安定モジュールカテゴリ

数学、特に表現論において、安定加群カテゴリは射影が「因数分解」される カテゴリです。

意味

Rを環とする。R上の2つの加群 M と N に対し、射影 加群を通してf − g が因数分解できるならば f ~ g となる関係を法として、M から Nへの R  -線型写像の集合をと定義する。安定加群のカテゴリは、対象をR -加群とすることで定義され、射影は同値類となる。 ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)}$ ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)}$

加群Mが与えられ、P を射影 加群とし、全射 とする。そして、 をpの核とする。射影Qと全射が与えられているとする。すると、 fをに写像する写像へと持ち上げることができる。これにより、安定加群圏からそれ自身への明確に定義された関数が得られる。 ${\displaystyle p\colon P\to M}$ ${\displaystyle \オメガ (M)}$ ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle q\colon Q\to N}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \オメガ (M)}$ ${\displaystyle \オメガ (N)}$ ${\displaystyle \オメガ}$

フロベニウス環のような特定の環に対しては、は圏 の同値である。この場合、逆は次のように定義できる。M が与えられ、包含を持つ単射加群Iを求める。すると、はiの余核と定義される。特に興味深いのは、環Rが群環 である場合である。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \Omega^{-1}}$ ${\displaystyle i\colon M\to I}$ ${\displaystyle \オメガ ^{-1}(M)}$

関数 Ω ⁻¹は、（射影を因数分解せずに）一般環の加群カテゴリ上で、入射的な包絡線の余核として定義することもできます。この場合、関数 Ω ⁻¹が実際に Ω の逆関数である必要はありません。安定した加群カテゴリの重要な特性の 1 つは、一般環に対して Ω 関数を定義できることです。R が完全（または M が有限生成で R が半完全 ）な場合、Ω ( M )は射影被覆の核として定義でき、加群カテゴリ上の関数を与えます。ただし、一般に射影被覆は存在する必要がないため、安定した加群カテゴリに移行する必要があります。

コホモロジーとの関連

ここで、 R = kGが何らかの体 kと何らかの群 Gの群代数であると仮定する。同型が存在することを示すことができる。

${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(\Omega ^{n}(M),N)\cong \mathrm {Ext} _{kG}^{n}(M,N)\cong {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,\Omega ^{-n}(N))}$

任意の正の整数 nに対して、表現Mの群コホモロジーは次のように与えられる。ここでk は自明なG作用を持つので、このように安定な加群カテゴリは群コホモロジーが成り立つ自然な設定を与える。 ${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}(G;M)=\mathrm {Ext} _{kG}^{n}(k,M)}$

さらに、上記の同型性は、 nの負の値に対してコホモロジー群を定義することを示唆しており、このようにしてテイトコホモロジーを回復します。

三角形の構造

正確な順序

${\displaystyle 0\to X\to E\to Y\to 0}$

通常のモジュールカテゴリでは の元を定義し、したがって の元を定義するので、シーケンス ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{kG}^{1}(Y,X)}$ ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(Y,\Omega ^{-1}(X))}$

${\displaystyle X\to E\to Y\to \Omega ^{-1}(X).}$

を並進関数とし、上のようなシーケンスを正確な三角形とすると、安定モジュールカテゴリは三角形化カテゴリになります。 ${\displaystyle \Omega^{-1}}$

参照

• 安定ホモトピー理論

参考文献

• JF Carlson、Lisa Townsley、Luis Valero-Elizondo、Mucheng Zhang、「有限群のコホモロジー環」、Springer-Verlag、2003 年。