標準線形ソリッドモデル

標準線形固体（SLS）は、クラレンス・ゼナーにちなんでゼナーモデルとも呼ばれ、^{[ 1 ]} 、弾性成分と粘性成分をそれぞれバネとダッシュポットの線形結合で表すことで粘弾性材料の挙動をモデル化する手法です。より単純なマクスウェルモデルとケルビン・フォークトモデルがよく用いられます。しかし、これらのモデルは不十分であることがよくあります。マクスウェルモデルはクリープや回復を記述できず、ケルビン・フォークトモデルは応力緩和を記述できません。SLSは、両方の現象を予測できる最も単純なモデルです。

意味

歪みを受ける材料は、多くの場合、スプリング(復元力コンポーネント) やダッシュポット(減衰コンポーネント) などの機械コンポーネントを使用してモデル化されます。

バネとダンパーを直列に接続するとマクスウェル材料のモデルが得られ、バネとダンパーを並列に接続するとケルビン・フォークト材料のモデルが得られる。^{[ 2 ]} マクスウェルモデルやケルビン・フォークトモデルとは対照的に、SLSモデルはやや複雑で、直列と並列の両方の要素を含む。粘弾性材料の弾性成分を表すバネは、フックの法則に従う。

${\displaystyle \sigma _{s}=E\バレプシロン }$

ここで、σは作用応力、Eは材料のヤング率、εはひずみである。バネはモデルの応答における弾性成分を表す。 ^{[ 2 ]}

ダッシュポットは粘弾性材料の粘性成分を表します。これらの要素では、適用される応力はひずみの時間変化率に応じて変化します。

${\displaystyle \sigma _{D}=\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

ここで、η はダッシュポット部品の 粘度です。

モデルを解く

このシステムをモデル化するには、次の物理的関係を実現する必要があります。

平行成分の場合：、および。^{[ 2 ]}${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}+\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}}$

直列成分の場合：、および。^{[ 2 ]}${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}=\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}$

マクスウェル表現

標準線形固体モデル、マクスウェル表現

このモデルは2つの並列システムから構成されています。1つ目はマクスウェルアームと呼ばれ、バネ（）とダッシュポット（粘性）が直列に接続されています。^{[ 2 ]}もう1つのシステムはバネ（）のみで構成されています。 ${\displaystyle E=E_{2}}$ ${\displaystyle \eta}$ ${\displaystyle E=E_{1}}$

これらの関係は、システム全体とマクスウェル アームのさまざまな応力と歪みを関連付けるのに役立ちます。

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{m}+\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{m}=\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{m}=\sigma _{D}=\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{m}=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S_{2}}}$

ここで、下付き文字、、はそれぞれマクスウェル、ダッシュポット、スプリング 1、スプリング 2 を表します。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

これらの関係、その時間微分、および上記のスプリング要素とダッシュポット要素の応力-ひずみ関係を使用して、システムを次のようにモデル化できます。

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+\sigma (t)-E_{1}\varepsilon (t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}}$ ^{[ 3 ]}

この式は次のように表すこともできます。

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}=E_{1}\varepsilon (t)+{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

またはドット表記では：

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}}{\dot {\sigma }}=E_{1}\varepsilon +{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

緩和時間、は材料ごとに異なり、 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

ケルビン・フォークト表現

標準線形固体モデル、ケルビン表現

このモデルは直列に接続された2つのシステムで構成されています。1つはケルビンアームと呼ばれ、バネ（）とダッシュポット（粘性）が並列に配置されています。もう1つのシステムはバネ（）のみで構成されています。 ${\displaystyle E=E_{2}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E=E_{1}}$

これらの関係は、システム全体とケルビンアームのさまざまな応力と歪みを関連付けるのに役立ちます。

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{k}=\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{D}+\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{k}=\varepsilon _{D}=\varepsilon _{S_{2}}}$

ここで、下付き文字、、、はそれぞれ、ケルビン、ダッシュポット、スプリング 1、スプリング 2 を表します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

これらの関係、その時間微分、および上記のスプリング要素とダッシュポット要素の応力-ひずみ関係を使用して、システムを次のようにモデル化できます。

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon (t)+{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

またはドット表記では：

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\sigma }}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

遅延時間、は材料ごとに異なり、 ${\displaystyle {\bar {\tau }}}$

${\displaystyle {\bar {\tau }}={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

モデル特性

3要素モデルと4要素モデルのクリープと応力緩和の比較

標準線形固体モデルは、マクスウェルモデルとケルビン・フォークトモデルの要素を組み合わせることで、与えられた一連の荷重条件下でのシステムの全体的な挙動を正確に記述します。瞬間的な応力を受けた材料の挙動は、応答の瞬間的な成分を持つものとして示されます。応力の瞬間的な解放も、予想通り、ひずみの不連続な減少をもたらします。時間依存ひずみ曲線の形状は、モデルへの荷重のかかり方に応じて、時間の経過に伴うモデルの挙動を特徴付ける方程式の種類に忠実です。

このモデルは、ひずみ曲線の一般的な形状や長時間および瞬間的な負荷に対する動作を正確に予測するために使用できますが、材料システムを数値的に正確にモデル化する能力が欠けています。

標準的な線形固体モデルと等価な流体モデルには、ケルビン・フォークトモデルと直列にダッシュポットが含まれており、ジェフリーズモデルと呼ばれます。^{[ 4 ]}

参照

• ハンバーガーの材料
• 一般化マクスウェルモデル
• ケルビン・フォークト物質
• マクスウェル物質
• 粘弾性

参考文献

1. Holm, Sverre (2024).音響波動方程式と媒質が音速を乱す4つの方法(PDF) . 第1.3巻. オスロ大学.
2. David Roylance、「粘弾性工学」（2001年10月24日）https://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/MIT3_11F99_visco.pdf
3. Krystyn J. Van Vliet、MIT コース 3.032 講義、2006 年 10 月 23 日http://stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html
4. ジョセフ、ダニエル・D. (2013年11月27日).粘弾性液体の流体力学. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 9781461244622。