スフェリウム

「球状体」モデルは、半径 の球の表面に捕捉された2つの電子から構成されます。ベリーとその共同研究者^{[ 1 ]}は、このモデルを用いて弱相関系と強相関系の両方を理解し、フント則の「交代」バージョンを提案しました。ザイドルは、密度汎関数理論(DFT)の文脈でこの系を研究し、断熱接続における新しい相関汎関数を開発しました^{[ 2 ]}。${\displaystyle R}$

定義と解決策

原子単位での 電子ハミルトニアンは

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}}$

ここで、は電子間距離である。一重項S状態の場合、波動関数はシュレーディンガー方程式を満たすことが示される^{[ 3 ]。}${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S(u)}$

${\displaystyle \left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}}+\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac {1}{u}}S(u)=ES(u)}$

無次元変数 を導入することで、これはに特異点を持つホイン方程式となる。ホイン方程式の既知の解に基づいて、次のような形の波動関数を求める。 ${\displaystyle x=u/2R}$ ${\displaystyle x=-1,0,+1}$

${\displaystyle S(u)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\,u^{k}}$

これを前の式に代入すると、再帰関係が得られる。

${\displaystyle s_{k+2}={\frac {s_{k+1}+\left[k(k+2){\frac {1}{4R^{2}}}-E\right]s_{k}}{(k+2)^{2}}}}$

初期値 とすると、Katoカスプ条件は次のようになる 。${\displaystyle s_{0}=s_{1}=1}$

${\displaystyle {\frac {S'(0)}{S(0)}}=1}$ 。

波動関数は多項式に帰着する。

${\displaystyle S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{k}}$

（ただし、との間の根の数は）であり、 の場合に限ります。したがって、エネルギーは多項式方程式（ただし）の根であり、対応する半径は前の式から求められ、 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2R}$ ${\displaystyle s_{n+1}=s_{n+2}=0}$ ${\displaystyle E_{n,m}}$ ${\displaystyle s_{n+1}=0}$ ${\displaystyle \deg s_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor }$ ${\displaystyle R_{n,m}}$

${\displaystyle R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)}$

${\displaystyle S_{n,m}(u)}$ は、半径 に対する一重項S対称性の - 番目の励起状態の正確な波動関数です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R_{n,m}}$

LoosとGillの研究^{[ 3 ]}から、最も低い一重項S状態のHFエネルギーは であることが分かっています。したがって、 の正確な相関エネルギーは であり、これはヘリウム様イオン（ ）やフックの原子（ ）の極限相関エネルギーよりもはるかに大きいことがわかります。これは、球面上の電子相関は、3次元物理空間における電子相関とは質的に異なるという見解を裏付けています。 ${\displaystyle E_{\rm {HF}}=1/R}$ ${\displaystyle R={\sqrt {3}}/2}$ ${\displaystyle E_{\rm {corr}}=1-2/{\sqrt {3}}\approx -0.1547}$ ${\displaystyle -0.0467}$ ${\displaystyle -0.0497}$

3次元球面上の球面

LoosとGill ^{[ 4 ]}は、クーロン反発する3次元球に閉じ込められた2つの電子の場合を考察した。彼らは基底状態エネルギーを( )と報告している。 ${\displaystyle -.0476}$

参照

• 解析解を持つ量子力学系のリスト

参考文献

1. エズラ, GS; ベリー, RS (1982)、「球面上の2粒子の相関」、Physical Review A、25 (3): 1513– 1527、Bibcode : 1982PhRvA..25.1513E、doi : 10.1103/PhysRevA.25.1513
2. Seidl, M. (2007)、「密度汎関数理論における断熱接続：球面上の2つの電子」、Physical Review A、75 (6) 062506、Bibcode：2007PhRvA..75a2506P、doi：10.1103/PhysRevA.75.062506
3. Loos, P.-F.; Gill, PMW (2009)、「球面上の2つの電子の基底状態」、Physical Review A、79 (6) 062517、arXiv : 1002.3398、Bibcode : 2009PhRvA..79f2517L、doi : 10.1103/PhysRevA.79.062517、S2CID 59364477 
4. Loos, P.-F.; Gill, PMW (2010), 「球状体の励起状態」, Molecular Physics , 108 ( 19– 20): 2527– 2532, arXiv : 1004.3641 , Bibcode : 2010MolPh.108.2527L , doi : 10.1080/00268976.2010.508472 , S2CID 43949268 

さらに読む

• Loos, P.-F.; Gill, PMW (2009)、「超球面上の2つの電子：準正確に解けるモデル」、Physical Review Letters、103 (12) 123008、arXiv : 1002.3400、Bibcode : 2009PhRvL.103l3008L、doi : 10.1103/physrevlett.103.123008、PMID  19792435、S2CID  11611242