、テレンスはβ  = 0.666のローレンツ変換を用いてウルスラの測定値を自分の測定値と関連付けることができます。

ドップラー効果

ドップラー効果とは、相対的に運動する受波器と音源における波の周波数または波長の変化です。説明を簡単にするために、ここでは2つの基本的なシナリオを考えます。(1) 音源と受波器の動きが、それらを結ぶ線に沿っている場合（縦ドップラー効果）、(2) 動きが前記線に対して直角である場合（横ドップラー効果）。中間の角度に沿って移動するシナリオは無視します。

縦ドップラー効果

古典的なドップラー解析は、音波や水面の波紋など、媒質中を伝播する波動を扱います。これらの波動は、互いに近づいたり遠ざかったりする音源と受信機の間を伝播します。このような波動の解析は、音源、受信機、またはその両方が媒質に対して移動しているかどうかによって異なります。受信機が媒質に対して静止しており、音源が速度v sで受信機から直接遠ざかっている場合（速度パラメータβ sの場合） 、波長は増加し、観測される周波数fは次のように与えられます。

f = 1 1 + β s f 0 {\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}

一方、音源が静止しており、受信機が速度v rで音源から直接遠ざかっている場合（速度パラメータβ rの場合） 、波長は変化しませんが、受信機に対する波の伝播速度は減少し、観測される周波数fは次のように与えられます。

f = ( 1 − β r ) f 0 {\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}
図3–6. 相対論的ドップラー効果の時空図

光は、音や水の波紋とは異なり、媒質中を伝播せず、音源が受信機から遠ざかるか、受信機が音源から遠ざかるかの区別はありません。図3-6は、速度パラメータを持つ音源が受信機から遠ざかる相対論的時空図を示しており、時刻における音源と受信機の距離はです。時間の遅れにより、緑色の光線の傾きは-1であるため、相対論的ドップラー効果は[41] ：58–59 で与えられます β , {\displaystyle \beta ,} w {\displaystyle w} β w {\displaystyle \beta w} w = γ w ′ . {\displaystyle w=\gamma w'.} T = w + β w = γ w ′ ( 1 + β ) . {\displaystyle T=w+\beta w=\gamma w'(1+\beta ).}

f = 1 − β 1 + β f 0 . {\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}

横ドップラー効果

図3-7. 横ドップラー効果のシナリオ

交差しない線に沿って等速慣性運動で互いに近づいている音源と受信機が、互いに最も接近していると仮定します。古典的な解析では、受信機はドップラーシフトを検出しないと予測されるように見えます。解析の微妙な点により、その期待は必ずしも正しいとは限りません。しかし、適切に定義されれば、横方向ドップラーシフトは古典的な類似物を持たない相対論的効果です。微妙な点は次のとおりです。[45] : 541–543 

  • 図3-7a。受信機が幾何学的に音源に最も接近しているときの周波数測定値はいくらですか？このシナリオは、音源の座標系S′から最も簡単に解析できます。[注 10]
  • 図3-7b。受信機が音源を最も接近していると見なすとき、周波数測定値はいくらですか？このシナリオは、受信機の座標系Sから最も簡単に解析できます。

横ドップラーシフトの議論では、他に2つのシナリオがよく検討されます

  • 図3-7c. 受信機が光源の周りを円運動している場合、受信機はどの周波数を測定しますか？
  • 図3-7d. 光源が受信機の周りを円運動している場合、受信機はどの周波数を測定しますか？

シナリオ(a)では、最接近点はフレームに依存せず、距離と時間の変化がない瞬間（つまり、dr/dt = 0、rは受信機と光源間の距離）を表し、したがって縦方向ドップラーシフトはありません。光源は受信機が周波数f′の光で照らされていると観測しますが、受信機は時間遅れの時計を持っているとも観測します。したがって、フレームSでは、受信機は周波数f ′の 青方偏移した光で照らされています

f = f ′ γ = f ′ / 1 − β 2 {\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

シナリオ(b)では、図は、光源が受信機に最も近かったときの光によって受信機が照らされていることを示しています。光源の時計はフレームSで測定されるように時間が遅れており、この時点でdr/dtはゼロであるため、この最も近い点から放射される光源からの光は周波数とともに 赤方偏移します

f = f ′ / γ = f ′ 1 − β 2 {\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

シナリオ(c)と(d)は、単純な時間の遅れの議論によって分析できる。(c)では、受信機は光源からの光が 倍の青方偏移として観測し、(d)では光が赤方偏移していると観測する。一見複雑に見える唯一の点は、周回物体が加速運動している点である。しかし、慣性観測者が加速する時計を観測する場合、時間の遅れを計算する際には時計の瞬間速度のみが重要となる（ただし、逆は成り立たない）。[45] : 541–543 横方向ドップラーシフトに関するほとんどの報告では、この効果を赤方偏移と呼び、シナリオ(b)または(d)の観点からその効果を分析している。[注 11] γ {\displaystyle \gamma }

エネルギーと運動量

運動量を4次元に拡張する

図3–8. 相対論的時空運動量ベクトル。静止系の座標軸は、運動量、p、質量*cです。比較のために、位置と時間*cの軸を持つ時空座標系を重ねています。

古典力学では、粒子の運動状態は質量と速度によって特徴付けられます。粒子の質量と速度の積である線運動量は、速度と同じ方向を持つベクトル量です： p  =  m v。これは保存量であり、閉系が外力の影響を受けない場合、その全線運動量は変化しないこと を意味します

相対論的力学では、運動量ベクトルは4次元に拡張されます。運動量ベクトルには時間成分が加わり、時空運動量ベクトルは時空位置ベクトルのように変換できるようになります。時空 ( x , t ) {\displaystyle (x,t)} 運動量の性質を探るには、まず図3-8aで、静止している粒子の様子を調べることから始めます。静止系では、運動量の空間成分はゼロ、つまりp  = 0ですが、時間成分はmcに 等しくなります

ローレンツ変換を用いることで、このベクトルの運動座標系における変換された成分を得ることができます。また、赤軸がガンマで再スケールされているため、 と が分かっているので、図から直接読み取ることもできます。図 ( m c ) ′ = γ m c {\displaystyle (mc)^{\prime }=\gamma mc} 3-8b p ′ = − β γ m c {\displaystyle p^{\prime }=-\beta \gamma mc} は、運動座標系で現れる状況を示しています。運動座標系の速度がcに近づくにつれて、4元運動量の空間成分と時間成分は無限大になることが明らかです。[41] : 84–87 

この情報は、すぐに四元運動量の式を得るために使用します。

光の運動量

図3–9. 異なる慣性系における光のエネルギーと運動量

光粒子、つまり光子は、従来光速として知られている定数であるcの速度で移動します。この記述はトートロジーではありません。なぜなら、多くの現代の相対性理論は、光速一定を公準として出発していないからです。したがって、光子は光のような世界線に沿って伝播し、適切な単位では、すべての観測者にとって等しい空間成分と時間成分を持ちます。

マクスウェルの電磁気学理論の帰結として、光はエネルギーと運動量を運び、それらの比は一定であるということです：⁠ ⁠ E / p = c {\displaystyle E/p=c} 。整理すると、⁠ ⁠ E / c = p {\displaystyle E/c=p} 、そして光子の場合、空間成分と時間成分は等しいので、E / c は時空運動量ベクトルの時間成分と等しくなければなりません

光子は光速で移動しますが、運動量とエネルギーは有限です。そのためには、γmcの質量項はゼロでなければなりません。つまり、光子は質量のない粒子です。無限大×ゼロは定義が曖昧ですが、E / cは明確に定義されています。

この解析により、静止座標系で光子のエネルギーがEに等しい場合、運動座標系では に等しくなります E ′ = ( 1 − β ) γ E {\displaystyle E^{\prime }=(1-\beta )\gamma E} 。この結果は、図3-9を調べるか、ローレンツ変換を適用することで導き出すことができ、前述のドップラー効果の解析と一致しています。[41] : 88 

質量とエネルギーの関係

相対論的運動量ベクトルのさまざまな成分間の相互関係を考慮することで、アインシュタインはいくつかの重要な結論に至りました

  • 低速限界では、 β = v / c がゼロに近づくにつれて、γ は1に近づくため、相対論的運動量の空間成分⁠ ⁠は運動量の古典的な項である β γ m c = γ m v {\displaystyle \beta \gamma mc=\gamma mv} mvに近づきます。この観点から、γm はmの相対論的一般化として解釈できます。アインシュタインは、物体の相対論的質量は速度とともに次の式に従って増加すると提案し m rel = γ m {\displaystyle m_{\text{rel}}=\gamma m} ました
  • 同様に、相対論的運動量の時間成分と光子の時間成分を比較すると、アインシュタインは関係式に到達しました。速度ゼロ γ m c = m rel c = E / c {\displaystyle \gamma mc=m_{\text{rel}}c=E/c} の場合に簡略化すると、これはエネルギーと質量を関連付けるアインシュタインの方程式です。 E = m rel c 2 {\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}}

質量とエネルギーの関係を見る別の方法は、低速度における γmc 2の級数展開を考えることです。

E = γ m c 2 = m c 2 1 − β 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}} ≈ m c 2 + 1 2 m v 2 . . . {\displaystyle \approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}...}

2番目の項は、粒子の運動エネルギーを表す表現に過ぎません。質量は確かに別の形態のエネルギーであるように思われます。[41] : 90–92  [43] : 129–130, 180 

アインシュタインが1905年に導入した相対論的質量の概念m rel は、世界中の粒子加速器（あるいは電子顕微鏡、[46]旧式のカラーテレビなど、高速粒子を使用するあらゆる機器）で日々十分に検証されているにもかかわらず、他の理論的発展の基礎として役立っていないという意味で、物理学において実りある概念であることが証明されていません。例えば、相対論的質量は一般相対論では役割を果たしません

この理由と教育上の配慮から、現在、ほとんどの物理学者は質量とエネルギーの関係について言及する際に、別の用語を好んで用いています。[47]「相対論的質量」は推奨されていない用語です。「質量」という用語自体は静止質量または不変質量を指し、相対論的運動量ベクトルの不変長に等しいです。式で表すと、

E 2 − p 2 c 2 = m rest 2 c 4 {\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{\text{rest}}^{2}c^{4}}

この式は、質量のある粒子だけでなく、質量のない粒子にも適用されます。m rest がゼロの光子の場合、⁠ ⁠となります。[ 41] : 90–92  E = ± p c {\displaystyle E=\pm pc}

四元運動量

質量とエネルギーの間には密接な関係があるため、四元運動量（四元運動量とも呼ばれる）はエネルギー・運動量四元ベクトルとも呼ばれます。四元運動量を大文字のPで、空間運動量を小文字のpで表すと、四元運動量は次のように表記されます。

P ≡ ( E / c , p → ) = ( E / c , p x , p y , p z ) {\displaystyle P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})} または、
P ≡ ( E , p → ) = ( E , p x , p y , p z ) {\displaystyle P\equiv (E,{\vec {p}})=(E,p_{x},p_{y},p_{z})} [43] : 129–130, 180 という慣例を用いて c = 1. {\displaystyle c=1.}

保存則

物理学において、保存則は、孤立した物理系の特定の測定可能な特性は、系が時間の経過とともに進化しても変化しないことを述べています。1915年、エミー・ネーターは、それぞれの保存則の根底には自然の基本的な対称性があることを発見しました。[48]物理過程が空間のどこで起こるかを気にしないという事実（空間並進対称性）は運動量保存則をもたらし、そのような過程がいつ起こるかを気にしないという事実（時間並進対称性）はエネルギー保存則をもたらします。などなど。このセクションでは、ニュートンの質量、運動量、エネルギー保存則に関する見解を相対論的観点から検討します

全運動量

図3–10. 相対論的運動量保存則

ニュートンの運動量保存則の見解を相対論的文脈でどのように修正する必要があるかを理解するために、1次元に限定された2つの衝突物体の問題を検討します。

ニュートン力学では、この問題の2つの極端なケースを区別することができ、最小限の複雑さの数学を生み出します

(1) 2つの物体は完全に弾性的な衝突で互いに跳ね返ります。
(2) 2つの物体はくっついて、1つの粒子として運動を続けます。この2番目のケースは、完全に非弾性的な衝突の場合です。

(1)と(2)の両方の場合において、運動量、質量、および全エネルギーは保存されます。しかし、非弾性衝突の場合、運動エネルギーは保存されません。初期の運動エネルギーの一定の割合が熱に変換されます。

(2)の場合、運動量 と を持つ2つの質量が衝突し p 1 = m 1 v 1 {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{1}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}} 、保存された質量 p 2 = m 2 v 2 {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{2}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}} を持つ1つの粒子が生成され、 m = m 1 + m 2 {\displaystyle m=m_{1}+m_{2}} 元の系の質量中心の速度を移動します。全運動量は保存されます v c m = ( m 1 v 1 + m 2 v 2 ) / ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)} p = p 1 + p 2 {\displaystyle {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}}

図3-10は、相対論的な観点から2つの粒子の非弾性衝突を示しています。時間成分と E 1 / c {\displaystyle E_{1}/c} を足し合わせると、 E 2 / c {\displaystyle E_{2}/c} 合成ベクトルの全E/cとなり、エネルギーが保存されることを意味します。同様に、空間成分と p 1 {\displaystyle {\boldsymbol {p_{1}}}} を足し合わせると、合成ベクトルの p 2 {\displaystyle {\boldsymbol {p_{2}}}} pが形成されます。4元運動量は、予想どおり保存量です。しかし、全運動量の不変双曲線がエネルギー軸と交差する点によって与えられる、融合粒子の不変質量は、衝突した個々の粒子の不変質量の合計とは等しくありません。実際、それは個々の質量の合計よりも大きくなります：[ 41 m > m 1 + m 2 {\displaystyle m>m_{1}+m_{2}} ] ：94–97 

このシナリオの出来事を逆順に見ていくと、質量が保存されないことはよくあることです。不安定な素粒子が自発的に2つの軽い粒子に崩壊するとき、全エネルギーは保存されますが、質量は保存されません。質量の一部は運動エネルギーに変換されます。[43] : 134–138 

参照系の選択

解析を行う際に任意の系を選択できる自由度により、特に都合の良い系を選ぶことができます。運動量とエネルギーの問題の解析において最も便利な系は通常、「運動量中心系」（ゼロ運動量系、またはCOM系とも呼ばれる）です。これは、系全体の運動量の空間成分がゼロとなる系です。図3-11は、高速粒子が2つの娘粒子に分裂する様子を示しています。実験系では、娘粒子は元の粒子の軌道に沿った方向に優先的に放出されます。しかし、COM系では、2つの娘粒子は質量と速度の大きさが一般的に同じではないにもかかわらず、反対方向に放出されます。[49]

エネルギーと運動量保存則

相互作用する粒子のニュートン力学解析では、すべての速度にガリレイ変換を適用するだけで済むため、フレーム間の変換は簡単です。⁠ ⁠ なので、 v ′ = v − u {\displaystyle v'=v-u} 運動量は⁠ ⁠ です p ′ = p − m u {\displaystyle p'=p-mu} 。相互作用する粒子系の全運動量が1つのフレームで保存されることが観測される場合、他のどのフレームでも同様に保存されることが観測されます。[43] : 241–245 

重心系における運動量保存則は、衝突前後ともにp  = 0という要件に相当します。ニュートン力学の解析では、質量保存則により、 ⁠ ⁠ m = m 1 + m 2 {\displaystyle m=m_{1}+m_{2}} となります。これまで検討してきた単純化された1次元のシナリオでは、粒子の出射運動量を決定する前に、エネルギー条件という追加の制約が1つだけ必要です。運動エネルギーの損失がない完全な弾性衝突の1次元の場合、重心系における反発粒子の出射速度は、入射速度と正確に等しく、反対向きになります。運動エネルギーが完全に失われる完全な非弾性衝突の場合、反発粒子の出射速度はゼロになります。[43] : 241–245 

ニュートン力学の運動量は、⁠ ⁠ p = m v {\displaystyle p=mv} として計算されますが、ローレンツ変換の下では適切に振る舞いません。速度の線形変換は高度に非線形な⁠ ⁠ v ′ = v − u {\displaystyle v'=v-u} に置き換えられる ため、ある系で運動量保存則を示す計算は、他の系では無効になります。アインシュタインは、 v ′ = ( v − u ) / ( 1 − v u / c 2 ) {\displaystyle v^{\prime }=(v-u)/(1-{vu}/{c^{2}})} 運動量保存則を放棄するか、運動量の定義を変更するかのどちらかを迫られました。彼が選んだのは後者の選択肢でした。[41] : 104 

エネルギーと運動量に関する相対論的保存則は、エネルギー、運動量、質量に関する3つの古典的な保存則に取って代わります。質量はもはや独立に保存されません。なぜなら、質量は相対論的エネルギー全体に組み込まれたからです。これにより、相対論的エネルギー保存則は非相対論的力学よりも単純な概念になります。なぜなら、全エネルギーはいかなる条件もなしに保存されるからです。熱または内部位置エネルギーに変換された運動エネルギーは、質量の増加として現れます。[43] : 127 

例：質量とエネルギーは等価であるため、素粒子の質量は通常エネルギー単位で表され、1MeV = 10 6電子ボルトです。荷電パイ中間子は質量139.57MeV（電子質量の約273倍）の粒子です。荷電パイ中間子は不安定で、質量105.66MeV（電子質量の約207倍）のミュー中間子と、質量がほとんど無視できる反ニュートリノに崩壊します。パイ中間子の質量とミュー中間子の質量の差は33.91MeVです。
π−
→ μ−
+ ν
μ

図3-12aは、パイオンの静止系におけるこの崩壊反応のエネルギー-運動量図を示しています。ニュートリノは質量が無視できるため、光速にほぼ等しい速度で移動します。ニュートリノのエネルギーの相対論的表現は、光子の場合と同様に⁠ ⁠ E v = p c , {\displaystyle E_{v}=pc,} であり、これはニュートリノの運動量の空間成分の値でもあります。運動量保存則のため、ミューオンはニュートリノの運動量の空間成分と同じ値を持ちますが、方向は逆になります。

この崩壊反応のエネルギー論の代数解析はオンラインで入手可能です。 [50]そのため、図3-12bではグラフ電卓による解を示しています。ニュートリノのエネルギーは29.79MeV、ミューオンのエネルギーは33.91MeV - 29.79MeV = 4.12MeVです。エネルギーの大部分は、質量がほぼゼロのニュートリノによって運び去られます

曲がった時空への導入

ニュートンの理論は、運動は全空間と全時間に広がる剛体ユークリッド座標系を背景に起こると仮定していました。重力は、介在する空間とは無関係に、距離を越えて瞬時に作用する謎の力によって媒介されています。 [注 12]対照的に、アインシュタインは、空間全体に広がる背景ユークリッド座標系の存在を否定しました。重力のような力も存在せず、存在するのは時空そのものの構造だけです。[51] : 175–190 

図5–1. 潮汐効果

時空の観点から見ると、地球を周回する衛星の軌道は、地球、月、太陽といった遠方の影響によって決まるわけではありません。衛星は局所的な条件に応じてのみ宇宙空間を移動します。十分に小さなスケールで考えると、時空はどこでも局所的に平坦であるため、衛星は常に局所的な慣性系において直線を描いています。衛星は常に測地線の軌道を描いていると言えます。単一の粒子の運動に沿って重力の証拠は発見できません。[51] : 175–190 

時空のあらゆる解析において、重力の証拠を得るには、二つの物体、あるいは二つの離れた粒子の相対的な加速度を観察する必要がある。図5-1では、地球の重力場中を自由落下する二つの離れた粒子が、重力場の局所的な不均一性によって潮汐加速度を示しており、それぞれの粒子は時空を通して異なる経路を辿る。これらの粒子が互いに示す潮汐加速度は、その説明に力を必要としない。むしろ、アインシュタインはこれを時空の幾何学、すなわち時空の曲率によって記述した。これらの潮汐加速度は厳密に局所的である。地球から遠く離れた場所に作用する重力の出現は、多くの局所的な曲率の発現の累積的な効果によって生じる。 [51] : 175–190 

この図に示されているシナリオを観察する異なる観察者は、状況に関する知識に応じて、シナリオを異なる方法で解釈します。(i) 粒子2と3の質量中心にいるが、大きな質量1を知らない最初の観察者は、シナリオAでは粒子間に斥力があり、シナリオBでは粒子間に引力があると結論付けます。(ii) 大きな質量1を知っている2番目の観察者は、最初の報告者のナイーブさに微笑みます。この2番目の観察者は、実際には粒子2と3の間に見られる力は、質量1による引力の差から生じる潮汐効果を表していることを知っています。(iii) 一般相対性理論の訓練を受けた3番目の観察者は、実際には3つの物体間に全く力が作用していないことを知っています。むしろ、3つの物体はすべて時空内の測地線に沿って移動しています。

一般相対性理論の根底には、2つの中心的な命題があります

  • 最初の重要な概念は座標独立性です。物理法則は、使用する座標系に依存することはできません。これは特殊相対性理論で使用されている相対性原理の主要な拡張であり、特殊相対性理論では、物理法則は加速されていない（慣性）参照系で運動するすべての観測者にとって同じでなければならないと述べています。一般相対性理論では、アインシュタイン自身の（翻訳された）言葉を用いると、「物理法則は、あらゆる種類の運動における参照系に適用されるような性質でなければならない」ということです。[52] : 113 これは直ちに問題を引き起こします。加速系では、人は力を感じ、それが絶対的な意味で自分の加速状態を評価することを可能にするように見えます。アインシュタインはこの問題を等価性原理によって解決しました。[53] : 137–149 
図5–2. 等価原理
  • 等価原理は、十分に小さな空間領域においては、重力の影響は加速度の影響と同じであると述べている。図5-2では、人物Aは質量体から遠く離れた宇宙船に乗っており、 g
    の均一な加速度を受けている。人物Bは地球上に置かれた箱の中にいる。宇宙船が十分に小さく、潮汐効果が測定できないと仮定すると（現在の重力測定機器の感度を考えると、AとBはおそらくリリパット人であるはずである）、AとBがどちらの状況にいるのかを判断できるような実験は存在しない。[53] ：141–149 等価原理の別の表現は、ニュートンの万有引力の法則F = GMm g /r 2 = m g gとニュートンの第二法則F = mi aにおいて、重力質量m gが慣性質量m iと等しくなければならないという先験的な理由はないことに注意することです。等価原理は、これら2つの質量が同一であることを述べています。[53] ：141–149 
上記の曲がった時空の基本的な記述から重力の完全な記述に至るには、テンソル計算と微分幾何学が必要であり、どちらもかなりの研究が必要です。これらの数学的ツールがなければ、一般相対性理論について書くことは可能ですが、非自明な導出を示すことはできません。

技術的なトピック

時空は本当に曲がっているのか？

ポアンカレの慣習主義者の見解では、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学のどちらを選択すべきかという本質的な基準は、経済性と単純さである。実在論者は、アインシュタインが時空が非ユークリッドであることを発見したと言うだろう。慣習主義者は、アインシュタインは単に非ユークリッド幾何学を使う方が便利だと考えただけだと言うだろう。慣習主義者は、アインシュタインの分析は時空の幾何学が実際には何であるかについて何も語っていないと主張するだろう。[54]

そうは言っても、

  1. 一般相対性理論を平坦な時空で表現することは可能でしょうか？
  2. 一般相対性理論における平坦な時空解釈が、通常の曲がった時空解釈よりも便利な状況はありますか？

最初の質問に答えて、デザー、グリシュチャク、ローゼン、ワインバーグなどを含む多くの著者が、平坦多様体内の場としての重力の様々な定式化を提示してきた。これらの理論は、「双計量重力」、「一般相対性理論への場の理論的アプローチ」など、様々に呼ばれている。[55] [56] [57] [58]キップ・ソーンはこれらの理論の一般的なレビューを提供している。[59] : 397–403 

平坦時空パラダイムは、物質が重力場を作り出し、定規を円周方向から放射状に回転させると定規が縮み、時計の針の進み方が遅くなると仮定する。平坦時空パラダイムは、同じ物理現象を表現するという点で、湾曲時空パラダイムと完全に同等である。しかし、その数学的定式化は全く異なる。現役の物理学者は、問題の要件に応じて、湾曲時空と平坦時空を日常的に切り替えて使用している。平坦時空パラダイムは、弱い場における近似計算を行う際に便利である。そのため、平坦時空は重力波問題を解く際に、湾曲時空はブラックホールの解析に用いられる傾向がある。[59] : 397–403 

漸近対称性

特殊相対論における時空対称群はポアンカレ群であり、これは3つのローレンツブースト、3つの回転、および4つの時空並進からなる10次元群です。一般相対論において、もし適用できるとすればどのような対称性があるかを問うのは理にかなっています。扱いやすいケースとしては、重力場のすべての発生源から遠く離れた観測者から見た時空の対称性を考えることが考えられます。漸近的に平坦な時空対称性に対する素朴な期待は、特殊相対論における平坦な時空の対称性、すなわちポアンカレ群を 拡張して再現するだけでよいかもしれません

1962年、ヘルマン・ボンディ、MG・ファン・デル・バーグ、AW・メッツナー[60]、ライナー・K・サックス[61]は、伝播する重力波による無限遠におけるエネルギーの流れを調べるために、この漸近対称性の問題に取り組みました。彼らの最初のステップは、漸近対称群の性質について先験的な仮定を一切置かず、そのような群が存在するという仮定さえも置かずに、計量が漸近的に平坦であると言うことの意味を特徴付けるために、光のような無限遠における重力場に課す物理的に妥当な境界条件を決定することでした。次に、彼らが最も妥当であると考える境界条件を設計した後、漸近的に平坦な重力場に適した境界条件の形を不変にする、結果として得られる漸近対称変換の性質を調査しました。[62] : 35 

彼らが発見したのは、漸近対称変換が実際に群を形成し、この群の構造は存在する特定の重力場に依存しないということでした。これは、予想どおり、少なくとも空間無限遠では、時空の運動学を重力場の力学から分離できることを意味します。 1962 年に起きた不可解な驚きは、BMS 群の部分群である有限次元ポアンカレ群の代わりに、漸近対称群として豊富な無限次元群 (いわゆる BMS 群) を発見したことでした。ローレンツ変換が漸近対称変換であるだけでなく、ローレンツ変換ではないが漸近対称変換である追加の変換も存在します。実際、彼らは超変換として知られる変換生成子の無限数をさらに発見しました。これは、一般相対性理論（GR）は長距離の弱場の場合、特殊相対性理論に還元されないという結論を意味します。 [62] : 35 

リーマン幾何学

リーマン幾何学は、リーマン多様体を研究する微分幾何学の一分野です。リーマン多様体の例としては、面があり、その面上では、距離は面上の曲線の長さで測定されます。リーマン幾何学は、面とその高次元類似体（多様体と呼ばれる）を研究する分野であり、距離は多様体に属する曲線に沿って計算されます。正式には、リーマン幾何学は、リーマン計量（各点における接空間上の内積で、点から点へと滑らかに変化するもの）を持つ滑らかな多様体を研究する分野です。これにより、特に、角度、曲線の長さ、表面積、体積 という局所的な概念が生まれます。これらのことから、局所的な寄与を積分することで、他のいくつかの大域的な量を導くことができます。

リーマン幾何学は、ベルンハルト・リーマンが就任講演「幾何学の基礎となる仮説について」で表明した ビジョンに端を発しています。 [63]これは、 R3における曲面の微分幾何学の非常に広範かつ抽象的な一般化です。リーマン幾何学の発展は、高次元の微分可能多様体の研究に適用できる手法を用いて、曲面の幾何学とその上の測地線の挙動に関する多様な結果の統合をもたらしました。それは、アインシュタインの一般相対性理論の定式化を可能にし、群論、表現論、そして解析学に大きな影響を与え、代数的位相幾何学と微分位相幾何学の発展を促進しました

曲面多様体

物理的な理由から、時空連続体は数学的には4次元の滑らかな連結なローレンツ多様体 として定義されます。これは、滑らかなローレンツ計量の符号が であることを意味します。この計量は ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} g {\displaystyle g} ( 3 , 1 ) {\displaystyle (3,1)} 時空の幾何学、そして粒子と光線の測地線座標系における観測者を表すために座標図が用いられます。さらに、簡略化のため、測定単位は通常、光速が1となる。[64] ( x , y , z , t ) {\displaystyle (x,y,z,t)} c {\displaystyle c}

参照フレーム（観測者）は、これらの座標チャートのいずれかで識別できます。そのような観測者は誰でも、任意のイベントを記述できます。別の参照フレームは、に関する2番目の座標チャートで識別できます。2人の観測者（各参照フレームに1人ずつ）が同じイベントを記述しても、異なる記述が得られる場合があります。[64] p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p}

通常、多様体をカバーするには、多くの重なり合う座標チャートが必要です。1つは（観測者を表す）を含み、もう1つは（別の観測者を表す）を含む2つの座標チャートがある場合、チャートの交点は、両方の観測者が物理量を測定し、結果を比較できる時空領域を表します。2つの測定セット間の関係は、この交点における非特異座標変換によって与えられます。座標チャートを、近傍で測定を行うことができる局所的な観測者とする考え方は、物理的にも理にかなっています。なぜなら、これが実際に物理データを局所的に収集する方法だからです。[64] p {\displaystyle p} q {\displaystyle q}

例えば、2人の観測者のうち1人は地球上にいて、もう1人は木星行きの高速ロケットに乗っていて、彗星が木星に衝突するのを観測するかもしれません（これがイベントです）。一般的に、彼らは衝突の正確な場所とタイミングについて意見が一致しません。つまり、異なる4元対を持つことになります（異なる座標系を使用しているため）。彼らの運動学的記述は異なりますが、運動量保存則や熱力学第一法則などの力学（物理）法則は依然として成り立ちます。実際、相対性理論は、これらの法則（および他のすべての物理）はすべての座標系で同じ形をとらなければならないと規定しているという意味で、これ以上のことを要求します。これにより、すべての物理量が表現される テンソルが相対性理論に導入されます p {\displaystyle p} ( x , y , z , t ) {\displaystyle (x,y,z,t)}

測地線は、測地線の一点への接ベクトルがこの性質を持つ場合、時間的、ヌル、または空間的であると言われます。時空における粒子と光線の経路は、それぞれ時間的測地線とヌル（光のような）測地線で表されます。[64]

3+1時空の特権的な性質

( n + m )次元時空の性質[65]

次元には、空間的（双方向）と時間的（一方向）の2種類があります。 [66]空間次元の数をN、時間次元の数をTとします。弦理論によって呼び出され、現在まで検出できないコンパクト化された次元を除けば、N = 3、T = 1であることは、 Nが3と異なり、Tが1と異なる場合の物理的な帰結に依拠することで説明できます。この議論はしばしば人類学的な性格を持ち、完全な概念が流行する前ではありますが、おそらくその種の議論としては最初のものでしょう

宇宙の次元性が特殊であるという暗黙の考えは、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツに初めて帰せられる。彼は『形而上学序説』の中で、世界とは「仮説においては最も単純でありながら、現象においては最も豊かな世界」であると示唆した。[67] イマヌエル・カントは、三次元空間は万有引力の反二乗則の帰結であると主張した。カントの議論は歴史的に重要であるが、ジョン・D・バローは「この議論は要点を逆転させている。すなわち、自然界に反二乗則が見られるのは空間の三次元性によるのであって、その逆ではない」と述べている（Barrow 2002:204）。[注 13]

1920年、ポール・エーレンフェストは、時間次元が1つしかなく、空間次元が3つ以上ある場合、惑星が太陽の周りを公転する軌道は安定を保つことができないことを示しました。これは、恒星が銀河中心の周りを公転する場合も同様です。[68]エーレンフェストはまた、空間次元が偶数の場合、波動インパルスの異なる部分が異なる速度で伝わることを示しました。空間次元がある場合（ kは正の整数）、波動インパルスは歪みます。1922年、ヘルマン・ワイルは、マクスウェルの電磁気学理論は4次元多様体に対する作用のみで表現できると主張しました。 [69]最後に、タンゲルリーニは1963年に、空間次元が3つ以上ある場合、原子核の周りの電子軌道は安定しないことを示しました。電子は原子核に落ち込むか、分散するでしょう。[70] 5 + 2 k {\displaystyle 5+2k}

マックス・テグマークは、前述の議論を次のように人類学的に展開している。[71] Tが 1 と異なる場合、物理システムの挙動は、関連する偏微分方程式の知識からでは確実に予測できない。そのような宇宙では、テクノロジーを操作できる知的生命体は出現しない可能性がある。さらに、T > 1の場合、陽子と電子は不安定になり、自分よりも質量の大きい粒子に崩壊する可能性があるとテグマークは主張している。 （粒子の温度が十分に低い場合は、これは問題にならない。）[71]最後に、N < 3の場合、あらゆる種類の重力が問題になり、宇宙はおそらく観測者を含めるには単純すぎるだろう。たとえば、N < 3の場合、神経は交差せずには交わらない。[71]したがって、人類学的およびその他の議論では、私たちの周りの世界を記述する N = 3およびT = 1以外のすべてのケースが除外されます。

一方、自己重力下にある理想的な単原子気体からブラックホールを生成するという観点から、馮維翔は(3 + 1)次元時空が限界次元であることを示した。さらに、この次元は「正の」宇宙定数を持つ「安定した」ガス球を形成できる唯一の次元である。しかし、観測された宇宙定数の正値が小さいため、質量球が太陽質量の約10の21乗よりも大きい場合、自己重力ガスは安定して束縛できない。 [72]

2019年、ジェームズ・スカーギルは、2つの空間次元で複雑な生命が可能である可能性があると主張した。スカーギルによれば、純粋にスカラーな重力理論は局所的な重力を可能にする可能性があり、2次元ネットワークは複雑なニューラルネットワークには十分である可能性がある。[73] [74]

参照

注釈

  1. ^ luminiferousはラテン語のlumen（光）+ ferens（運ぶ）に由来。aetherはギリシャ語の αἰθήρ（ aithēr）（純粋な空気、澄んだ空）に由来
  2. ポアンカレは、同時性は慣習の問題であると述べることによって、時間について語るためには同期した時計が必要であり、時計の同期は特定の操作手順（慣習）によって確立されなければならないことを意味していました。この立場は、当時の不正確な時計の動作とは独立した絶対的で真の時間を構想したニュートンからの根本的な哲学的決別を表しています。この立場はまた、時間、同時性、持続は直観的な理解の問題であると主張した影響力のある哲学者アンリ・ベルクソンへの直接的な攻撃を表しています。 [19]
  3. ^ ポアンカレが採用した操作手順は、 19世紀半ばに既に電信技師によって広く用いられていたアインシュタイン同期法と本質的に同一であった。基本的に、2つの時計を同期させるには、一方からもう一方へ光信号を発し、その閃光が到達するまでの時間を調整する。[19]
  4. 実際、アインシュタインのキャリアの特徴は、物理的な問題を理解するための基本的なツールとして、視覚化された思考実験（Gedanken-Experimente）を用いたことです。特殊相対性理論については、彼は最も鋭い洞察を得るために、動く列車や稲妻を用いました。曲がった時空については、屋根から落ちる画家、加速するエレベーター、曲面を這う盲目の甲虫などを検討しました。現実の性質に関するボーアとの偉大なソルベー論争（1927年と1930年）では、少なくとも概念的には、ハイゼンベルクの不確定性原理を回避する手段を示すことを意図した複数の架空の装置を考案しました。最後に、量子力学の文献への深遠な貢献として、アインシュタインは2つの粒子が短時間相互作用し、その後離れていくことでそれらの状態が相関すると考え、量子もつれとして知られる現象を予見しました。[24]
  5. ^ この講義の原版では、ミンコフスキーはエーテルなどの時代遅れの用語を使い続けましたが、1915年に死後に物理学年報（Annallen der Physik）に掲載されたこの講義は、ゾンマーフェルトによって編集され、この用語は削除されました。ゾンマーフェルトはまた、この講義の出版版を編集し、ミンコフスキーによるアインシュタインの評価を、相対性原理の単なる明確化者から、その主要な解説者へと修正しました。[25]
  6. （ 以下では、群 G ∞ はガリレイ群、群 G c は ローレンツ群である。）「これに関して、 c = ∞の極限における群G c、すなわち群G ∞ は、まさにニュートン力学に属する完全な群となることは明らかである。このような状況において、そして G c は数学的に G ∞ よりも理解しやすいため、数学者は自由な想像力によって、自然現象は実際には群 G ∞に対してではなく、むしろ群 G c に対して不変性を持つという考えに至り得る。ここでcは確かに有限であり、通常の測定単位を用いると非常に大きくなるだけである。」[27]
  7. ^ 例えば、ローレンツ群は4次元における共形群の部分群です。[28] : 41–42  ローレンツ群は、平面を平面に変換するラゲール群と同型であり、 [28] : 39–42 平面のメビウス群 と同型であり、 [29] : 22 また、双曲面モデルで表されることが多い双曲空間 における等長変換群とも同型です。[30] : 3.2.3 
  8. ^ デカルト平面では、通常の回転では円は変化しません。時空では、双曲回転は双曲計量を保存します
  9. ^ 加速（減速）がない場合、つまり、一定の高速で往路を進むために1つの慣性系Oを使用し、一定の高速で復路を進むために別の慣性系Iを使用した場合でも、これらの慣性系（OとI）の経過時間の合計は、静止した慣性系Sの経過時間よりも短くなります。したがって、加速と減速は、往路と復路の経過時間が短くなる原因ではありません。むしろ、往路と復路に2つの異なる一定の高速慣性系を使用することが、経過時間の合計が短くなる原因です。確かに、同じ双子が往路と復路を移動し、安全に往路から復路に切り替える必要がある場合は、加速と減速が必要です。移動中の双子が高速の往路慣性系に乗り、瞬時に高速の復路慣性系に切り替えることができれば、この例は依然として有効です。重要なのは、真の理由を明確に述べる必要があるということです非対称性は、2 つの異なる慣性系 (O と I) での経過時間の合計と、単一の慣性系 S での経過時間を比較することによって生じます。
  10. ^ 相対論的シナリオの解析の容易さは、多くの場合、解析を実行するフレームに依存します。このリンクされた画像では、ソースと受信機が互いに最も接近している場合の横ドップラーシフトのシナリオの別の見方を示しています。(a) 受信機のフレームでシナリオを解析すると、解析が本来あるべきよりも複雑であることがわかります。天体の見かけの位置は、光が観測者に到達するまでのオブジェクトの移動により、真の位置 (または幾何学的位置) からずれています。ソースは受信機に対して時間の遅れが生じますが、この時間の遅れによって暗示される赤方偏移は、受信機とソースの見かけの位置との間の相対移動の経度成分による青方偏移によって相殺されます。(b) 代わりに、ソースのフレームからシナリオを解析すると、はるかに簡単になります。ソースに位置する観測者は、問題の説明から、受信機が自分に最も接近していることを知っています。つまり、受信機には分析を複雑にする縦方向の運動成分がありません。受信機の時計は光源に対して時間的に遅れているため、受信機が受信する光はガンマ倍の青方偏移となります。
  11. すべての実験が赤方偏移でこの効果を特徴づけているわけではありません。例えば、キュ​​ンディッヒ実験では、遠心分離機ローターの中央にメスバウアー光源を設置し、縁に吸収体を配置して、横方向の青方偏移を測定しています
  12. ニュートン自身もこれらの仮定に内在する困難を痛感していましたが、現実的には、これらの仮定を立てることが進歩を遂げる唯一の方法でした。1692年、彼は友人のリチャード・ベントレーにこう書いています。「重力が物質に生得的、固有、かつ本質的なものであり、ある物体が真空を通して遠隔的に別の物体に作用し、他のいかなる媒介もなしに、その作用と力が一方から他方へ伝達されるという考えは、私にとって非常に不合理であり、哲学的な事柄に関して有能な思考力を持つ人間が決して陥ることはないと信じています。」
  13. ^ これは、万有引力の法則（またはその他の反二乗の法則）が、磁束の概念と、磁束密度と場の強度の比例関係から導かれるためです。N = 3の場合、3次元の固体は、任意の選択された空間次元において、その大きさの2乗に比例する表面積を持ちます。特に、半径 rの球の表面積は4πr 2 です。より一般的には、 N次元の空間において、距離rだけ離れた2つの物体間の重力の強さは、 r N −1に反比例します。

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参考文献

Wikiquoteには時空に関する引用があります。
Wikibooksには特殊相対性理論に関する書籍があります。
  • ウィキメディア・コモンズにおける時空関連メディア
  • アルバート・アインシュタインの時空論 第13版ブリタニカ百科事典歴史：アルバート・アインシュタインの1926年の記事
  • 時空と重力百科事典Scholarpedia専門家による記事
  • スタンフォード哲学百科事典：ロバート・ディサール著「空間と時間：慣性系」
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