球面平均

関数の球面平均(赤で表示) は、特定の点 (下、青)の周りの特定の半径の「球」上の値 (上、青) の平均です。${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$

数学において、ある点の周りの関数の球面平均とは、その点を中心とする指定された半径の球面上のその関数のすべての値の平均です。

意味

ユークリッド空間R ⁿの開集合 Uと、U上に実数値または複素数値で定義された連続関数uを考える。x をUの点とし、r > 0 で中心x、半径rの閉球B ( x ,  r )がUに含まれる とする。xを中心とする半径rの球面上の球面平均は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}(r)}}\int \limits _{\partial B(x,r)}\!u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$

ここで、∂B ( x ,  r )はB ( x ,  r )の境界を形成する( n  −1)球面であり、dSは球面測度に関する積分を表し、ωn ₋₁ ( r )はこの( _n − 1 )球面の「表面積」である 。

同様に球面平均は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int \limits _{\|y\|=1}\!u(x+ry)\,\mathrm {d} S(y)}$

ここでωn _{− 1}は 半径1の ( n −1)球の面積である。

球面平均は次のように表されることが多い。

${\displaystyle \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$

球面平均は、リーマン多様体に対しても自然な方法で定義されます。

特性と用途

• の連続性から、関数は連続であり、その極限は${\displaystyle u}$ $${\displaystyle r\to \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle u(x).}$
• 球面平均は、奇数次元空間における波動方程式 のコーシー問題を解くために用いることができます。この結果はキルヒホッフの公式として知られ、球面平均を用いて（奇数 に対して） の波動方程式を の波動方程式に簡約し、さらにダランベールの公式を用いることで導出されます。この式自体は波動方程式に関する記事で示されています。${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=c^{2}\,\Delta u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• が の開集合であり、が で定義されたC ²関数である場合、 が調和関数である場合、かつ のすべての に対して であり、かつ の閉球が1 つに含まれるすべての に対して である場合に限ります。この結果は、調和関数の最大値原理を証明するために使用できます。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle u(x)=\int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$$

参考文献

• エヴァンス、ローレンス・C. (1998).偏微分方程式. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-0772-9。

• Sabelfeld, KK; Shalimova, IA (1997).偏微分方程式の球面平均. VSP. ISBN 978-90-6764-211-8。
• 砂田敏一(1981). 「リーマン多様体における球面平均と測地線連鎖」. Trans. Am. Math. Soc . 267 (2): 483– 501. doi : 10.1090/S0002-9947-1981-0626485-6 .

外部リンク

• PlanetMathの球面平均。