球状編組群

数学において、球面組紐群（せいめんけいぐん、英: spherical braid group）またはフルヴィッツ組紐群（フルヴィッツぶらさきぐん）は、 n本のストランド上の組紐群である。通常の組紐群と比較すると、ストランドが球面上にあることから生じる追加の群関係を持つ。また、この群は逆ガロア問題とも関係がある。^[1]

意味

n本のストランド上の球面組紐群は、球面の配置空間の基本群として定義されます。 ^{[2] [3]} 球面組紐群は、次の関係を持つ生成元によって表現されます。 ^[4]${\displaystyle SB_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}(S^{2})}$ $${\displaystyle B_{n}(S^{2})=\pi _{1}(\mathrm {Conf} _{n}(S^{2})).}$$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n-1}}$

• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$ のために${\displaystyle |i-j|\geq 2}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ （ヤン・バクスター方程式）${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$
• ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{n-1}\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\cdots \sigma _{1}=1}$

最後の関係により、このグループは通常の組紐グループと区別されます。

参考文献

1. 伊原康隆 (2007)、ピエール・カルティエ、ニコラス・M・カッツ、ユリ・I・マニン、リュック・イリュージー (編)、「純粋球面組紐群の自己同型とガロア表現」、アレクサンダー・グロタンディーク生誕60周年を記念した論文集、モダン・バークハウザー・クラシックス、ボストン、マサチューセッツ州：バークハウザー、pp.  353– 373、doi :10.1007/978-0-8176-4575-5_8、ISBN 978-0-8176-4575-5、 2023年11月24日閲覧
2. Chen, Lei; Salter, Nick (2020). 「リーマン球面上の点配置の断面問題」.代数的および幾何学的位相学. 20 (6): 3047– 3082. arXiv : 1807.10171 . doi :10.2140/agt.2020.20.3047. S2CID  119669926.
3. ファデル, エドワード; バスカーク, ジェームズ・ヴァン (1962). 「E2とS2の組紐群」デューク数学ジャーナル. 29 (2): 243– 257. doi :10.1215/S0012-7094-62-02925-3.
4. クラスン, エリック・P.; コペリオヴィッチ, ヤアコフ (2004). 「ハーウィッツ空間と組紐群の表現」ロッキーマウンテン数学ジャーナル. 34 (3): 1005– 1030. doi : 10.1216/rmjm/1181069840 .