波長
正弦波の波長λは、図に示すように、山 (上部) 間、谷 (下部) 間、または対応するゼロ交差間など、同じ位相を持つ任意の 2 点間で測定できます。

物理学と数学において、波や周期関数の波長あるいは空間周期とは、波の形状が繰り返される距離のことである。[ 1 ] [ 2 ]言い換えれば、隣接する2つの山、谷、ゼロ交差など、波の同一位相の連続する対応点間の距離である。波長は、進行波と定在波、およびその他の空間波パターンの両方の特性である。 [ 3 ] [ 4 ]波長の逆数は空間周波数と呼ばれる。波長は通常、ギリシャ文字のラムダ( λ )で示される。変調波の場合、波長は信号の搬送波長を指す場合がある。波長という用語は、変調波の反復エンベロープまたは複数の正弦波の干渉によって形成される波にも適用される場合がある。[ 5 ]

一定の波速で移動する正弦波を仮定すると、波長は波の周波数に反比例します。つまり、周波数が高い波は波長が短くなり、周波数が低い波は波長が長くなります。 [ 6 ]

波長は、波が伝わる媒体（例えば、真空、空気、水など）によって異なります。波の例としては、音波、光、水波、導体内の周期的な電気信号などがあります。音波は気圧の変化ですが、光やその他の電磁波では電場と磁場の強度が変化することです。水波は水面の高さの変化です。結晶格子の振動では、原子の位置が変化することが特徴です。

波動現象における波長または周波数の範囲はスペクトルと呼ばれます。この名称は可視光スペクトルに由来しますが、現在では電磁スペクトル全体、音スペクトル、振動スペクトルにも適用されています。

正弦波

線形媒体では、あらゆる波形は正弦波成分の独立した伝播によって記述できます。一定速度で伝播する正弦波の波長λは[ 7 ]で与えられます。 ここでλは波の位相速度（位相速度の大きさ）と呼ばれ、λは波の周波数です。分散媒体では、位相速度自体が波の周波数に依存するため、波長と周波数の関係は非線形になります。 v{\displaystyle v}λ＝vf、{\displaystyle \lambda ={\frac {v}{f}}\,\,,}v{\displaystyle v}f{\displaystyle f}

自由空間における光などの電磁放射の場合、位相速度は光速で、約3 × 10 8  m/s。したがって、100 MHzの電磁波（電波）の波長は約次のようになります。3 × 10 8  m/sを10 8  Hz = 3 m。可視光の波長は、約700  nmの濃い赤色から、約400 nmの紫色までの範囲です（他の例については、電磁スペクトルを参照してください）。

空気中の音波の速度は、室温および大気圧において343 m/sです。したがって、人間の耳に聞こえる音の周波数（20  Hz～20 kHz）の波長は、それぞれ約17  mと17  mmの間です。コウモリは17 mmよりも小さい対象物を認識するため、やや高い周波数を使用します。可聴音の波長は可視光の波長よりもはるかに長くなります。

端点がノードになるように制約されたボックス内の正弦定在波は、ボックス内に収まる半波長の整数倍になります。
定在波（黒）は、反対方向に伝播する2つの波（赤と青）の合計として表されます。

定在波

定在波とは、一箇所に留まる波動運動です。正弦定在波には、節と呼ばれる静止した点があり、その波長は節間の距離の2倍です。

上の図は、箱の中にある3つの定在波を示しています。箱の壁は、波が箱の壁で節を持つ必要があると仮定しています（境界条件の例）。これにより、許容される波長が決まります。例えば、電磁波の場合、箱が理想的な導電性の壁で構成されているとすると、壁で節を持つという条件が成立します。これは、導電性の壁が接線方向の電場を支えることができないため、壁で波の振幅がゼロになるからです。

定在波は、速度が反対方向に進む2つの正弦波の和と見ることができます。[ 8 ]したがって、波長、周期、波の速度は、進行波の場合と同様に関連しています。例えば、光の速度は、理想的な真空状態の金属箱内の定在波を観測することで決定できます。

数学的表現

進行する正弦波は、速度v（x方向）、周波数f、波長λを用いて数学的に表現されることが多く、以下の式で表される。 ここで、yは任意の位置xと時刻tにおける波の値、Aは波の振幅である。また、波数k（波長の逆数の2π倍）と角周波数ω（周波数の2π倍）を用いて以下の式で表されることも一般的である。 ここで、波長と波数は速度と周波数と以下の関係にある。 または y（×、 t）＝あコス⁡（2π（×λ−ft））＝あコス⁡（2πλ（×−vt））{\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)}y（×、 t）＝あコス⁡（け×−ωt）＝あコス⁡（け（×−vt））{\displaystyle y(x,\t)=A\cos\left(kx-\omega\t\right)=A\cos\left(k(x-vt)\right)}け＝2πλ＝2πfv＝ωv、{\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},}λ＝2πけ＝2πvω＝vf。{\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.}

上記の2番目の形式では、位相( kx − ωt )は、波数kを、位置ベクトルrによってパラメータ化された3次元空間における平面波の方向と波数を指定する波動ベクトルに置き換えることで、 ( k ⋅ r − ωt )と一般化されることが多い。その場合、波数k （ kの大きさ）は、上記に示したように波長と同じ関係にあり、vは波動ベクトルの方向のスカラー速度として解釈される。位相に波長の逆数を使用する最初の形式は、任意の方向の波にはそれほど簡単に一般化できない。

他の位相の正弦波や複素指数関数への一般化も一般的です。平面波を参照してください。波を記述する際に正弦波位相ではなく余弦波位相を使用する一般的な慣習は、余弦波が波の複素指数関数の実部であるという事実に基づいています。 あe私（け×−ωt）。{\displaystyle Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}.}

一般メディア

伝播速度が遅い媒体では波長は短くなります。
屈折: 速度が低い媒体に入ると、波の方向が変わります。
プリズムによる色の分離（アニメーションが再生されていない場合はクリックしてください）

波の速度は、伝播する媒質によって異なります。特に、媒質中の光速は真空中よりも遅いため、右図に示すように、同じ周波数でも媒質中は真空中よりも短い波長になります。

媒質に入る際のこの速度の変化は屈折、つまり媒質間の界面に斜めに当たる波の方向の変化を引き起こします。[ 9 ]電磁波の場合、この伝播角度の変化はスネルの法則に従います。

ある媒質における波の速度は、別の媒質における速度と異なるだけでなく、通常は波長によっても変化します。その結果、異なる媒質に入った際の方向の変化は、波の波長によって異なります。

電磁波の場合、媒質中の速度は屈折率によって決まり、 cは真空中の光速、 n ( λ 0 )は波長λ 0における媒質の屈折率である。後者は媒質中ではなく真空中で測定される。媒質中の対応する波長は v＝cn（λ0）、{\displaystyle v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},}λ＝λ0n（λ0）。{\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.}

電磁波の波長を引用する場合、その波長が他の媒質中の波長として具体的に指定されていない限り、通常は真空中の波長を指します。音響学では、波の存在に媒質が不可欠であるため、特定の媒質に対する波長値が示されます。

波長による光速の変化は分散と呼ばれ、プリズムによって光が成分色に分離されるというよく知られた現象もこの分散によって生じます。プリズム内の屈折率が波長によって変化することで分離が起こり、異なる波長はプリズム内を異なる速度で伝播し、異なる角度で屈折します。媒質内の光速が波長によってどのように変化するかを説明する数学的な関係は、分散関係と呼ばれます。

不均一なメディア

海岸に接近する海洋波の波頭ごとの様々な局所波長[ 10 ]

波長は、波が空間的に周期的でない場合でも有用な概念となり得る。例えば、図に示すように、海岸に接近する海洋波の場合、入射波は変化する局所的な波長で波打つ。この波長は、波高に対する海底深度に部分的に依存する。波の解析は、局所的な波長と局所的な水深の比較に基づいて行うことができる。[ 10 ]

非均一な媒体中を伝播する正弦波は、損失を伴う

時間的には正弦波であるが、位置によって特性が変化する媒質（不均質媒質）を伝播する波は、位置によって速度が異なり、結果として空間的には正弦波にならない場合があります。右の図はその一例です。波の速度が遅くなると、波長は短くなり、振幅は大きくなります。最大応答点を超えると、波長が短いため損失が大きく、波は消滅します。

このようなシステムの微分方程式の解析は、 WKB法（リウヴィル・グリーン法とも呼ばれる）を用いて近似的に行われることが多い。この方法では、局所波数を用いて空間位相を積分する。局所波数は、時間と空間の関数として解の「局所波長」を示すものと解釈できる。[ 11 ] [ 12 ] この方法では、システムを局所的に、局所特性と均一であるかのように扱う。特に、周波数に関連付けられた局所波速度は、対応する局所波数または波長を推定するために必要な唯一のものである。さらに、この方法では、波の エネルギー保存則など、方程式または物理システムの他の制約を満たすために、ゆっくりと変化する振幅を計算する。

クリスタル

原子の列上の波は、さまざまな波長に応じて解釈できます。

結晶固体中の波は連続的ではありません。なぜなら、それらは規則的な格子状に配置された離散粒子の振動から構成されているからです。図に示すように、同じ振動が様々な異なる波長を持つと考えられるため、エイリアシングが発生します。 [ 13 ]これらの波長を複数用いた記述は冗長であり、現象に適合する最も長い波長を選択するのが一般的です。結晶媒質中のあらゆる波を記述するのに十分な波長範囲は、ブリルアンゾーンに限定された波動ベクトルに対応します。[ 14 ]

固体における波長の不確定性は、エネルギーバンドや格子振動といった波動現象の解析において重要です。これは数学的には、離散的な間隔で サンプリングされた信号のエイリアシングと等価です。

より一般的な波形

浅瀬における近周期波

波長の概念は、正弦波、あるいはほぼ正弦波に近い波に最もよく適用されます。線形システムにおいて、正弦波は形状変化を伴わずに伝播する唯一の形状であり、位相変化と場合によっては振幅変化のみを伴うためです。[ 15 ]波長（あるいは波数、波数ベクトル）は、空間における波の特性であり、システムの物理的制約に従って、その周波数と関数的に関連付けられます。正弦波は最も単純な進行波解であり、重ね合わせによってより複雑な解を構築できます。

分散がなく均一な媒体という特殊なケースでは、正弦波以外の波は形状と速度が変化しないまま伝播します。特定の状況下では、非線形媒体でも形状が変化しない波が発生することがあります。例えば、図は浅瀬の海洋波を示しています。この波は正弦波よりも山が鋭く谷が平坦で、典型的なクノイダル波です。[ 16 ]クノイダル波は、 m次のヤコビ楕円関数で記述されることからその名が付けられ、通常cn ( x ; m )と表記される進行波です。[ 17 ]非線形表面波媒体​​の特性により、特定の形状の大きな振幅の海洋波は変化せずに伝播することがあります。[ 18 ]

周期的だが非正弦波形の波長。

進行波が空間的または時間的に繰り返される固定された形状を持つ場合、それは周期波です。[ 19 ]このような波は正弦波でなくても波長を持つと見なされることがあります。[ 20 ]図に示すように、波長は波形上の連続する対応する点の間で測定されます。

波束

伝播する波束

局所的な波束は、各波束が単位として伝播する波動の「バースト」であり、物理学の多くの分野で応用されています。波束には、波の全体的な振幅を表す包絡線があります。包絡線内における隣接するピークまたは谷間の距離は、局所波長と呼ばれることもあります。[ 21 ] [ 22 ]図に一例を示します。一般に、波束の包絡線は、構成する波とは異なる速度で移動します。[ 23 ]

フーリエ解析を用いると、波束を異なる波数や波長の正弦波の無限和（または積分）に解析することができる。[ 24 ]

ルイ・ド・ブロイは、特定の運動量pを持つすべての粒子は波長λ = h / p（hはプランク定数）を持つと仮定しました。この仮説は量子力学の基礎となりました。今日では、この波長はド・ブロイ波長と呼ばれています。例えば、CRTディスプレイの電子のド・ブロイ波長は約10 −13  m 。このような粒子の波動関数が空間全体に広がるのを防ぐため、ド・ブロイは空間に局在する粒子を表すために波束を用いることを提案した。 [ 25 ]波束の空間的広がりと、波束を構成する正弦波の波数の広がりは、粒子の位置と運動量の不確定性に対応し、その積はハイゼンベルクの不確定性原理によって制限される。[ 24 ]

干渉と回折

二重スリット干渉

2つのスリットを通過した光がスクリーン上に投影される光強度のパターン。右側のラベルは、2つのスリットからの経路長の差を表しており、ここではスリットは点光源として理想化されています。

正弦波が加算されると、それらの相対位相に応じて、互いに強め合ったり（建設的干渉）、打ち消したり（破壊的干渉）することがあります。この現象は干渉計で利用されています。簡単な例として、 Youngによる、光が2 つのスリットを通過する実験があります。[ 26 ] 図に示すように、光は 2 つのスリットを通過し、スクリーンに照射されます。スクリーン上のある位置までの光の経路は、2 つのスリットごとに異なり、経路がスクリーンとなす角度 θ に依存します。スクリーンがスリットから十分離れている場合（つまり、スリット間隔dに比べてsが大きい場合）、経路はほぼ平行になり、経路差は単にd sin θになります。したがって、建設的干渉の条件は次のとおりです。[ 27 ] ここで、 mは整数であり、破壊的干渉の場合は次の d罪⁡θ＝メートルλ 、{\displaystyle d\sin \theta =m\lambda \ ,}d罪⁡θ＝（メートル+1/2）λ 。{\displaystyle d\sin \theta =(m+1/2)\lambda \ .}

したがって、光の波長がわかっていれば、干渉縞または縞からスリット間隔を決定することができ、その逆も同様です。

複数スリットの場合、パターンは[ 28 ] で示される。 ここで、 qはスリットの数、gは格子定数である。最初の因子I 1は単一スリットの結果であり、スリットの数と間隔に依存する、より急速に変化する2番目の因子を変調する。図では、I 1は非常に大まかな近似値として1に設定されている。 私q＝私1罪2⁡（qπグラム罪⁡αλ）/罪2⁡（πグラム罪⁡αλ） 、{\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}

干渉の効果は光を再分配することであり、光に含まれるエネルギーは変化せず、光が現れる場所だけが変化します。[ 29 ]

単スリット回折

二重スリットの回折パターンには、単一スリットのエンベロープがあります。

二重スリット実験で用いた光路差と干渉の強め合いと弱め合いの概念は、スクリーン上で単一のスリットから入射した光を表示する場合にも当てはまります。この干渉の主な結果は、狭いスリットからの光がスクリーン上でより広い像へと広がることです。この波動エネルギーの分布は回折と呼ばれます。

光源とスクリーン間の距離に応じて、2 種類の回折が区別されます。距離が離れている場合はフラウンホーファー回折(遠距離場回折)、距離が近い場合はフレネル回折(近接場回折) です。

単一スリットの解析では、スリットの幅がゼロではないことを考慮し、開口部内の各点を光線への単一の寄与源とみなします（ホイヘンスのウェーブレット）。スクリーン上では、スリット内の各位置から到達する光は、たとえ非常にわずかな差であっても、異なる経路長を持ちます。その結果、干渉が発生します。

フラウンホーファー回折パターンにおいて、単一スリットから十分離れた位置、つまり小角近似の範囲内では、強度分布Sは位置xと2乗sinc関数の関係にある：[ 30 ] ここ で、 Lはスリット幅、Rはスリットから（スクリーン上の）パターンまでの距離、λは使用される光の波長である。関数Sは、 uが非ゼロの整数であるときにゼロとなり、波長に比例する間隔で xの値をとる。S（あなた）＝s私nc2（あなた）＝（罪⁡πあなたπあなた）2 ;{\displaystyle S(u)=\mathrm {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2}\ ;}あなた＝×LλR 、{\displaystyle u={\frac {xL}{\lambda R}}\ ,}

回折限界解像度

回折は、望遠鏡（電波望遠鏡を含む）や顕微鏡などの光学機器の分解能に対する基本的な制限である。[ 31 ] 円形開口部の場合、回折限界の像点はエアリーディスクとして知られている。単スリット回折式の距離xは半径距離rに置き換えられ、正弦は2J1に置き換えられる。ここでJ1は1次ベッセル関数である。[ 32 ]

顕微鏡を通して観察される物体の分解可能な空間サイズは、レイリーの基準、すなわちエアリーディスクの最初のヌルまでの半径に従って、使用される光の波長に比例し、開口数に依存するサイズに制限されます。[ 33 ] ここで、開口数は次のように定義されます。θは顕微鏡の対物レンズによって受け入れられる光線の円錐の半角です。 rあ私ry＝1.22λ2北あ 、{\displaystyle r_{Airy}=1.22{\frac {\lambda }{2\,\mathrm {NA} }}\ ,}NA=nsin⁡θ{\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \;}

円形開口部によって回折された像の中心の明るい部分の角度の大きさ（エアリーディスクの最初のヌルまでの半径）は、望遠鏡やカメラで最も一般的に使用される尺度であり、次の式で表される： [ 34 ] ここで、 λは結像のために焦点を合わせる波の波長、Dは結像システムの入射瞳径（同じ単位）、角度分解能δはラジアン単位である。 δ=1.22λD ,{\displaystyle \delta =1.22{\frac {\lambda }{D}}\ ,}

他の回折パターンと同様に、パターンは波長に比例して拡大縮小されるため、波長が短いほど解像度が高くなります。

サブ波長

「サブ波長」という用語は、物体が相互作用する波長よりも一つ以上の寸法が小さい物体を表すために使用されます。例えば、「サブ波長径光ファイバー」という用語は、その直径が伝播する光の波長よりも小さい 光ファイバーを意味します。

サブ波長粒子とは、相互作用する光の波長よりも小さい粒子です（レイリー散乱を参照）。サブ波長開口部とは、そこを伝播する光の波長よりも小さい穴のことです。このような構造は、フォトニクスの分野の中でも、特に異常光伝送やゼロモード導波路などに応用されています。

サブ波長は、サブ波長の物体に関係する現象を指す場合もあります。たとえば、サブ波長イメージングなどです。

角波長

波長、角波長、およびその他の波の特性の関係。

波長に関連する量として角波長（換算波長とも呼ばれる）があり、通常はƛ（「ラムダバー」またはバー付きラムダ）で表記される。これは通常の波長を2π倍に短縮したもの（ƛ = λ /2π ）に等しく、SI単位系はメートル/ラジアンである。これは角波数（k = 2π/ λ ）の逆数であり、ƛ = k -1 で示される。これは量子力学において、換算プランク定数（記号 ħ、hバー）および角周波数（記号 ω = 2π f ）と組み合わせて用いられることが多い。

参照

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