ユークリッド群

数学において、ユークリッド群（ユークリッドぐん、英: Euclidean group ）とは、ユークリッド空間の（ユークリッド）等長変換の群、すなわち、任意の2点間のユークリッド距離を保存するユークリッド空間の変換（ユークリッド変換とも呼ばれる）の群である。この群は空間の次元nのみに依存し、一般にE( n )またはISO( n )（非同次特殊直交群）と表記される。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

ユークリッド群 E( n ) は、のすべての並進、回転、鏡映、およびそれらの任意の有限な組み合わせから成ります。ユークリッド群は空間自体の対称群と見なすことができ、その空間の任意の図形（部分集合）の対称群を含みます。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

ユークリッド等長変換は、図形の左右性を保つかどうかによって、直接ユークリッド等長変換と間接ユークリッド等長変換に分けられます。直接ユークリッド等長変換は、SE(n) および E + (n) と表記されることが多い特殊ユークリッド群と呼ばれる部分群を形成し、その元は剛体^運動またはユークリッド運動と呼ばれます。特殊ユークリッド等長変換は、並進と回転の任意の組み合わせで構成されますが、鏡映は含まれません。

これらのグループは、少なくとも次元 2 と 3 の場合、最も古く、最も研究されているグループの一つです。つまり、グループの概念が発明されるずっと前から、暗黙のうちに研究されてきたのです。

概要

次元性

E( n )の自由度はn ( n + 1)/2であり、 n = 2の場合は 3 、n = 3の場合は 6 となる。このうちn は並進対称性に起因し、残りのn ( n − 1)/2 は回転対称性に起因している。

直接等長変換と間接等長変換

直接等長変換（すなわち、カイラル部分集合の左右性を保存する等長変換）は、 E( n ) の部分群を構成し、特殊ユークリッド群と呼ばれ、通常 E ⁺ ( n ) または SE( n ) と表記される。これらには並進、回転、およびそれらの組み合わせが含まれる。恒等変換は含まれるが、鏡映変換は含まれない。

左右対称を反転する等長写像は、間接写像、あるいは反対写像と呼ばれます。任意の固定された間接等長写像R （例えば、ある超平面の鏡映写像）に対して、他のすべての間接等長写像は、 Rと何らかの直接等長写像との合成によって得られます。したがって、間接等長写像はE ⁺ ( n ) の剰余類であり、E ⁻ ( n )と表記されます。したがって、部分群 E ⁺ ( n ) はE( n ) において指数2 となります。

グループのトポロジー

ユークリッド空間の自然な位相は、ユークリッド群 E( n )の位相を示唆する。すなわち、()の等長写像列f _iが収束するとは、 ( ) の任意の点pに対して点列p _iが収束することと同値であると定義される。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

この定義から、関数が連続であるためには、関数 pの任意の点pに対して、 f _p ( t ) = ( f ( t ))( p )で定義される関数が連続であることが求められる。このような関数は、E( n )における「連続軌道」と呼ばれる。 ${\displaystyle f:[0,1]\to E(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{p}:[0,1]\to \mathbb {E} ^{n}}$

特殊ユークリッド群 SE( n ) = E ⁺ ( n ) は、この位相において連結であることがわかります。つまり、の任意の2つの直接等長写像AとBが与えられたとき、 E ⁺ ( n )においてf (0) = Aかつf (1) = Bとなるような連続した軌跡fが存在します。間接等長写像 E ⁻ ( n )についても同様です。一方、群 E( n ) 全体は連結ではありません。つまり、 E ⁺ ( n ) で始まり E ⁻ ( n )で終わる連続した軌跡は存在しません。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

E(3)における連続軌道は、3次元空間における剛体の物理的に可能な運動を時間経過とともに記述するため、古典力学において重要な役割を果たしている。f ( 0) は、物体の初期位置を記述する恒等変換Iで あると考えられる。その後の任意の時刻tにおける物体の位置と向きは、変換f (t)によって記述される。f (0) = IはE + (3)に含まれるため、それ以降の^{任意の時刻において}f ( t )についても同様である。そのため、直接ユークリッド等長変換は「剛体運動」とも呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$

リー構造

ユークリッド群は位相群であるだけでなく、リー群でもあるため、微積分の概念をこの設定にすぐに適用できます。

アフィン群との関係

ユークリッド群 E( n ) は、 n次元のアフィン群の部分群である。どちらの群も、ユークリッド並進群と原点保存変換群の半直積としての構造を持ち、この積構造はユークリッド群をアフィン群に含めることでも維持される。このことから、より一層、明示的な記法で元を表記する2つの方法が得られる。それは以下の通りである。

1. ペア( A、b ) （Aはn × n直交行列、b はサイズnの実数列ベクトル）で表す。または
2. アフィン群で説明したように、サイズn + 1の単一の正方行列によって表されます。

最初の表現の詳細については、次のセクションで説明します。

フェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムに倣えば、ユークリッド幾何学、すなわちユークリッド対称群の幾何学は、アフィン幾何学の特殊化であると読み取ることができます。すべてのアフィン定理が適用されます。ユークリッド幾何学の起源は距離の概念の定義を可能にし、そこから角度を導き出すことができます。

詳細な議論

サブグループ構造、行列およびベクトル表現

ユークリッド群はアフィン変換群のサブグループです。

E(n) は部分群として並進群 T( n ) と直交群O( n )を持つ。E( n )の任意の元は、並進とそれに続く直交変換（等長変換の線形部分）を一意に表す。ここでAは直交行列である。$${\displaystyle x\mapsto A(x+b)}$$

または、同じ直交変換の後に平行移動を行う。c = Ab$${\displaystyle x\mapsto Ax+c,}$$

T( n )はE( n )の正規部分群である。つまり、あらゆる並進移動tとあらゆる等長変換uに対して、合成は再び並進移動となる。 $${\displaystyle u^{-1}tu}$$

これらの事実を合わせると、E( n )はO( n )のT( n )による半直積であり、 と書き表される。言い換えれば、O( n )は（自然な形で）E( n )のT( n )による商群でもある。${\displaystyle {\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)}$ $${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)}$$

ここで、特殊直交群SO( n )は、指数2のO( n )の部分群である。したがって、E( n )には、同じく指数2の直等長写像からなる部分群E ⁺ ( n )が存在する。これらの場合、 Aの行列式は1である。

これらは、平行移動の後に何らかの反射が続くのではなく、平行移動の後に回転が続くものとして表現されます(次元 2 および 3 では、これらは、原点を含むと考えられる鏡面直線または平面でのよく知られた反射であり、3D では回転子反射です)。

この関係は一般的に次のように記述されます。 または、次のようにも記述されます。$${\displaystyle {\text{SO}}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)}$$ $${\displaystyle {\text{E}}^{+}(n)={\text{SO}}(n)\ltimes {\text{T}}(n).}$$

サブグループ

E( n )の部分群の種類:

有限群。

それらは常に不動点を持つ。3次元では、あらゆる点に対し、あらゆる方向において、有限群の中で（包含に関して）最大となる2つの点、すなわち O _hと I _{hが存在する。I h}群は、次のカテゴリを含む群の中でも最大となる。

任意の小さな移動、回転、組み合わせのない可算無限群

すなわち、任意の点について、等長写像の下にある像の集合は位相的に離散的である（例えば、1 ≤ m ≤ nに対して、独立方向へのm回の並進によって生成される群、あるいは有限点群）。これには格子が含まれる。より一般的な例としては、離散空間群が挙げられる。

任意に小さな移動、回転、または組み合わせを持つ可算無限群

この場合、等長写像の下にある像の集合が閉じていない点が存在します。そのような群の例としては、1次元では1と√2の1の平行移動によって生成される群、 2次元では原点を中心に1ラジアン回転することによって生成される群が挙げられます。

非可算群、等長写像の集合が閉じていない点が存在する群

(たとえば、2D では、すべての移動は一方向に行われ、すべての移動は有理距離によって別の方向に行われます)。

非可算群、すなわちすべての点に対して等長変換による像の集合が閉じている群

例えば：

• 原点を固定したすべての直接等長変換、またはより一般的には、ある点（3Dでは回転群と呼ばれる）
• 原点を固定した等長写像、またはより一般的には、ある点（直交群）
• すべての直接等長変換 E ⁺ ( n )
• ユークリッド群全体E( n )
• m次元部分空間におけるこれらの群の1つと、直交（ n − m）次元空間における離散等長変換群との組み合わせ
• m次元部分空間内のこれらのグループの1つと直交( n − m )次元空間内の別のグループを組み合わせる

3Dの組み合わせの例:

• 1つの固定軸を中心としたすべての回転
• 軸を通る平面および/または軸に垂直な平面での反射と組み合わせた同上
• 軸に沿った離散的な移動または軸に沿ったすべての等長変換と組み合わせた同上
• 平面上の離散点群、フリーズ群、または壁紙群と、垂直方向の任意の対称群を組み合わせたもの
• ある軸の周りの回転と軸に沿った比例移動を組み合わせたすべての等長変換。一般に、これは同じ軸 ( k ≥ 1 ) の周りのk倍回転等長変換と組み合わされます。等長変換の下の点の像の集合はk倍のらせんになります。さらに、垂直に交差する軸の周りの 2 倍の回転がある場合もあり、その場合はそのような軸のk倍のらせんになります。
• 任意の点群について：点群における等長変換と並進を組み合わせたすべての等長変換の群。たとえば、原点における反転によって生成される群の場合：すべての点におけるすべての並進と反転の群。これはR ^{3の一般化}二面体群Dih(R ³ ) です。

最大3次元の等長変換の概要

E(1)、E(2)、E(3)は自由度に応じて以下のように分類できる。

E(1)の等長変換

等長投影法の種類	自由度	方向を保存しますか?
身元	0	はい
翻訳	1	はい
点の反射	1	いいえ

E(2)の等長変換

等長投影法の種類	自由度	方向を保存しますか?
身元	0	はい
翻訳	2	はい
点を中心とした回転	3	はい
線の中の反射	2	いいえ
グライド反射	3	いいえ

E(3)の等長変換

等長投影法の種類	自由度	方向を保存しますか?
身元	0	はい
翻訳	3	はい
軸を中心とした回転	5	はい
スクリュー変位	6	はい
平面での反射	3	いいえ
滑空機の操縦	5	いいえ
不適切な回転	6	いいえ
点の反転	3	いいえ

シャスルの定理は、E ⁺ (3)の任意の要素がねじ変位であると主張する。

原点を固定した 3D 等長変換、空間群、反転も参照してください。

通勤等長曲線

いくつかの等長対では、構成は順序に依存しません。

• 2つの翻訳
• 同じ軸の周りの2つの回転またはねじ
• 平面に対する反射、その平面内での並進、平面に垂直な軸の周りの回転、または垂直な平面に対する反射
• 平面に対するすべり反射とその平面内での並進
• 点における反転と、点を固定したままの等長変換
• 軸の周りの180°回転と、その軸を通る平面での反射
• 軸の周りの 180° 回転と、垂直軸の周りの 180° 回転（両方に垂直な軸の周りの 180° 回転になります）
• 同じ平面に関して、同じ軸の周りの2つの回転反射
• 同じ平面に対する2つのすべり反射

共役類

任意の方向への指定された距離の移動は共役類を形成します。移動群はすべての距離のそれらの和集合です。

1D では、すべての反射は同じクラスになります。

2Dでは、どちらの方向でも同じ角度の回転は同じクラスに分類されます。同じ距離の移動を伴うグライド反射も同じクラスに分類されます。

3Dの場合:

• すべての点に関する反転は同じクラスにあります。
• 同じ角度による回転は同じクラスになります。
• 角度が同じで移動距離が同じであれば、軸の周りの回転とその軸に沿った移動を組み合わせたものは同じクラスになります。
• 平面上の反射も同じクラスである
• 平面内での反射と、その平面内での同じ距離の移動は、同じクラスになります。
• 軸の周りの 180° 以外の同じ角度の回転と、その軸に垂直な平面での反射は、同じクラスになります。

参照

• ユークリッド空間における等長群の不動点
• ユークリッド平面等長変換
• ポアンカレ群
• 座標回転と反射
• 起源を通じた反射
• 回転面

参考文献

• セダーバーグ、ジュディス・N. (2001). 『現代幾何学講座』 シュプリンガー. pp.  136–164 . ISBN 978-0-387-98972-3。
• ウィリアム・サーストン著『三次元幾何学と位相幾何学』第1巻、シルヴィオ・レヴィ編、プリンストン数学シリーズ、35、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、1997年、311頁 ISBN 0-691-08304-5