多次元スペクトル推定

多次元スペクトル推定は、通常 1 次元信号用に定式化されるスペクトル推定を、波数ベクトルなどの多次元信号または多変量データに一般化したものです。

モチベーション

多次元スペクトル推定は、医療、航空宇宙、ソナー、レーダー、バイオインフォマティクス、地球物理学といった分野への応用により、広く普及しています。近年、有限パラメータを持つモデルを設計し、多次元信号のパワースペクトルを推定する手法が数多く提案されています。この記事では、多次元信号のパワースペクトルを推定する手法の基礎について考察します。

アプリケーション

多次元信号のスペクトル推定には、信号をローパス、ハイパス、通過帯域、阻止帯域に分類するなど、多くの応用があります。また、音声・動画信号の圧縮・符号化、レーダーにおけるビームフォーミングと方向探知、[ 1 ]地震データの推定・処理、センサー・アンテナアレイ、振動解析にも利用されています。電波天文学の分野では、[ 1 ]望遠鏡アレイの出力を同期させるために利用されています。

基本概念

1次元の場合、信号は振幅と時間スケールによって特徴付けられます。スペクトル推定に関わる基本概念には、自己相関、多次元フーリエ変換、平均二乗誤差、エントロピーなどがあります。[ 2 ]多次元信号の場合、パワースペクトルを推定するために、フィルターバンクを使用するか、ランダム過程のパラメータを推定するかという2つの主要なアプローチがあります。

スペクトル推定技術

方法

古典的推定理論

古典的な推定

これは、1次元または多次元信号のパワースペクトルを正確に計算できないため、そのパワースペクトルを推定する手法です。与えられたものは、広義の定常ランダムプロセスのサンプルとその2次統計量（測定値）です。推定値は、ランダム信号の自己相関関数の多次元フーリエ変換を適用することで得られます。推定は、測定値ri(n)の多次元フーリエ変換の振幅を2乗して得られるピリオドグラムを計算することから始まります。ピリオドグラムから得られるスペクトル推定値は、連続するピリオドグラムサンプルの振幅または波数に大きな分散があります。この問題は、古典的な推定理論を構成する手法を使用して解決されます。これらは次のとおりです。

  1. バートレットは、スペクトル推定値を平均化してパワースペクトルを計算する方法を提案した。測定値を時間的に等間隔のセグメントに分割し、平均をとる。これにより、より正確な推定値が得られる。[ 3 ]
  2. 受信器/出力の波数とインデックスに基づいてセグメントを分割することができます。これにより、スペクトル推定値が向上し、連続するセグメント間の分散が減少します。
  3. ウェルチは、データウィンドウ関数を用いて測定値を分割し、ピリオドグラムを計算し、それらを平均してスペクトル推定値を得、高速フーリエ変換（FFT）を用いてパワースペクトルを計算することを提案した。これにより計算速度が向上する。[ 4 ]
  4. 平滑化ウィンドウは、ピリオドグラムに平滑化スペクトルを乗算することで推定値を平滑化するのに役立ちます。平滑化スペクトルのメインローブが広いほど、周波数分解能は低下しますが、より滑らかになります。[ 2 ]
P（K×、わ）＝∫−∞∞∫−∞∞φss（×、t）e−j（わt−け′×）d×dt{\displaystyle P\left(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\,e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}
φss（×、t）＝s[（ξ、τ）s∗（ξ−×、τ−t）]{\displaystyle \varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s^{*}\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]}[ 2 ]
PB（わ）＝1詳細北∑ℓ|∑n×（n+M私）e−j（わ′n）|2{\displaystyle P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\sum _{\ell }\left|\sum _{n}x\left(n+MI\right)e^{-j\left(w'n\right)}\right|^{2}} バートレット事件[ 2 ]
PM（わ）＝1詳細北|∑nグラム（n）×（n）e−j（わ′n）|2{\displaystyle P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\left|\sum _{n}g(n)\,x(n)\,e^{-j(w'n)}\right|^{2}}修正ピリオドグラム[ 2 ]
PW（わ）＝1詳細北∑l|∑nグラム（n）×（n+M私）e−j（わ′n）|2{\displaystyle P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{\det N}}\sum _{l}\left|\sum _{n}g\left(n\right)\,x\left(n+MI\right)\,e^{-j\left(w'n\right)}\right|^{2}}ウェルチ事件[ 2 ]
利点
フーリエ変換を伴う簡単な手法。
制限事項
  1. 上記の方法のいくつかはシーケンスを時間的にサンプリングするため、周波数解像度が低下します (エイリアシング)。
  2. 広義の定常ランダムプロセスのインスタンス数が少ないため、推定値を正確に計算することが困難になります。

高解像度スペクトル推定

この手法は、従来の推定理論よりも高い周波数分解能を持つ、より優れた推定値を提供します。高解像度推定法では、特定の波数のみを許容し、他の波数を抑制した可変波数ウィンドウを使用します。Capon [ 5 ]の研究は、波数-周波数成分を用いた推定法を確立するのに役立ちました。これにより、より高い周波数分解能の推定値が得られます。使用される最適化ツールが最尤法と似ているため、最尤法と類似しています。

予測
センサーから得られる出力は、平均がゼロの広義の定常ランダムプロセスである。[ 6 ] [ 2 ]

PC（Ko×、わo）＝E[|y（私、n）|2]＝1∑α＝0北−1∑β＝0M−1∑ℓ＝0北−1∑メートル＝0M−1ψe（ℓ、α;メートル、β）{\displaystyle {\begin{aligned}P_{C}{\left(K_{o}x,w_{o}\right)}&=E\left[\left|y{\left(i,n\right)}\right|^{2}\right]\\[1ex]&={\frac {1}{\sum \limits _{\alpha =0}^{N-1}\sum \limits _{\beta =0}^{M-1}\sum \limits _{\ell =0}^{N-1}\sum \limits _{m=0}^{M-1}\psi _{e}{\left(\ell ,\alpha ;m,\beta \right)}}}\end{aligned}}}

利点
  1. 他の既存の方法と比較して、より高い周波数解像度。
  2. 固定波数ウィンドウを使用する従来の方法と比較して、可変波数ウィンドウを使用しているため、周波数推定が向上します。
  3. FFT を使用するので計算速度が速くなります。

分離型スペクトル推定器

このタイプの推定では、多次元信号を分離可能な関数として選択します。[ 1 ]この特性により、複数の次元で行われるフーリエ解析を連続的に観察することができます。振幅の二乗演算における時間遅延は、各次元におけるフーリエ変換の処理を容易にします。離散時間多次元フーリエ変換は各次元に沿って適用され、最後に最大エントロピー推定値が適用され、振幅が二乗されます。

利点
  1. 信号が分離可能であるため、フーリエ解析は柔軟です。
  2. 他のスペクトル推定器とは異なり、各次元の位相成分を保持します。

全極スペクトルモデリング

この手法は、自己回帰スペクトル推定と呼ばれる1次元手法の拡張です。自己回帰モデルでは、出力変数はそれ自身の過去の値に線形に依存します。このモデルでは、パワースペクトルの推定は、特定の領域で既知であると仮定されたランダム過程の自己相関係数から係数を推定することに簡略化されます。ランダム過程のパワースペクトルは次のように与えられます。[ 2 ]Pあ（け×、わ）{\displaystyle P_{A}(k_{x},w)}r（私、n）{\displaystyle r(i,n)}

Pあ（け×、わ）＝Pe（け×、わ）|11−あ（け×、わ）|2{\displaystyle P_{A}\left(k_{x},w\right)=P_{e}\left(k_{x},w\right)\left|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}\right|^{2}}

上記はランダムプロセスのパワースペクトルであり、 [ 2 ]を得るための伝達関数を持つシステムへの入力として与えられ、次の式で表される。 Pe（け×、わ）{\displaystyle P_{e}\left(k_{x},w\right)}e（私、n）{\displaystyle e(i,n)}|11−あ（け×、わ）|{\displaystyle \left|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}\right|}r(i,n){\displaystyle r(i,n)}A(kx,w){\displaystyle A\left(k_{x},w\right)}

A(kx,w)=∑p=oN−1∑q=0M−1a(p,q)exp⁡(jkxp−jwq){\displaystyle A{\left(k_{x},w\right)}=\sum _{p=o}^{N-1}\sum _{q=0}^{M-1}a(p,q)\exp(jk_{x}p-jwq)}

したがって、検出力推定は、ランダム過程の自己相関関数から係数を推定することに帰着します。係数は、実際のランダム信号とランダム信号の予測値との間の平均二乗誤差を最小化する線形予測定式を用いて推定することもできます。 a(p,q){\displaystyle a\left(p,q\right)}φ(ℓ,m){\displaystyle \varphi \left(\ell ,m\right)}

制限事項
  1. 1次元では、自己相関のマッチング特性により、未知数の数が同じ線形方程式の数が同じになります。しかし、多次元[ 2 ]では、パラメータセットに自己相関係数をマッチングさせるのに十分な自由度が含まれていないため、これは不可能かもしれません。
  2. 係数の配列は特定の領域に制限されていると仮定します。
  3. 線形予測の1次元定式化では、逆フィルタは最小位相特性を持ち、フィルタが安定であることが証明されます。ただし、多次元の場合は必ずしもそうとは限りません。
  4. 1 次元定式化では自己相関行列は正定値ですが、多次元の場合は正定値の拡張が存在しない可能性があります。

最大エントロピースペクトル推定

最大エントロピースペクトル推定。

このスペクトル推定法では、逆フーリエ変換が既知の自己相関係数と一致するスペクトル推定値を求めます。スペクトル推定値のエントロピーを最大化し、自己相関係数と一致させます。[ 2 ]エントロピー方程式は次のように与えられます。[ 1 ] [ 2 ]

H=14π2∫−ππ∫−ππlog⁡P(kx,w)dkxdw{\displaystyle H={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }\log P{\left(k_{x},w\right)}\,dk_{x}\,dw}

パワースペクトルは、既知の自己相関係数と未知の自己相関係数の和として表すことができます。制約のない係数の値を調整することで、エントロピーを最大化できます。 P(k,w){\displaystyle P\left(k,w\right)}

最大エントロピーは次の式で表される: [ 2 ] [ 1 ]

PME=1∑ℓ,mλ(ℓ,m)exp⁡(jkxℓ−jwm){\displaystyle P_{ME}={\frac {1}{\sum _{\ell ,m}\lambda {\left(\ell ,m\right)}\exp \left(jk_{x}\ell -jwm\right)}}}

λ (ℓ, m )は既知の自己相関係数が一致するように選択する必要があります。

制限事項
  1. 制約付き最適化であるが、ラグランジュ乗数法を用いることで克服できる。[ 2 ]
  2. 全極スペクトル推定は、1次元の場合とは異なり、多次元の場合、最大エントロピーの解にはなりません。これは、全極スペクトルモデルが、既知の自己相関係数と一致するのに十分な自由度を持たないためです。
利点
正確な一致は必要ないため、既知の自己相関係数の測定または推定における誤差を考慮に入れることができます。
デメリット
必要な計算が多すぎます。

改良最大尤度法（IMLM）

これは比較的新しいアプローチです。改良最大尤度法（IMLM）は、2つのMLM（最大尤度）推定量を組み合わせたものです。[ 1 ] [ 7 ] 2次元配列AとBの波数k（空間における配列の向きに関する情報を与える）における改良最大尤度は、次の関係式で与えられます。[ 7 ] [ 8 ]

IMLM(k:A,B)=11MLM(k:A)−1MLM(k:B){\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}}

配列BはAのサブセットです。したがって、A>Bと仮定した場合、AのMLMとBのMLMに差がある場合、その周波数における推定スペクトルエネルギーの大部分は、他の周波数からの電力漏洩によるものである可能性があります。AのMLMのデエンファシスにより、スペクトル推定値が改善される可能性があります。これは、BのMLAとAのMLAの差が大きいほど小さくなる重み関数を乗算することで実現されます。

IMLM(k:A,B)=MLM(k:A)MLM(k:B)MLM(k:B)−MLM(k:A){\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {MLM\left(k:A\right)MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}IMLM(k:A,B)=MLM(k:A)WAB(k){\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)}

ここで重み関数は次式で与えられる：[ 7 ]WAB(k){\displaystyle W_{AB}\left(k\right)}

WAB(k)=MLM(k:B)MLM(k:B)−MLM(k:A){\displaystyle W_{AB}\left(k\right)={\frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}

利点
  1. MLMまたはMEM（最大エントロピー法/最大エントロピーの原理）の代替として使用されます。
  2. IMLMはMLMよりも解像度が高く、MEMに比べて計算回数が少ない[ 7 ] [ 8 ]

参考文献

  1. ^ a b c d e f James.H.McClellan (1982). 「多次元スペクトル推定」. Proceedings of the IEEE . 70 (9): 1029– 1039. Bibcode : 1982IEEEP..70.1029M . doi : 10.1109/PROC.1982.12431 .
  2. ^ a b c d e f g h i j k l m n Dan E. Dudgeon、Russell M. Mersereau、「多次元デジタル信号処理」、Prentice-Hall信号処理シリーズ、ISBN 0136049591、pp.315-338、1983年。
  3. ^バートレット、MS、「方法と応用に関する特別な言及を伴う確率過程入門」、CUPアーカイブ、1978年、 ISBN 0521215854、土井：10.1109/ATC.2010.5672752
  4. ^ JD Welch (1967). 「パワースペクトルの推定における高速フーリエ変換の利用：短い修正ピリオドグラムの時間平均に基づく手法」IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics . 15 (2): 70– 73. Bibcode : 1967ITAE...15...70W . doi : 10.1109/TAU.1967.1161901 .
  5. ^ J.Capon (1969). 「高解像度周波数波数スペクトル解析」. Proceedings of the IEEE . 57 (8): 1408–1418 . Bibcode : 1969IEEEP..57.1 ​​408C . doi : 10.1109/PROC.1969.7278 .
  6. ^ Chrysostomos L. Nikias; Mysore R. Raghuveer (1983). 「高解像度かつ堅牢な多次元スペクトル推定アルゴリズムの新しいクラス」. ICASSP '83. IEEE 国際音響・音声・信号処理会議. 第8巻. pp.  859– 862. doi : 10.1109/ICASSP.1983.1172045 .
  7. ^ a b c d Dowla FU; Lim JS (1985). 「改良最尤法の分解能特性」.改良最尤法の分解能特性. 第10巻. pp.  820– 822. doi : 10.1109/ICASSP.1985.1168305 .
  8. ^ a b Dowla FU; Lim JS (1985). 「高解像度2次元スペクトル推定のための新しいアルゴリズム」. Proceedings of the IEEE . 71 (2): 284– 285. doi : 10.1109/PROC.1983.12576 .
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