安定性（確率）
確率変数とそれ自身との線形結合が同じ分布に従う場合

確率論において、確率変数の安定性とは、変数の2つの独立したコピーの線形結合が、位置パラメータと尺度パラメータを除いて、同じ分布に従うという性質のことである 。[1]この性質を持つ確率変数の分布は「安定分布」と呼ばれる。確率論における結果は、この性質を持つすべての可能な分布が4パラメータの分布族のメンバーであることを示す。安定分布に関する記事では、この族とこれらの分布のいくつかの性質について説明している。

確率論における「安定性」と安定した確率分布族の重要性は、それらが、独立かつ同一に分布するランダム変数の適切に標準化された合計に対する「アトラクター」であるという点にあります。

安定分布の重要な特殊例としては、正規分布、コーシー分布、レヴィ分布があります。詳細については、安定分布を参照してください。

定義

安定性とは何かについては、いくつかの基本的な定義があります。いくつかは確率変数の和に基づいており、他のいくつかは特性関数の性質に基づいています

分布関数による定義

フェラー[2]は次のような基本的な定義を行っている。確率変数Xが安定（安定分布を持つ）であるとは、Xのn個の独立したコピーX iに対して、定数c n  > 0とd nが存在 し、

× 1 ＋ × 2 ＋ … ＋ × ん ＝ d c ん × ＋ d ん 、 {\displaystyle X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}{\stackrel {d}{=}}c_{n}X+d_{n},}

ここで、この等式は分布の等式を指している。この出発点から導かれる結論は、定数列c n が次の形式でなければならない ということである。

c ん ＝ ん 1 / α {\displaystyle c_{n}=n^{1/\alpha}\,}  のために  0 < α ≤ 2. {\displaystyle 0<\alpha \leq 2.}

さらなる結論は、上記の分布恒等式がn = 2およびn = 3の場合にのみ成立すれば十分であるということです。[3]

確率論における安定性

安定性を持つ分布については、多くの数学的結果が導かれる。つまり、畳み込みに対して閉じているという性質を持つ分布のあらゆる可能な族が考慮されている。[4]ここでは、これらの分布を「安定分布」と呼ぶのが便宜的である。ただし、これは「安定分布」という記事で説明されている分布を具体的に意味するものではない。あるいは、分布が安定性を持つと仮定した場合に安定であると言うこともできる。安定な一変量分布については、以下の結果が得られる。

その他の種類の安定性

上記の安定性の概念は、確率変数に対する一連の演算（「加算」または「平均化」）に対して、ある分布のクラスが閉じているという考えに基づいています。他に検討されている演算には、以下のものがあります。

参照

注釈

  1. ^ Lukacs, E. (1970) 第5.7節
  2. ^ フェラー（1971）、セクションVI.1
  3. ^ フェラー (1971)、問題 VI.13.3
  4. ^ Lukacs, E. (1970) 第5.7節
  5. ^ Lukacs, E. (1970) 定理 5.7.1
  6. ^ Lukacs, E. (1970) 定理 5.8.1
  7. ^ Lukacs, E. (1970) 定理 5.10.1
  8. ^ クレバノフら（1984）

参考文献

  • ルカーチ、E. (1970) 『特性関数』グリフィン社、ロンドン
  • フェラー、W.（1971）確率論とその応用入門、第2巻。ワイリー。ISBN 0-471-25709-5
  • Klebanov, LB, Maniya, GM, Melamed, IA (1984)「VM Zolotarevの問題と、ランダムな数のランダム変数の和を求めるスキームにおける無限に割り切れる安定分布の類似例」Theory Probab. Appl. , 29, 791–794
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