スピッツァーの公式

確率論において、スピッツァーの公式またはスピッツァー恒等式は、確率変数の集合の部分和と最大部分和の結合分布を与えます。この結果は、1956年にフランク・スピッツァーによって初めて発表されました。 ^{[ 1 ]}この公式は「独立確率変数の和の理論における足がかり」と見なされています。^{[ 2 ]}

定理の記述

を独立かつ同一分布に従う確率変数とし、部分和を定義する。を定義する。すると^{[ 3 ]}${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}={\text{max}}(0,S_{1},S_{2},...S_{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\phi _{n}(\alpha ,\beta )t^{n}=\exp \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\left(u_{n}(\alpha )+v_{n}(\beta )-1\right)\right]}$

ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}(\alpha ,\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i(\alpha R_{n}+\beta (R_{n}-S_{n})\right])\\u_{n}(\alpha )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\alpha S_{n}^{+}\right])\\v_{n}(\beta )&=\operatorname {E} (\exp \left[i\beta S_{n}^{-}\right])\end{aligned}}}$

そしてS ^±は (| S | ±  S )/2 を表します

証明

^{スピッツァー[ 1 ]}とウェンデル^{[ 3 ]}による2つの証明が知られています

参考文献

1. Spitzer, F. (1956). 「組合せ論的補題と確率論への応用」アメリカ数学会誌. 82 (2): 323–339 . doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079851- X
2. Ebrahimi-Fard, K.; Guo, L.; Kreimer, D. (2004). 「Spitzerの恒等式とpQFTにおける代数的バーコフ分解」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (45): 11037. arXiv : hep-th/0407082 . Bibcode : 2004JPhA...3711037E . doi : 10.1088/0305-4470/37/45/020 .
3. ウェンデル, ジェームズ・G. (1958). 「スピッツァーの公式：簡単な証明」 .アメリカ数学会誌. 9 (6): 905–908 . doi : 10.1090/S0002-9939-1958-0103531-2 . MR 0103531 .