スペクトル密度

蛍光のスペクトル密度は、光波長の関数として、番号付きの矢印で示されているように、原子遷移でピークを示します

時間の経過に伴う音声波形 (左) には、幅広いオーディオ パワー スペクトル (右) があります。

信号処理において、連続時間信号のパワースペクトルは、その信号を構成する周波数成分への電力の分布を表します。 ^{[ 1 ]}フーリエ解析は、あらゆる物理信号を連続的な範囲にわたる周波数分布に分解できることを示しており、その電力の一部は離散的な周波数に集中することがあります。あらゆる種類の信号（ノイズを含む）のエネルギーまたは電力の統計的平均を、その周波数成分に基づいて分析したものをスペクトル密度と呼びます。 ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$

信号のエネルギーが有限の時間間隔に集中している場合、特にその総エネルギーが有限である場合は、エネルギースペクトル密度を計算できます。より一般的に使用されるのはパワースペクトル密度（PSD、または単にパワースペクトル）です。これは、全時間にわたって存在する信号、または（特に測定の継続時間に対して）十分に長い時間間隔にわたって存在する信号に適用されます。したがって、このような信号の全時間にわたる総エネルギーは一般に無限大であるため、PSD はスペクトルパワー分布を指します。スペクトル成分の合計または積分により、総パワー（物理プロセスの場合）または分散（統計プロセスの場合）が得られ、これはパーセバルの定理に従って時間領域で積分することによって得られるものと同じです。^{[ 1 ]}${\displaystyle x^{2}(t)}$

物理的プロセスのスペクトルには、その性質に関する重要な情報が含まれていることがよくあります。たとえば、楽器のピッチと音色は、スペクトル解析から判断できます。光源の色は、極めて高い周波数で振動する電磁波の電場のスペクトルによって決まります。このような時系列データからスペクトルを取得するには、フーリエ変換と、フーリエ解析に基づく一般化が必要です。多くの場合、時間領域は実際には直接捕捉されません。たとえば、分光器で光のスペクトルを取得するために分散プリズムが使用される場合や、特定の周波数に敏感な内耳の聴覚受容器への影響を通じて音が知覚される場合などです。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E(t)}$

しかし、本稿では、時系列が既知（少なくとも統計的な意味で）であるか、直接測定（例えば、コンピュータでマイクロフォンからサンプリングしたもの）されている状況に焦点を当てています。パワースペクトルは、統計的信号処理や確率過程の統計的研究、そして物理学や工学の他の多くの分野において重要です。典型的には、この過程は時間の関数ですが、同様に空間領域におけるデータを空間周波数の観点から分解して議論することもできます。^{[ 1 ]}

単位

物理学では、信号は電磁波、音波、または機構の振動などの波である場合があります。信号のパワースペクトル密度（PSD）は、信号の電力密度を周波数の関数として表します。パワースペクトル密度は通常、SI単位のワット/ヘルツ（W/Hz）で表されます。^{[ 2 ]}

例えば、信号が時間とともに変化する電圧のみで定義されている場合、与えられた電圧には特定の電力は関連付けられていません。この場合、「電力」は単に信号の2乗で計算されます。これは、信号が与えられたインピーダンスに実際に供給される電力に常に比例するからです。したがって、 PSDにはV ² ⋅Hz ⁻¹という単位が使用されるかもしれません。エネルギースペクトル密度（ESD）の単位はV ² ⋅s⋅Hz ⁻¹です。これは、エネルギーが電力と時間の積（例えばワット時）であるためです。^{[ 3 ]}

一般的な場合、PSDの単位は周波数単位あたりの変動単位の比となる。例えば、変位値（メートル単位）と時間（秒単位）の系列は、PSDの単位がm ^{2 /Hzとなる。ランダム}振動の解析では、加速度のPSDにg ₀ ² ⋅Hz ⁻¹の単位が用いられることがある。ここでg _{0 は}標準重力を表す。^{[ 4 ]}

数学的には、信号や独立変数に物理的な次元を割り当てる必要はありません。以下の議論では、x ( t )の意味は明確にせず、独立変数は時間であると仮定します。

片側関数と両側関数

PSDは、正の周波数のみの片側関数、または正と負の周波数の両方で振幅が半分の両側関数のいずれかです。ノイズPSDは、一般的に工学では片側関数、物理学では両側関数です。^{[ 5 ]}

定義

エネルギースペクトル密度

信号処理において、信号のエネルギーは次のように表されます。 全エネルギーが有限である（つまり、が二乗積分可能な関数である）と仮定すると、パーセバルの定理（またはプランシュレルの定理）を適用できます。^{[ 6 ]}つまり、 は 周波数（Hz）におけるのフーリエ変換 です。 ^{[ 7 ]}この定理は離散時間の場合にも成り立ちます。左辺の積分は信号のエネルギーであるため、の値は、周波数間隔における周波数における信号に含まれるエネルギーを表す、無限小周波数間隔を乗じた密度 関数として解釈できます${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\dt.}$$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$ $${\displaystyle {\hat {x}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt,}$$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f+df}$

したがって、エネルギースペクトル密度は次のように定義される^{[ 8 ]}${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)\triangleq \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}}$

式1

関数と自己相関はフーリエ変換のペアを形成し、これはウィーナー・ヒンチンの定理としても知られています（ピリオドグラムも参照）。 ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$

信号のエネルギー スペクトル密度を測定する物理的な例として、 がインピーダンスの伝送線路に沿って伝播する電気パルスの電位（ボルト 単位）を表し、伝送線路が整合抵抗器で終端されている（つまり、パルス エネルギーのすべてが抵抗器に送られ、反射して戻ってくるものはない）とします。オームの法則により、時間 に抵抗器に送られる電力は に等しいため、総エネルギーはパルスの持続時間にわたって時間について積分することによって求められます。周波数 におけるエネルギー スペクトル密度の値を求めるには、伝送線路と抵抗器の間に、対象周波数付近の狭い範囲の周波数（たとえば ）のみを通過させるバンドパス フィルタを挿入し、抵抗器で消費される総エネルギーを測定します。この場合、 におけるエネルギー スペクトル密度の値はと推定されます。この例では、電力の単位は V ² ⋅Ω ⁻¹、エネルギーの単位は V ² ⋅s⋅Ω ⁻¹  = Jであるため、エネルギースペクトル密度の推定値は J⋅Hz ⁻¹となります。多くの場合、除算の手順を省略し、エネルギースペクトル密度の単位を V ² ⋅s·Hz ⁻¹とするのが一般的です。 ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$ ${\displaystyle E(f)}$ ${\displaystyle E(f)/\Delta f}$ ${\displaystyle Z}$

この定義は、離散時間 でサンプリングされた信号のような、可算無限個の値を持つ離散信号に簡単に一般化されます。 ここでは の離散時間フーリエ変換です。  サンプリング間隔は、正しい物理単位を維持し、限界 において連続的なケースを復元するために必要です。しかし、数学では、間隔はしばしば1に設定され、一般性を犠牲にして結果を単純化します。（正規化周波数（単位）も参照） ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ $${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$ ${\displaystyle x_{n}.}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

パワースペクトル密度

測定された宇宙マイクロ波背景放射の温度異方性の角度スケールにおけるパワースペクトル。実線は比較のための理論モデルです

上記のエネルギースペクトル密度の定義は、エネルギーが1つの時間窓に集中する過渡現象（パルス状信号）に適しており、その場合、信号のフーリエ変換は一般に存在します。全時間にわたる連続信号の場合、定常プロセスに存在するパワースペクトル密度（PSD）を定義する必要があります。これは、前述の簡単な例のように、信号または時系列のパワーが周波数にわたってどのように分布するかを記述します。ここで、パワーは実際の物理的パワーを指す場合もありますが、抽象的な信号を扱う際の便宜上、信号の2乗値で表す場合が多いです。例えば、統計学者は関数の時間的（または他の独立変数）変動を研究しますが、電気信号（その他の物理的プロセス）との類推を用いて、物理的パワーが関与していない場合でも、これをパワースペクトルと呼ぶのが通例です。1オームの抵抗器の端子に印加する物理的な電圧源を作成すると、その抵抗器で消費される瞬間電力はワットで表されます。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x^{2}(t)}$

したがって、信号の全時間にわたる平均電力は次の時間平均で与えられます。ここで、周期は任意の時間を中心にしています。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

積分の範囲内の時間制限よりも信号自体の時間制限を扱う方が便利な場合は、平均電力は次のように表記することもできます 。 ここで、は任意の期間内で 1、それ以外の場合は 0 です。 $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt,}$$ ${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$ ${\displaystyle w_{T}(t)}$

がゼロでない場合、積分は少なくとも と同じ速さで無限大に増加しなければなりません。これが、発散積分である信号のエネルギーを使用できない理由です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$

信号の周波数成分を解析する際には、通常のフーリエ変換を計算したい場合もあるが、多くの関心信号に対しては、通常のフーリエ変換は正式には存在しない。^{[注 1 ]}しかし、適切な条件下では、フーリエ変換の特定の一般化（例えば、フーリエ・スティルチェス変換）は、依然としてパーセバルの定理に従う。したがって、 ここで積分関数はパワースペクトル密度を定義する：^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ $${\displaystyle P=\lim_{T\to\infty}{\frac{1}{T}}\int_{-\infty}^{\infty}|{\hat{x}}_{T}(f)|^{2}\,df,}$$

${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty}{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,}$

式2

畳み込み定理により、をと の時間畳み込みのフーリエ変換と見なすことができます。ここで、* は複素共役を表します。 ${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$ ${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$ ${\displaystyle x_{T}(t)}$

式2の下の主張を証明するために、目的に有用な の式を見つけます。実際に を証明します。まず であることに注目し、 とすると、 のときはとなり、その逆も同様です。 最後の行では、と がダミー変数として使用されています。つまり、 と は 、 ${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}}$ ${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z=-t}$ ${\displaystyle z\rightarrow -\infty}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt&=\int _{\infty }^{-\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}\left(-dz\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$

さて、式2の下の主張を、示した恒等式を用いて証明してみましょう。さらに、 を代入します。こうすることで、以下の式が得られます。 ここで、畳み込み定理は3行目から4行目に移る際に用いられています。 ${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

ここで、上記の時間畳み込みを周期で割り、極限を とすると、それは窓関数のない信号 の自己相関関数となり、 がエルゴード的である限りと表されます。これはほとんどの場合に当てはまりますが、すべての場合に当てはまるわけではありません。^{[注 2 ]}${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

のエルゴード性を仮定すると、パワースペクトル密度は自己相関関数のフーリエ変換として再び求められ、この性質はウィーナー・ヒンチンの定理として知られています。^{[ 11 ]}${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R_{xx}}$

${\displaystyle S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)}$

式3

多くの著者は、この関係式を用いて、我々が行ったような信号のフーリエ変換の代わりに、自己相関関数を用いてパワースペクトル密度を定義しています。^{[ 12 ]}

与えられた周波数帯域 における信号のパワー（ただし）は、周波数にわたって積分することで計算できます。 であるため、正の周波数帯域と負の周波数帯域に等しい量のパワーを帰属させることができ、以下の式で係数 2 が説明されます（このような些細な係数は、使用される規則によって異なります）。 より一般的には、同様の手法を用いて時間変動スペクトル密度を推定することができます。この場合、時間間隔は無限大に近づくのではなく有限です。これにより、 未満の周波数はサンプリングされず、 の整数倍ではない周波数における結果は独立ではないため、スペクトル範囲と解像度が低下します。このような時系列を1つだけ使用すると、推定されたパワースペクトルは非常に「ノイズが多い」ものになります。しかし、指定された時間枠にわたって評価された の実現値の統計的アンサンブルに対応する多数（または無限）の短期スペクトルを用いて（上記の式における）期待値を評価できれば、このノイズを軽減できます。 ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$ ${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$ ${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$ $${\displaystyle P_{\textsf {band-limited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle x(t)}$

エネルギースペクトル密度と同様に、パワースペクトル密度の定義は離散時間変数に一般化できます。前述と同様に、全測定期間 にわたって離散時間にサンプリングされた信号を持つのウィンドウを考えることができます。PSD の単一の推定値は有限数のサンプリングによって得られることに注意してください。前述と同様に、実際の PSD は(したがって) が無限大に近づき、期待値が正式に適用されたときに得られます。現実世界では、通常、有限測定 PSD を多数の試行にわたって平均化することで、個々の測定の基礎となる物理プロセスの理論的な PSD のより正確な推定値を取得します。この計算された PSD は、ピリオドグラムと呼ばれることもあります。このピリオドグラムは、推定値の数と平均化の時間間隔が無限大に近づくにつれて、真の PSD に収束します。^{[ 13 ]}${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle -N\leq n\leq N}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$ ${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$ $${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

2 つの信号の両方がパワー スペクトル密度を持つ場合、クロス スペクトル密度も同様に計算できます。PSD は自己相関に関連し、クロス スペクトル密度は相互相関に関連します。

パワースペクトル密度の特性

PSDの特性としては次のようなものがある: ^{[ 14 ]}

• パワー スペクトルは常に実数かつ非負であり、実数値プロセスのスペクトルも周波数の偶関数です。${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$
• 連続確率過程x(t)に対して、自己相関関数Rxx ( t )は逆フーリエ変換を用いてそのパワースペクトルSxx(f)から再構成することが_できる。
• パーセバルの定理を使用すると、すべての周波数にわたってパワースペクトルを積分することで、プロセスの 2番目のモーメント（平均パワー）を計算できます。$${\displaystyle P=\operatorname {E} (x^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df}$$
• パワースペクトル密度を持つ 実プロセスx ( t )に対して、 DCからfまでの周波数に含まれる平均帯域制限パワーを指定する積分スペクトルまたはパワースペクトル分布を次のように計算することができる。 ^{[ 15 ]}総パワー（信号分散）の前述の式はf → ∞ の特別な場合であることに注意すること 。${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle F(f)}$ $${\displaystyle F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'.}$$

クロスパワースペクトル密度

2つの信号 と が与えられ、それぞれがパワースペクトル密度 と を持つ場合、相互パワースペクトル密度（CPSD）または相互スペクトル密度（CSD ）を定義することができます。まず、このような合成信号の平均パワーを考えてみましょう。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

パワースペクトル密度の導出に使用したのと同じ表記法と方法を使用して、パーセバルの定理を利用して、次式を得ます。 ここでも、および の寄与はすでにわかっています。 であるため、相互電力への完全な寄与は、一般に、個別のCPSDの実部の 2 倍から生じます。 前と同様に、ここからこれらの積を時間畳み込みのフーリエ変換として書き直します。これを周期で割って極限まで取ると、相互相関関数のフーリエ変換になります。^{[ 16 ]} ここで、はとの相互相関であり、はとの相互相関です。 これを考慮すると、PSD は の CSD の特殊なケースであることがわかります。と が実信号 (電圧や電流など) である場合、それらのフーリエ変換および は通常、慣例により正の周波数に制限されます。したがって、一般的な信号処理では、完全なCPSD は、係数 2 でスケーリングされた CPSDの 1 つにすぎません。$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ ${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$ ${\displaystyle T\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$ $${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

離散信号x _nとy _nの場合、相互スペクトル密度と相互共分散の関係は $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

推定

スペクトル密度推定の目的は、一連の時間サンプルからランダム信号のスペクトル密度を推定することです。信号に関する既知の情報に応じて、推定手法はパラメトリックまたはノンパラメトリックなアプローチを採用することができ、時間領域解析または周波数領域解析に基づく場合もあります。例えば、一般的なパラメトリック手法では、観測値を自己回帰モデルに当てはめます。一般的なノンパラメトリック手法では、ピリオドグラムが用いられます。

スペクトル密度は通常、フーリエ変換法（ウェルチ法など）を使用して推定されますが、最大エントロピー法などの他の手法も使用できます。

関連概念

• 信号のスペクトル重心は、スペクトル密度関数の中点、つまり分布を2つの等しい部分に分割する周波数です
• スペクトルエッジ周波数（SEF）は通常「SEF x」と表記され、与えられた信号の全電力のxパーセントがその下に位置する周波数を表します。通常、 xは75～95の範囲です。これは特にEEGモニタリングでよく使われる指標で、SEFは麻酔の深さや睡眠段階を推定するために様々な用途で使われてきました。^{[ 17 ] [ 18 ]}
• スペクトルエンベロープとは、スペクトル密度の包絡線です。これは、ある時点（正確には、あるウィンドウ）を表します。例えば、分光計を用いたリモートセンシングでは、ある特徴のスペクトルエンベロープは、そのスペクトル特性の境界であり、対象となる各スペクトルバンドにおける輝度レベルの範囲によって定義されます。
• スペクトル密度は周波数の関数であり、時間の関数ではありません。しかし、長い信号の小さな窓のスペクトル密度を計算し、その窓に関連付けられた時間に対してプロットすることは可能です。このようなグラフはスペクトログラムと呼ばれます。これは、短時間フーリエ変換やウェーブレット変換といった多くのスペクトル解析手法の基礎となっています。
• 「スペクトル」とは、一般的には、前述のように、信号成分の周波数分布を表すパワースペクトル密度を指します。伝達関数（例えば、ボード線図、チャープ）の場合、完全な周波数応答は、パワー対周波数と位相対周波数の2つの部分、つまり位相スペクトル密度、位相スペクトル、またはスペクトル位相で表されます。あまり一般的ではありませんが、この2つの部分は伝達関数の実部と虚部である場合もあります。これは、周波数の関数として位相（または等価的に実部と虚部）を含む伝達関数の周波数応答と混同しないでください。時間領域インパルス応答は、一般に、位相部なしでパワースペクトル密度のみから一意に復元することはできません。これらもフーリエ変換のペアですが、（自己相関の場合のように）フーリエ変換を実数値にする必要があるような対称性はありません。超短パルス#スペクトル位相、位相雑音、群遅延を参照してください。${\displaystyle h(t)}$
• 振幅スペクトル密度（ASD ）という単位に遭遇することがあります。これはPSDの平方根です。電圧信号のASDの単位はV⋅Hz ^−1/2です。^{[ 19 ]}これはスペクトルの形状が比較的一定である場合に便利です。なぜなら、ASDの変動は信号の電圧レベル自体の変動に比例するからです。しかし、数学的にはPSDを使用する方が望ましいです。なぜなら、その場合にのみ、曲線の下の面積が全周波数または特定の帯域幅における実際の電力に関して意味を持つからです。

アプリケーション

時間とともに変化する変数として表せる信号はすべて、対応する周波数スペクトルを持ちます。これには、可視光(色として認識される)、音符 (ピッチとして認識される)、ラジオ/テレビ(周波数、または場合によっては波長で指定される)、さらには地球の定期的な自転など、よく知られた実体が含まれます。これらの信号を周波数スペクトルの形で見ると、受信信号の特定の側面や信号を生成する根本的なプロセスが明らかになります。場合によっては、周波数スペクトルに正弦波成分に対応する明確なピークが含まれることがあります。また、基本ピークの高調波に対応するピークが存在する場合もあり、これは単純な正弦波ではない周期信号を示しています。あるいは、連続スペクトルが、共鳴に対応して強く強調された狭い周波数間隔や、ノッチ フィルタによって生成されるようなほぼゼロの電力を含む周波数間隔を示すことがあります。

電気工学

横軸に周波数、縦軸に時間が増加するFMラジオ信号のスペクトログラム

信号のパワースペクトルの概念と利用は、電気工学、特に無線通信、レーダー、関連システム、そして受動リモートセンシング技術を含む電子通信システムにおいて基本的な概念です。スペクトラムアナライザと呼ばれる電子機器は、信号のパワースペクトルを観測・測定するために使用されます。

スペクトルアナライザは、入力信号の短時間フーリエ変換（STFT）の振幅を測定します。分析対象の信号が定常過程とみなせる場合、STFTはそのパワースペクトル密度の平滑化された推定値として適しています。

宇宙論

原始的ゆらぎ、つまり初期宇宙における密度の変化は、空間スケールの関数として変化の強さを示すパワースペクトルによって定量化されます

参照

• バイスペクトル
• 輝度温度
• ノイズの色
• 最小二乗スペクトル解析
• ノイズスペクトル密度
• スペクトル密度推定
• スペクトル効率
• スペクトル漏洩
• スペクトルパワー分布
• ホイットル尤度
• 窓関数

注記

1. 一部の著者、例えば（ Risken & Frank 1996 、p. 30）は、ディラックのデルタ関数を とした ときパワースペクトル密度 の定義を、正規化されていないフーリエ変換を用いて形式的に定式化しています 。このような形式的な記述は、直感を導くのに役立つ場合もありますが、常に細心の注意を払って使用する必要があります。$${\displaystyle \langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{\ast }(\omega ')\rangle =2\pi f(\omega )\delta (\omega -\omega '),}$$ ${\displaystyle \delta (\omega -\omega ')}$
2. ウィーナー・ヒンチンの定理は、より弱い仮説の下では、任意の広義の定常過程に対してこの式の意味を成す すなわち、 は絶対積分可能である必要はなく、存在するだけでよい。しかし、積分は通常どおりには解釈できなくなる。また、関数ではなく分布（統計的累積分布関数の意味ではなく、ローラン・シュワルツの意味で）を含むと解釈しても、式は意味を成す。 が連続である場合、ボホナーの定理を使用して、そのフーリエ変換が分布関数が F である（ただし、関数としてである必要はなく、確率密度を持つ必要もない）正の測度 として存在することを証明できる。${\displaystyle R_{xx}}$ ${\displaystyle R_{xx}}$

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参考文献

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外部リンク

• パワースペクトル密度のMATLABスクリプト