演算子を含む群

数学の一分野である抽象代数学において、作用素群またはΩ群は、群の元に特別な方法で作用する 集合Ωとともに群として見ることができる代数構造です

作用素群は、1920年代にエミー・ネーターとその学派によって広く研究されました。彼女はこの概念を、3つのネーター同型定理の独自の定式化に用いました。

定義

作用素群は、 集合の作用素を伴う群として定義できます^[1 ] ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle G=(G,\cdot )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

これは群法則に対して 分配的である：

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.}$

各 に対して、写像はGの自己準同型となる。このことから、Ω群はGの自己準同型の添字付き族を持つ群Gと見なすこともできることがわかる。 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle g\mapsto g^{\omega }}$ ${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$

${\displaystyle \Omega }$ は作用素領域と呼ばれる。同型写像^[2]はGの相似性と呼ばれる。

同じ作用素領域を持つ2つの群G、Hが与えられたとき、からへの作用素を持つ群の準同型は、次を満たす 群準同型である。${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle (H,\Omega )}$ ${\displaystyle \phi :G\to H}$

${\displaystyle \phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }}$ すべての人のために${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle g\in G.}$

Gの部分群 Sは、相似性、すなわち ​${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$ すべての人のために${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

圏論的注釈

圏論において、作用素を持つ群は、関手圏Grp ^Mの対象として定義できます^[3]。ここで、Mはモノイド（つまり、 1つの対象を持つ圏）であり、Grpは群の圏を表します。この定義は、がモノイドである場合に前の定義と同等です（そうでない場合は、恒等項とすべての合成を含むように拡張できます）。 ${\displaystyle \Omega }$

この圏における射とは、2つの関手（すなわち、同じ作用素領域 M を共有する作用素を持つ2つの群）間の自然な変換である。ここでも、作用素を持つ群 の準同型写像の定義を再現する（fは自然変換の成分） 。

演算子を含むグループもマッピングである

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

ここで、 はGの群準同型の集合である。 ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$

例

• 任意の群Gが与えられると、( G , ∅ ) は自明に作用素を持つ群である
• 環R上のモジュール Mが与えられた場合、R はMの基礎となるアーベル群に対してスカラー乗算として作用するため、 ( M , R ) は演算子を持つグループです。
• 上記の特殊なケースとして、体K上のすべてのベクトル空間は、演算子 ( V、K )を持つ群です。

応用

ジョルダン・ヘルダーの定理は、作用素を持つ群の文脈でも成り立ちます。群が合成級数を持つという要件は、位相におけるコンパクト性の要件に類似しており、時には強すぎる要件となることがあります。「集合に対するコンパクト性」、つまり、それぞれの（正規）部分群が、問題の群の 作用素集合Xに対する作用素部分群であるような合成級数について話すのは自然なことです

参照

• 集団行動

注

1. Bourbaki 1974, p. 31
2. ブルバキ 1974年、30～31頁。
3. マックレーン 1998年、41ページ。

参考文献

• ニコラ・ブルバキ（1974年）『数学の原論：代数I 第1章～3章』ヘルマン社、ISBN 2-7056-5675-8。
• ブルバキ、ニコラ (1998). 『数学の原論：代数 I 第1章～3章』. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-64243-9。
• マック・レーン、サンダース（1998年）『働く数学者のためのカテゴリー』シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-98403-8。