空間分散
スプリットリング共振器からなる電磁メタマテリアル。これらの構造は、均質化限界を超える強い空間分散を示す可能性がある。[1]

連続媒質の物理学において、空間分散とは、誘電率や導電率などの物質パラメータが波数ベクトルに依存する現象です。通常、このような依存性は単純化のために存在しないものと仮定されますが、空間分散はあらゆる物質において程度の差はあれ存在します。

波数ベクトル依存性の根本的な物理的理由は、多くの場合、物質が、対象とする信号（光や音など）の波長よりも小さな空間構造を持っていることです。これらの小さな空間構造は波動では分解できないため、間接的な影響（例えば波数ベクトル依存性）のみが検出可能です。このような場合、光は個々の原子を分解することはできませんが、それでも原子は全体として光の伝播に影響を与える可能性があります。もう一つの一般的なメカニズムは、（例えば）光がプラズモンなどの物質の励起と結合することです。

空間分散は時間分散と比較することができ、後者はしばしば単に分散と呼ばれます。時間分散はシステムにおけるメモリ効果を表し、光学や電子工学でよく見られます。一方、空間分散は拡散効果を表し、通常は微視的な長さスケールでのみ顕著になります。空間分散は光学に比較的小さな摂動を与え、光学活性などの弱い効果をもたらします。空間分散と時間分散は、同じシステムで発生することがあります。

空間分散は、複屈折のような異方性効果とも異なります。このような現象では、波が感じる実効的な物質パラメータは波動ベクトルの方向に依存しますが、これはテンソル成分が波動ベクトルに依存しないテンソル物質パラメータとして完全に捉えることができます。一方、空間分散とは、テンソルパラメータ自体が波動ベクトル、つまりその大きさと（多くの場合）方向に依存することを意味します。

起源: 非局所的応答

空間分散の起源は非局所応答としてモデル化することができ、力場に対する応答は多くの場所で現れ、力がゼロである場所でさえも現れる可能性がある。これは通常、隠れた微視的自由度による効果の拡散によって生じる。[2]

例として、空間(x)と時間(t)で変化する電界 に応答して駆動される電流を考えてみましょう。オームの法則などの簡略化された法則によれば、これらは互いに正比例しますが、系に記憶（時間分散）や広がり（空間分散）がある場合は、この法則は成り立ちません。最も一般的な線形応答は次のように表されます。 J （ × 、 t ） {\displaystyle J(x,t)} E （ × 、 t ） {\displaystyle E(x,t)} J ＝ σ E {\displaystyle J=\sigma E}

J （ × 、 t ） ＝ ∫ − ∞ − ∞ d × ′ ∫ − ∞ − ∞ d t ′ σ （ × 、 × ′ 、 t 、 t ′ ） E （ × ′ 、 t ′ ） 、 {\displaystyle J(x,t)=\int _{-\infty }^{-\infty }dx'\int _{-\infty }^{-\infty }dt'\,\sigma (x,x',t,t')E(x',t'),}

ここで、非局所伝導関数 です。 σ （ × 、 × ′ 、 t 、 t ′ ） d × ′ d t ′ {\displaystyle \sigma (x,x',t,t')dx'\,dt'}

系が時間不変（時間並進対称性）かつ空間不変（空間並進対称性）である場合、畳み込み核 に対して となるため、 を簡略化できます。また、およびに対して平面波解を考えることもできます。 σ （ × 、 × ′ 、 t 、 t ′ ） ＝ σ s y メートル （ × − × ′ 、 t − t ′ ） {\displaystyle \sigma (x,x',t,t')=\sigma _{\rm {sym}}(xx',tt')} σ s y メートル {\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}} E {\displaystyle E} J {\displaystyle J}

J （ × 、 t ） ＝ 再 ⁡ （ J 0 e 私 け × − 私 ω t ） {\displaystyle J(x,t)=\operatorname {Re} (J_{0}e^{ikx-i\omega t})}
E （ × 、 t ） ＝ 再 ⁡ （ E 0 e 私 け × − 私 ω t ） {\displaystyle E(x,t)=\operatorname {Re} (E_{0}e^{ikx-i\omega t})}

これにより、2つの平面波の複素振幅の間には驚くほど単純な関係が生まれます。

J 0 ＝ σ 〜 （ け 、 ω ） E 0 。 {\displaystyle J_{0}={\チルダ {\sigma }}(k,\omega )E_{0}.}

ここで関数は空間時間応答関数の フーリエ変換によって与えられる。 σ 〜 （ け 、 ω ） {\displaystyle {\チルダ {\sigma }}(k,\omega )}

σ 〜 （ け 、 ω ） ＝ ∫ − ∞ − ∞ d × ″ ∫ − ∞ − ∞ d t ″ e − 私 け × ″ + 私 ω t ″ σ s y メートル （ × ″ 、 t ″ ） 。 {\displaystyle {\tilde {\sigma}}(k,\omega )=\int _{-\infty }^{-\infty }dx''\int _{-\infty }^{-\infty }dt''\,e^{-ikx''+i\omega t''}\sigma _{\rm {sym}}(x'',t'').}

伝導率関数は、波数ベクトルkに依存する場合、空間分散を持ちます。これは、空間関数がxx'における点状（デルタ関数）応答でない場合発生します。 σ 〜 （ け 、 ω ） {\displaystyle {\チルダ {\sigma }}(k,\omega )} σ s y メートル （ × − × ′ 、 t − t ′ ） {\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}(xx',tt')}

電磁気学における空間分散

電磁気学において、空間分散は光学活性やドップラー広がりといったいくつかの物質効果において重要な役割を果たします。また、電磁メタマテリアルの理解においても空間分散は重要な役割を果たします。最も一般的には、誘電率 εの空間分散が注目されます。

結晶光学

結晶内部には空間分散、時間分散、異方性が組み合わさって存在する可能性がある。[3]分極ベクトルの構成関係は次のように表される。

P 私 （ け → 、 ω ） ＝ ∑ j （ ϵ 私 j （ け → 、 ω ） − ϵ 0 δ 私 j ） E j （ け → 、 ω ） 、 {\displaystyle P_{i}({\vec {k}},\omega )=\sum _{j}(\epsilon _{ij}({\vec {k}},\omega )-\epsilon _{0}\delta _{ij})E_{j}({\vec {k}},\omega ),}

つまり、誘電率は波数ベクトルと周波数に依存するテンソルです。

マクスウェル方程式を考慮すると、このような結晶内部には平面波の正規モードが存在することが分かる。これは、非ゼロの電場ベクトルに対して以下の関係が満たされるときに発生する。[3] E → {\displaystyle {\vec {E}}}

ω 2 μ 0 ϵ （ け → 、 ω ） E → − （ け → ⋅ け → ） E → + （ け → ⋅ E → ） け → ＝ 0。 {\displaystyle \omega ^{2}\mu _{0}\epsilon ({\vec {k}},\omega ){\vec {E}}-({\vec {k}}\cdot {\vec {k}}){\vec {E}}+({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}){\vec {k}}=0.}

空間分散により、同じ周波数と波数ベクトルの方向でありながら、波数ベクトルの大きさが異なる複数のモードが存在するなどの奇妙な現象が発生する可能性があります。 ϵ （ け → 、 ω ） {\displaystyle \epsilon ({\vec {k}},\omega )}

結晶表面や結晶境界近傍では、システム応答を波数ベクトルで記述することはもはや妥当ではありません。完全な記述のためには、並進対称性のない完全な非局所応答関数に戻る必要がありますが、最終的な効果は「追加境界条件」（ABC）によって記述できる場合があります。

等方性媒体の場合

関連する結晶構造を持たない材料では、空間分散が重要になる場合があります。

対称性は、波数ベクトルがゼロの場合に誘電率が等方的であることを要求しますが、この制約は波数ベクトルがゼロでない場合に適用されません。波数ベクトルがゼロでない場合の誘電率の非等方性は、キラル分子の溶液における光学活性などの効果をもたらします。光学活性のない等方性材料では、誘電率テンソルは横方向成分と縦方向成分に分解でき、波数ベクトルに垂直または平行な電場に対する応答を表します。[2]

吸収線（例えば励起子）に近い周波数では、空間分散が重要な役割を果たす可能性がある。[2]

ランダウ減衰

プラズマ物理学において、波はプラズマ中の粒子によって衝突なしに減衰され、その速度は波の位相速度と一致する。これは通常、プラズマの誘電率の空間分散損失として表される。

非ゼロ周波数における誘電率と透磁率の曖昧性

非ゼロ周波数においては、すべての磁化を時間変動する分極として表すことが可能です。さらに、電場と磁場は によって直接関連付けられているため、磁場によって誘起される磁化は、非常に分散的な関係ではあるものの、電場によって誘起される 分極として表すことができます。 ∇ × E ＝ − ∂ B / ∂ t {\displaystyle \nabla \times E=-\partial B/\partial t}

これは、非ゼロ周波数において、透磁率μへの寄与は、空間的に分散した誘電率εへの寄与として表現できることを意味します。この代替表現では透磁率と誘電率の値は異なりますが、電界、磁束密度、磁気モーメント、電流といった実数値に観測可能な差異は生じません。

その結果、光周波数では、μを真空透磁率 μ 0に設定し、分散誘電率εのみを考慮するのが一般的です。[2] μの有効媒質近似が使用されるメタマテリアルにおいてこれが適切であるかどうかについては議論があり、負の屈折率を持つメタマテリアルに見られる「負の透磁率」の現実性についても議論があります。[4]

静的空間分散

周波数がゼロであっても、ある場所で電荷の擾乱が発生すると、その影響を遮蔽する非局在化した雲が発生します。この非局在化は、静的誘電率の空間分散として記述できます。[5]金属では、これはフリーデル振動の形をとります。この振動では、誘電率関数はフェルミ波数ベクトルの2倍を超える波数ベクトルに対するハードカットオフとして理解でき、このハードカットオフは一種のリンギングアーティファクトを引き起こします。 ϵ （ け ） {\displaystyle \epsilon (k)}

音響における空間分散

音響学、特に固体においては、格子間隔に匹敵する波長に対して空間分散が顕著になる可能性があり、これは通常、非常に高い周波数（ギガヘルツ以上）で発生します。

固体において、横方向音響モードと縦方向音響モードの伝播の違いは、応力とひずみを関連付ける弾性テンソルの空間分散に起因します。極性振動（光学フォノン）の場合、縦方向モードと横方向モードの区別は、電磁場という「隠れた」非力学的自由度から生じる復元力の空間分散として捉えることができます。

空間分散に起因する多くの電磁波効果は、音波にも類似点を見出すことができます。例えば、キラル物質には、光学活性に類似した音響活性（横波音波の偏光面の回転）が存在します[6]。

参考文献

  1. ^ Silveirinha, Mário G.; Belov, Pavel A. (2008). 「透過率がほぼゼロのスプリットリング共振器の格子における空間分散」. Physical Review B. 77 ( 23) 233104. Bibcode :2008PhRvB..77w3104S. doi :10.1103/PhysRevB.77.233104.
  2. ^ abcd LD Landau ; EM Lifshitz ; LP Pitaevskii (1984).連続媒体の電気力学. 第8巻（第2版）. Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-7506-2634-7。
  3. ^ ab Agranovich & Ginzburg. 空間分散と励起子を含む結晶光学[第2版]. 978-3-662-02408-9, 978-3-662-02406-5
  4. ^ Agranovich, Vladimir M.; Gartstein, Yu.N. (2006). 「話題の問題のレビュー：光の空間分散と負の屈折」. Physics-Uspekhi . 49 (10): 1029. Bibcode :2006PhyU...49.1029A. doi :10.1070/PU2006v049n10ABEH006067. S2CID  119408077.
  5. ^ Gabovich, AM; Il'Chenko, LG; Pashitskiǐ, EA; Romanov, Yu. A. (1978). 「異なる形状のフェルミ面を持つ金属における電荷の遮蔽と電子密度のフリーデル振動」(PDF) . JETP . 48 :124.書誌コード:1978JETP...48..124G.
  6. ^ Portigal, DL; Burstein, E. (1968). 「結晶における音響活動とその他の一次空間分散効果」. Physical Review . 170 (3): 673– 678. Bibcode :1968PhRv..170..673P. doi :10.1103/PhysRev.170.673. ISSN  0031-899X.
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