エントロピー渦度波

エントロピー渦度波（またはエントロピー渦波）は、気体によって運ばれる小振幅の波であり、その内部ではエントロピー、渦度、密度の擾乱が伝播するが、圧力の擾乱は伝播しない。 ^{[ 1 ]}エントロピー渦度波は、本質的には等圧、非圧縮、回転擾乱であり、エントロピー擾乱も伝播する。^{[ 2 ]}この波は、密度、圧力の擾乱が伝播するがエントロピー擾乱は伝播しない、よく知られた小振幅の波である音波とは異なる。小擾乱を音響、エントロピー、渦モードに分類する考え方は、レスリー・SG・コヴァスナイによって提唱された。^{[ 3 ] [ 4 ]}

エントロピー渦度波は超音速問題、特に衝撃波を伴う問題において広く見られる。これらの擾乱はガスによって運ばれるため、衝撃波の下流の流れによって対流されるが、上流方向（衝撃波の背後）に伝播することはできない。一方、音波は上流に伝播し、衝撃波に追いつくことができる。そのため、エントロピー渦度波は多くの高速流れを理解する上で有用であり、固体燃料ロケットやデトネーションなどの多くの応用において重要である。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

数学的記述

圧力、密度、エントロピー、音速が一様速度場である気体流を考える。ここで、これらの変数に小さな摂動を加え、記号 で表す。摂動された変数は小さな量であり、オイラー方程式の線形化形を満たす。これは^{[ 1 ]で与えられる。}${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \delta p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \delta p+\rho c^{2}\nabla \cdot \delta \mathbf {v} &=0,\\{\frac {\partial \delta \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\delta \mathbf {v} +{\frac {1}{\rho }}\nabla \delta p&=0,\\{\frac {\partial \delta s}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \delta s&=0,\end{aligned}}}$

ここで、連続方程式において、関係式（および のため）を用い、エントロピー方程式 を用いて簡略化しています。摂動を平面波形 とすると、線形化された方程式は代数方程式に簡約できます 。${\displaystyle \delta \rho =\delta p/c^{2}+(\partial \rho /\partial s)_{p}\delta s}$ ${\displaystyle \rho =\rho (p,s)}$ ${\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}}$ ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} -\omega )\delta p+\rho c^{2}\mathbf {k} \cdot \delta \mathbf {v} &=0,\\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} -\omega )\delta \mathbf {v} +\mathbf {k} \delta p/\rho &=0,\\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} -\omega )\delta s&=0.\end{aligned}}}$

最後の式は、エントロピーが変化しない音波に対応する か、 のいずれかであることを示しています。後者の条件は、摂動が気体によって運ばれることを示し、エントロピー渦波に対応します。この場合、 ${\displaystyle \delta s=0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {k} -\omega =0}$

${\displaystyle \omega =\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} ,\quad \delta s\neq 0,\quad \delta p=0,\quad \delta \rho =\left({\frac {\partial \rho }{\partial s}}\right)_{p}\delta s,\quad \mathbf {k} \cdot \delta \mathbf {v} =0,\quad \delta {\boldsymbol {\omega }}=i\mathbf {k} \times \delta \mathbf {v} \neq 0,}$

ここで、渦度摂動はエントロピー摂動と渦度摂動です。ご覧の通り、エントロピー摂動と渦度摂動は独立しており、渦度波のないエントロピー波、エントロピー波のある渦度波、あるいはエントロピー波と渦度波の両方が存在する可能性があります。 ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \delta \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \delta s}$ ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\omega }}}$

反応しない多成分ガスでは、この場合 （ここでは全化学種中のi番目の化学種の質量分率）となるため、組成摂動も生じる可能性がある。エントロピー渦度波では、 ${\displaystyle \rho =\rho (p,s,Y_{i})}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \delta \rho =\left({\frac {\partial \rho }{\partial s}}\right)_{p,Y_{i}}\delta s+\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \rho }{\partial Y_{i}}}\right)_{s,p,Y_{j}(j\neq i)}\delta Y_{i}.}$

参考文献

1. Landau, LD, & Lifshitz, EM (2013). 流体力学：Landau and Lifshitz: Course of Theoretical Physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier. 316ページ、セクション82.
2. Clavin, P., & Searby, G. (2016). 流れの中の燃焼波と前線：炎、衝撃波、デトネーション、アブレーション前線、そして星の爆発. Cambridge University Press. 262ページ.
3. Kovasznay, LS (1953). 超音速流における乱流. 航空科学ジャーナル, 20(10), 657-674.
4. Chu, BT, & Kovásznay, LS (1958). 粘性熱伝導性圧縮性気体における非線形相互作用. Journal of Fluid Mechanics, 3(5), 494-514.
5. Flandro, GA (1995). ロケット燃焼安定性に対する渦度の影響. Journal of Propulsion and Power, 11(4), 607-625.
6. Liñán Martínez, A., Kurdyumov, V., & Soler, J. (2004). 固体燃料ロケットの細長い燃焼室内の流れ場.
7. Clavin, P., & Williams, FA (2012). 気体デトネーションのダイナミクスに関する解析的研究. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 370(1960), 597-624.