安定性（代数幾何学）

幾何学的不変理論における安定点を特徴付けるヒルベルト・マンフォードの基準では、 の軌跡は群作用の流れに沿って 、あるいはそれと同値として によって見られる。流れが無限大に向かうとき、点は曲線の底部で安定平衡状態にある。曲線がゼロに向かうとき、点は不安定であり、 の作用に沿ってゼロに向かって流れていく。流れがゼロと無限大の間にあるとき、点は不安定平衡状態（半安定）にある。この力学的平衡との類似性から、安定性と不安定性という用語が生まれた。${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \to 0}$ ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \lambda}$

数学、特に代数幾何学において、安定性とは、点、代数多様体、ベクトル束、層などの幾何学的対象が、それらを分類する上で望ましい特性を持つ場合を特徴付ける概念である。安定であるという意味の正確な特徴付けは幾何学的対象の種類によって異なるが、そのような例はすべて、最小限の内部対称性を持つという特性、つまり、そのような安定した対象には自己同型がほとんどないという特性を共有している。これは、数学における単純性の概念に関連しており、単純性は、数学的対象が内部に少数の部分対象を持つ場合を測るものである（たとえば、非自明な正規部分群を持たない単純群を参照）。安定性に加えて、一部の対象は、半安定（対称性がわずかだが最小限ではない）、多安定（安定した対象からできている）、不安定（対称性が大きすぎる、安定の反対）などの用語で説明される場合がある。

背景

数学の多くの分野、そして幾何学自体においても、対称性の高い物体を持つことはしばしば非常に望ましく、これらの物体はしばしば美的に美しいとみなされます。しかし、幾何学的物体のモジュライ空間を構築して分類しようとする場合、高い対称性は望ましくありません。なぜなら、これらの物体の対称性は特異点の形成を引き起こし、普遍族の存在を妨げるからです。

安定性の概念は、 1965 年にデイヴィッド マンフォードによって幾何学的不変量論の文脈で初めて現代的な形で導入されました。幾何学的不変量論とは、群作用による代数多様体の商をどのようにとるか、そしてやはり代数多様体である商空間、いわゆる圏的商を得る方法を説明する理論です。^{[ 1 ]}しかし、マンフォードの研究の背後にあるアイデアは、1893 年のデイヴィッド ヒルベルトの不変量論にまで遡り、関連する基本概念は、リーマン面のモジュライ空間の構成に関するベルンハルト リーマンの研究にまで遡ります。^{[ 2 ]}マンフォードの研究以来、安定性は代数幾何学全体でさまざまな形で現れており、多くの場合、幾何学的不変量論から派生したり、幾何学的不変量論に触発されたりしたさまざまな安定性の概念を伴っています。安定性に関する完全に一般的な理論は存在しません (ただし、そのような理論を形成する試みの 1 つがブリッジランド安定性です)。この記事は、幾何学における安定性のさまざまな現れとそれらの関係を要約して比較することを目的としています。

代数幾何学における分類と商の形成における使用に加えて、安定性は、安定した代数幾何学的対象は極微分幾何学的対象に対応するという一般原理により、微分幾何学と幾何学解析でも重要な用途があります。ここで極端とは、一般に変分法の意味で、そのような対象はある汎関数を最小化することを意味します。この原理の典型的な例はケンプフ・ネスの定理であり、これは安定点がモーメント写像のエネルギー汎関数を最小化することを示すことにより、GIT商とシンプレクティック商を関連付けています。この一般原理により、安定性は、ヤン・ミルズ方程式やケーラー・アインシュタイン方程式など、幾何学における多くの重要な偏微分方程式の解の存在を構築する上で重要なツールとして使用されています。この対応の実際の例としては、小林–ヒッチン対応、非可換ホッジ対応、ケーラー–アインシュタイン多様体に対するヤウ–ティアン–ドナルドソン予想、さらには均一化定理などがあります。

安定条件

• ギーゼカー安定性
• 斜面の安定性
• ブリッジランドの安定性
• K安定性

参考文献

1. Mumford, D., Fogarty, J., Kirwan, F., 1994. 幾何学的不変理論（第34巻）. Springer Science & Business Media.
2. Hilbert, D.、1893。Ueber die vollen Invariantensysteme。 Mathematische Annalen、42(3)、313-373 ページ。