連続均一分布

連続均一
確率密度関数 最大条約の使用
累積分布関数
表記	${\displaystyle {\mathcal {U}}_{[a,b]}}$
パラメータ	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$
サポート	${\displaystyle [a,b]}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{ba}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\frac {xa}{ba}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\1&{\text{for }}x>b\end{cases}}}$
平均	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
中央値	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
モード	${\displaystyle {\text{a,b の任意の値}}(a,b)}$
分散	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(ba)^{2}}$
狂った	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(ba)}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}$
エントロピ	${\displaystyle \log(ba)}$
MGF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(ba)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}}$
CF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tb}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ta}}{\mathrm {i} t(ba)}}&{\text{for }}t\neq 0\\1&{\text{for }}t=0\end{cases}}}$

確率論と統計学において、連続一様分布または矩形分布は対称確率分布の一種である。このような分布は、ある境界値の間に含まれる任意の結果が生じる実験を表す。^{[ 1 ]}境界値はパラメータによって定義され、その最小値と最大値である。区間は閉じた区間（すなわち）または開いた区間（すなわち）のいずれかとなる。^{[ 2 ]}そのため、この分布はしばしば と略され、 は一様分布を表す。^{[ 1 ]}境界値の差によって区間の長さが定義される。分布のサポート上にある同じ長さの区間はすべて、確率が等しい。これは、分布のサポートに含まれるという制約以外の制約を受けないランダム変数の最大エントロピー確率分布である。 ^{[ 3 ]}${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle U(a,b),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

定義

確率密度関数

連続一様分布の 確率密度関数は$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{ba}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{for }}x<a\ {\text{ or }}\ x>b.\end{cases}}}$$

2 つの境界とにおけるの値は、通常重要ではありません。なぜなら、それらの値は、任意の区間におけるの値も、 の値も、任意の高次モーメントの値も変更しないからです。 ときにはゼロに選ばれることもあれば、 に選ばれることもあります。後者は、最大尤度法による推定の文脈では適切です。フーリエ解析の文脈では、またはの値を とすることができます。その理由は、その場合、この一様関数の多くの積分変換の逆変換によって、ゼロ測度の点の集合を除いて「ほとんどすべての場所で」等しい関数ではなく、関数自体が返されるからです。 また、それは、そのような曖昧さのない 符号関数と一致しています。${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle \int _{c}^{d}f(x)dx}$ ${\displaystyle [c,d],}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{ba}}.}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2(ba)}},}$

任意の確率密度関数は積分すると となるため、連続一様分布の確率密度関数は、底辺の長さと高さをそれぞれ とした長方形で表されます。底辺の長さが長くなると、高さ（分布境界内の任意の値における密度）は減少します。^{[ 4 ]}${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle ba}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{ba}}}$

平均と分散の観点から見ると、連続一様分布の確率密度関数は ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \sigma ^{2},}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}},\\[2pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

累積分布関数

連続一様分布の 累積分布関数は次のようになります。$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\[8pt]{\frac {xa}{ba}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[8pt]1&{\text{for }}x>b.\end{cases}}}$$

その逆は次のようになります。 $${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(ba)\quad {\text{ }}0<p<1 の場合。}$$

平均と分散の観点から見ると、連続一様分布の累積分布関数は次のようになります。 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \sigma ^{2},}$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}},\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}},\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}};\end{cases}}}$$

その逆は次のようになります。 $${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{ }}0\leq p\leq 1 の場合。}$$

例1.連続一様分布関数の使用

ランダム変数 を求めるには${\displaystyle X\sim U(0,23),}$ ${\displaystyle \Pr(2<X<18):}$ $${\displaystyle \Pr(2<X<18)=(18-2)\cdot {\frac {1}{23-0}}={\frac {16}{23}}.}$$

連続一様分布関数のグラフ表現では、指定された境界内の曲線の下の領域（確率を表す）は長方形になります。上記の具体的な例では、底辺は⁠ ⁠ 、高さは⁠ ⁠ ^{[ 5 ]}となります。${\displaystyle [f(x){\text{ vs }}x],}$ ${\displaystyle 16,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{23}}.}$

例2.連続一様分布関数の使用（条件付き）

ランダム変数を求めるには${\displaystyle X\sim U(0,23),}$ ${\displaystyle \Pr(X>12\mid X>8):}$ $${\displaystyle \Pr(X>12\mid X>8)=(23-12)\cdot {\frac {1}{23-8}}={\frac {11}{15}}.}$$

上記の例は、連続一様分布の条件付き確率の例です。⁠ ⁠が${\displaystyle X>8}$ 真であると仮定した場合、 ⁠ ⁠${\displaystyle X>12?}$ となる確率はどれくらいでしょうか？条件付き確率は標本空間を変えるので、新しい区間長⁠ ⁠${\displaystyle b-a'}$ を計算する必要があります。ここで、および^{[ 5 ]}グラフィカルな表現は例1に従います。指定された境界内の曲線の下の領域は確率を表示します。長方形の底辺は⁠ ⁠ ⁠、高さは⁠ ⁠ ^{[ 5 ]です。}${\displaystyle b=23}$ ${\displaystyle a'=8.}$ ${\displaystyle 11,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}.}$

生成関数

モーメント生成関数

連続一様分布のモーメント生成関数は^{[ 6 ]}であり、この関数から生のモーメント を計算することができる。$${\displaystyle M_{X}=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{a}^{b}e^{tx}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}={\frac {B^{t}-A^{t}}{t(b-a)}},}$$ ${\displaystyle m_{k}:}$ $${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},}$$ $${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},}$$ $${\displaystyle m_{k}={\frac {\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}}{k+1}}.}$$

連続一様分布に従う確率変数の場合、期待値は、分散は${\displaystyle m_{1}={\tfrac {a+b}{2}},}$ ${\displaystyle m_{2}-m_{1}^{2}={\tfrac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

特殊なケースでは、連続一様分布の確率密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle a=-b,}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{for }}-b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{otherwise}};\end{cases}}}$$

モーメント生成関数は次の単純な形に簡約される。 $${\displaystyle M_{X}={\frac {\sinh bt}{bt}}.}$$

キュムラント生成関数

⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 2,}$ において、区間⁠ ⁠上の連続一様分布の- 番目のキュムラントは-番目のベルヌーイ数です。^{[ 7 ]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]}$ ${\displaystyle {\tfrac {B_{n}}{n}},}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

標準一様分布

パラメータがおよびである連続一様分布は、標準一様分布と呼ばれます。 ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=1,}$ ${\displaystyle U(0,1),}$

標準一様分布の興味深い性質の一つは、 が標準一様分布を持つ場合、 も を持つということです。この性質は、特に反対の変量 を生成するために使用できます。言い換えれば、この性質は反転法として知られており、連続標準一様分布は他の任意の連続分布の乱数を生成するために使用できます。 ^{[ 4 ]}が標準一様分布を持つ一様乱数、つまり を持つ場合、 は指定された累積分布関数を持つ任意の連続分布から乱数を生成します^{[ 4 ]}${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle 1-u_{1}.}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle U(0,1),}$ ${\displaystyle x=F^{-1}(u_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$

他の機能との関係

遷移点において同じ規則が守られている限り、連続一様分布の確率密度関数は、次のようにヘヴィサイドのステップ関数で表すこともできます。 $${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},}$$

または長方形関数では次のようになります。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\ \operatorname {rect} \left({\frac {x-{\frac {a+b}{2}}}{b-a}}\right).}$$

符号関数の遷移点には曖昧さはありません。遷移点における半最大値の規則を用いると、連続一様分布は符号関数を用いて次のように表すことができます。 $${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.}$$

プロパティ

瞬間

連続一様分布の 平均（最初の生のモーメント）は次のとおりです。$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{a}^{b}x{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {b+a}{2}}.}$$

この分布の 2 番目の生のモーメントは次のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\int _{a}^{b}x^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}.}$$

一般に、この分布の - 次モーメントは次のようになります。 ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{a}^{b}x^{n}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.}$$

この分布の 分散（第2中心モーメント）は次のようになります。$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]=\int _{a}^{b}\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {dx}{b-a}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$$

注文統計

を からのiidサンプルとし、 をこのサンプルからの 番目の 順序統計量とします。${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle U(0,1),}$ ${\displaystyle X_{(k)}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle X_{(k)}}$ はベータ分布、パラメータ、 を持つ。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k+1.}$

期待値は次のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k}{n+1}}.}$$

この事実はQ-Qプロットを作成するときに役立ちます。

差異は次のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {Var} \left[X_{(k)}\right]={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}.}$$

均一

連続的に均一に分布するランダム変数が固定長の任意の区間内に入る確率は、区間が分布のサポートに含まれている限り、区間自体の位置とは無関係です（ただし、区間のサイズには依存します）。 ${\displaystyle (\ell )}$

実際、 がの部分区間で固定である場合、次の式が成り立ち、 これはとは 独立であり、この事実がこの分布の名前の由来となっています。 ${\displaystyle X\sim U(a,b)}$ ${\displaystyle [x,x+\ell ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \ell >0,}$ $${\displaystyle \Pr {\big (}X\in [x,x+\ell ]{\big )}=\int _{x}^{x+\ell }{\frac {dy}{b-a}}={\frac {\ell }{b-a}},}$$ ${\displaystyle x.}$

より一般的な集合上の一様分布

一様分布は、間隔よりも一般的な集合に一般化できます。

正式には、正の有限ルベーグ測度のボレル集合、すなわち、上の一様分布は、確率密度関数を外側ではゼロ、外側では常に等しいと定義することによって指定できる。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda (S),}$ ${\displaystyle 0<\lambda (S)<+\infty .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda (S)}}}$ ${\displaystyle S.}$

興味深い特殊なケースとして、集合 S が単体である場合が挙げられます。標準的なn頂点単体上で一様分布を得るには、以下の方法があります。 ^{[ 8 ] : Thm.4.1} 同じ指数分布に従うn 個の独立確率変数を取り、それらを X ₁ ,...,X _nと表記し、Y _i  := X _i / (sum _i X _i ) とします。すると、ベクトル Y ₁ ,...,Y _{n は}単体上で一様分布します。

関連ディストリビューション

• Xが標準均一分布に従う場合、逆変換サンプリング法によれば、Y = − λ ⁻¹ ln( X )は（速度）パラメータλを持つ指数分布に従います。
• Xが標準一様分布に従う場合、 Y = X ⁿはパラメータ(1/ n ,1)を持つベータ分布に従う。したがって、
• 標準一様分布は、パラメータが(1,1)であるベータ分布の特殊なケースです。
• アーウィン・ホール分布は、 n個のi.idU ( 0,1)分布の合計です。
• ベイツ分布はn i.id U (0,1)分布の平均です。
• 2つの独立した一様分布U ₁ (a,b)+ U ₂ (c,d)の和は、平均に関して対称な台形分布を、支持点 [a+c,b+d] 上に与えます。台形分布の幅は、 U ₁とU ₂の幅の絶対値の差に等しくなります。傾斜部分の幅は、最も狭い一様分布の幅に相当します。
  • 一様分布の幅 w が同じ場合、結果はサポート [a+c、a+c+2w] 上の、平均を中心に対称な三角分布になります。
  • 2つの独立した、均等に分布する一様分布U ₁ (a,b)+ U ₂ (a,b)の和は、サポート[2a,2b]上の対称三角形分布を生成します。
• 2つのiid一様確率変数間の距離| U ₁ (a,b)- U ₂ (a,b)|も、対称ではありませんが、サポート[0,ba]上で三角形の分布を持ちます。

統計的推論

パラメータの推定

最大値の推定

最小分散不偏推定量

が未知である一様分布 が与えられた場合、最大値 の最小分散不偏推定量（UMVUE）は次のように表されます。 ここで は標本の最大値、は標本サイズで、非復元標本抽出です（ただし、連続分布の場合、この区別はほとんど影響しません）。これは離散分布 の推定と同じ理由で成り立ち、最大値間隔推定の非常に単純なケースと見ることができます。この問題は、第二次世界大戦中のドイツ軍の戦車生産量の推定に最大値推定が適用されたことから、一般にドイツ戦車問題として知られています。 ${\displaystyle [0,b]}$ ${\displaystyle b,}$ $${\displaystyle {\hat {b}}_{\text{UMVU}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

モーメント推定法

モーメント法による推定値は次のとおりです。 ここではサンプル平均です。 $${\displaystyle {\hat {b}}_{MM}=2{\bar {X}},}$$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$

最大尤度推定量

最大尤度推定値は次のとおりです。 ここで、 はサンプルの最大値であり、サンプルの 最大順序統計量とも呼ばれます。$${\displaystyle {\hat {b}}_{ML}=m,}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=X_{(n)},}$

最小値の推定

が未知のaを持つ一様分布であるとすると、 aの最大尤度推定値は、標本最小値である 。^{[ 9 ]}${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle {\hat {a}}_{ML}=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$$

中間点の推定

分布の中点は、一様分布の平均と中央値の両方です。標本平均値と標本中央値はどちらも中点の不偏推定値ですが、どちらも標本中範囲、つまり標本最大値と標本最小値の算術平均ほど効率的ではありません。標本中範囲は中点のUMVU推定値（および最尤推定値）です。 ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}},}$

信頼区間

最大限に

からサンプルを取り、その最大値が母集団の最大値であるとする。このとき、ルベーグ・ボレル密度は^{[ 10 ]である。}${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}}$ ${\displaystyle U_{[0,L]},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n})}$ ${\displaystyle f={\frac {d\Pr _{X_{(n)}}}{d\lambda }}:}$

$${\displaystyle f(t)=n{\frac {1}{L}}\left({\frac {t}{L}}\right)^{n-1}\!=n{\frac {t^{n-1}}{L^{n}}}1\!\!1_{[0,L]}(t),}$$ の指標関数はどこにあるか${\displaystyle 1\!\!1_{[0,L]}}$ ${\displaystyle [0,L].}$

上で示した信頼区間は数学的に正しくありません。なぜなら、 を知らない と を解くことができないからです。しかし、を未知だが有効な任意の についてを解き 、上記の条件を満たす 最小の値を選ぶことは可能です。区間の長さは確率変数に依存することに注意してください。$${\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}+\varepsilon ]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \Pr {\big (}[{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\varepsilon )]\ni \theta {\big )}\geq 1-\alpha }$$ ${\displaystyle \varepsilon \geq \alpha ^{-1/n}-1}$ ${\displaystyle \theta ;}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}.}$

発生と応用

一様分布関数の確率は、関数形式が単純なため計算が簡単です。^{[ 2 ]}そのため、この分布は、仮説検定、ランダムサンプリング、金融など、さまざまな用途に使用できます。さらに、一般的に、物理的な起源の実験は一様分布に従います（例：放射性粒子の放出）。^{[ 1 ]}ただし、どのような用途でも、固定長の間隔に収まる確率は一定であるという不変の仮定があることに注意することが重要です。^{[ 2 ]}

均一分布の経済学の例

経済学の分野では、需要と補充は予想される正規分布に従わないことがよくある。その結果、確率と傾向をより正確に予測するためにベルヌーイ過程などの他の分布モデルが使われる。^{[ 11 ]}しかし、Wanke (2008) によると、ライフサイクルの初めに完全に新製品を分析する際に在庫管理のリードタイムを調査するという特別な場合には、一様分布のほうが有用であることがわかっている。^{[ 11 ]}このような状況では、新製品に関する既存データがないか、需要履歴が利用できないため、適切または既知の分布が実際には存在しないため、他の分布は実行できない可能性がある。^{[ 11 ]}新製品のリードタイム (需要に関連) のランダム変数は不明だが、結果は 2 つの値の妥当な範囲内になる可能性が高いため、この状況では一様分布が理想的である。^{[ 11 ]}したがって、リードタイムがランダム変数を表すことになる。均一分布モデルから、サイクルサービスレベルやサイクルあたりの不足など、リードタイムに関連する他の要因を計算することができました。また、計算の簡便さから均一分布が使用されたことも注目されました。^{[ 11 ]}

任意の分布からのサンプリング

一様分布は、任意の分布からのサンプリングに有用です。一般的な手法として、対象とする確率変数の累積分布関数（CDF）を用いる逆変換サンプリング法があります。この手法は理論的な研究において非常に有用です。この手法を用いたシミュレーションでは、対象変数のCDFを逆変換する必要があるため、CDFが閉形式で既知でない場合のために、代替手法が考案されてきました。そのような手法の一つが棄却サンプリングです。

正規分布は、逆変換法が効率的でない重要な例です。しかし、逆変換を用いて2つの独立した一様確率変数を2つの独立した正規分布確率変数に変換する正確な方法であるボックス・ミュラー変換が存在します。

量子化誤差

アナログ-デジタル変換では、量子化誤差が発生します。この誤差は、丸めまたは切り捨てによって発生します。元の信号が最下位ビット（LSB）の1ビットよりもはるかに大きい場合、量子化誤差は信号と有意な相関関係を持たず、ほぼ均一な分布を示します。したがって、 RMS誤差はこの分布の分散から生じます。

ランダム変数生成

シミュレーション実験を実行することが有用なアプリケーションは数多くあります。多くのプログラミング言語には、標準一様分布に従って効果的に分布する 疑似乱数を生成する実装が付属しています。

一方、均一に分布した数は、非均一な乱数変数生成の基礎としてよく使用されます。

が標準均一分布からサンプリングされた値である場合、その値は前述のように およびによってパラメータ化された均一分布に従います。${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a+(b-a)u}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$

歴史

一様分布の概念の歴史的起源は定かではないが、「一様」という用語はサイコロゲームにおける等確率の概念から生まれたと推測されている（サイコロゲームは連続的な一様標本空間ではなく離散的な標本空間を持つ点に注意）。等確率は、ジェロラモ・カルダーノの『運の書』で言及されている。これは16世紀に書かれた、サイコロに関する高度な確率計算を詳述した教本である。^{[ 12 ]}

参照

• 離散一様分布
• ベータ分布
• ボックス・ミュラー変換
• 確率プロット
• Q–Qプロット
• 長方形関数
• アーウィン・ホール分布— n=1 の退化したケースでは、アーウィン・ホール分布は 0 から 1 の間の均一分布を生成します。
• ベイツ分布— アーウィン・ホール分布に似ていますが、nに応じてスケールが変更されています。アーウィン・ホール分布と同様に、n=1の退化の場合、ベイツ分布は0から1の間の一様分布を生成します。

参考文献

1. デッキング、ミシェル (2005).確率と統計の現代的入門：なぜ、どのように理解するか. ロンドン、英国: シュプリンガー. pp.  60–61 . ISBN 978-1-85233-896-1。
2. ウォルポール, ロナルド; マイヤーズ, レイモンド H.; マイヤーズ, シャロン L.; イェ, キーイング (2012).エンジニアと科学者のための確率と統計. ボストン, 米国: プレンティス・ホール. pp.  171– 172. ISBN 978-0-321-62911-1。
3. Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). 「最大エントロピー自己回帰条件付き異分散モデル」. J​​ournal of Econometrics . 150 (2): 219– 230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750 . doi : 10.1016/j.jeconom.2008.12.014 . 
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5. イロウスキー、バーバラ他 (2013).統計学入門. ライス大学、テキサス州ヒューストン、米国: OpenStax College. pp.  296–304 . ISBN 978-1-938168-20-8。
6. カセラ＆バーガー 2001、626ページ
7. ウィチュラ、マイケル J. (2001 年 1 月 11 日)。「キュムラント」（PDF）。Stat 304 配布資料。シカゴ大学。
8. 非均一ランダム変量生成. doi : 10.1007/978-1-4613-8643-8 .
9. 。因数はによって制限される最大のaによって最大化されます。したがって はの最大値です。${\displaystyle L_{n}(a,b)=\prod _{i=1}^{n}f(X_{i})={\frac {1}{(b-a)^{n}}}\mathbf {1} _{[a,b]}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{(b-a)^{n}}}\mathbf {1} _{\{a\leq \min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}\}}\mathbf {1} _{\{\max\{X_{1},\dots ,X_{n}\}\leq b\}}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(b-a)^{n}}}}$ ${\displaystyle L_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle \min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle a=\min\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle L_{n}(a,b)}$
10. Nechval KN、Nechval NA、Vasamanis EK、Makeev VY (2002)最短長の信頼区間の構築。運輸および電気通信 3 (1) 95-103
11. Wanke, Peter (2008). 「新製品在庫管理への最初の実践的アプローチとしての一様分布」 International Journal of Production Economics . 114 (2): 811– 819. doi : 10.1016/j.ijpe.2008.04.004 – Research Gate経由.
12. ベルハウス、デヴィッド (2005 年 5 月)。「カルダノのリベル・デ・ルドを解読する」。ヒストリア マセマティカ。32 : 180–202。土井: 10.1016/j.hm.2004.04.001。

さらに読む

• Casella, George ; Berger, Roger L. (2001) 『統計的推論』（第2版）、Thomson Learning、ISBN 978-0-534-24312-8、LCCN  2001025794

外部リンク

• 一様分布（連続）のオンライン計算機