スタンレー・ライスナー環

数学において、スタンレー・ライスナー環（Stanley-Reisner ring）または面環（face ring）は、体上の多項式代数を平方自由単項式イデアルで割った商である。このようなイデアルは、有限単体複体を用いてより幾何学的に記述される。スタンレー・ライスナー環の構成は、代数的組合せ論および組合せ論的可換代数における基本的な道具である。[ 1 ]その性質は、1970年代初頭にリチャード・スタンレー、メルビン・ホクスター、ジェラルド・ライスナー によって研究された。

定義と特性

頂点集合 { x 1 ,..., x n } 上の抽象単体複体Δと体kが与えられたとき、対応するスタンレー・ライスナー環または面環(k [Δ]と表記) は、多項式環k [ x 1 ,..., x n ] から、 Δ の非面に対応する平方自由単項式によって生成される イデアルI Δを除算することによって得られます。

私Δ＝（×私1…×私r:{私1、…、私r}∉Δ）、け[Δ]＝け[×1、…、×n]/私Δ。{\displaystyle I_{\Delta}=(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{r}}:\{i_{1},\ldots ,i_{r}\}\notin \Delta ),\quad k[\Delta]=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{\Delta }.}

イデアルIΔはスタンレー・ライスナーイデアルまたはΔの面イデアルと呼ばれる。 [ 2 ]

プロパティ

  • スタンレー・ライスナー環k [Δ]はZ nによって多重階数化され、変数x iの次数はZ nの i番目の標準基底ベクトルe iである。
  • k上のベクトル空間として、Δ のスタンレー・ライスナー環は直和分解を許す。
け[Δ]＝⨁σ∈Δけ[Δ]σ、{\displaystyle k[\Delta ]=\bigoplus _{\sigma \in \Delta }k[\Delta ]_{\sigma },}
その和項k [Δ] σは Δ の面σ上に支えられた単項式（必ずしも平方でない必要はない）の基底を持つ。
H（け[Δ];×1、…、×n）＝∑σ∈Δ∏私∈σ×私1−×私。{\displaystyle H(k[\Delta ];x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in \Delta }\prod _{i\in \sigma }{\frac {x_{i}}{1-x_{i}}}.}
  • k [Δ]の通常の、あるいは粗いヒルベルト級数は、その多階数ヒルベルト級数から、すべての変数x iの次数を1に設定することによって得られる。
H（け[Δ];t、…、t）＝1（1−t）n∑私＝0df私−1t私（1−t）n−私、{\displaystyle H(k[\Delta ];t,\ldots ,t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\sum _{i=0}^{d}f_{i-1}t^{i}(1-t)^{ni},}
ここで、d = dim(Δ) + 1はk [Δ]のクルル次元であり、 f iはΔのi面の数である。これを次のように書くと、
H（け[Δ];t、…、t）＝h0+h1t+⋯+hdtd（1−t）d{\displaystyle H(k[\Delta ];t,\ldots ,t)={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}}
すると、分子の係数（h 0、...、h d ）は単体複体Δのhベクトルを形成します。

例

一般的に、Δ のすべての頂点 { x i } は単体であると仮定されます。したがって、どの変数もスタンレー・ライスナーイデアル I Δには属しません。

  • Δは単体{ x 1 ,..., x n }である。するとI Δは零イデアルであり、
け[Δ]＝け[×1、…、×n]{\displaystyle k[\Delta ]=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}
は、 k上のn変数 の多項式代数です。
  • 単体複体Δはn個の孤立した頂点{ x 1 }, ..., { x n }から構成される。そして
私Δ＝{×私×j:1≤私<j≤n}{\displaystyle I_{\Delta }=\{x_{i}x_{j}:1\leq i<j\leq n\}}
スタンレー・ライスナー環は、k上のn変数の多項式環の次の切断である。
け[Δ]＝け⊕⨁1≤私≤n×私け[×私]。{\displaystyle k[\Delta ]=k\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq n}x_{i}k[x_{i}].}
  • 前の2つの例を一般化すると、Δ は単体 { x 1 ,..., x n } のd 元スケルトンとなり、{ x 1 ,..., x n } のすべての ( d  + 1 ) 元部分集合から構成される。すると、スタンレー・ライスナー環は、 k上のn変数多項式環の切断によって次のように表される。
け[Δ]＝け⊕⨁0≤r≤d⨁私0<…<私r×私0…×私rけ[×私0、…、×私r]。{\displaystyle k[\Delta ]=k\oplus \bigoplus _{0\leq r\leq d}\bigoplus _{i_{0}\ldots <i_{r}}x_{i_{0}}\ldots x_{i_{r}}k[x_{i_{0}},\ldots ,x_{i_{r}}].​​}
  • 抽象単体複体 Δ がx 1 ,..., x m上の抽象単体複体 Δ ′とx m +1 ,..., x n 上のΔ "の単体結合であるとする。このとき、 Δ のスタンレー・ライスナー環はΔ ′と Δ "のスタンレー・ライスナー環のk上のテンソル積である。
け[Δ]≃け[Δ′]⊗けけ[Δ″]。{\displaystyle k[\Delta ]\simeq k[\Delta ']\otimes _{k}k[\Delta ''].}

コーエン・マコーレー条件と上界予想

面環k [Δ] はk上の多次数代数であり、そのすべての成分の細次数化に関する次元は最大でも 1 である。したがって、そのホモロジーは組合せ論的手法と幾何学的手法で研究することができる。抽象単体複体 Δ は、その面環がコーエン–マコーレー環である場合に、 k上コーエン–マコーレーと呼ばれる。[ 3 ] 1974 年の学位論文で、ジェラルド ライスナーはそのような複体の完全な特徴付けを与えた。その後すぐに、メルビン ホックスターによる面環についてのより正確なホモロジー結果が続いた。次にリチャード スタンレーは、面環構成とライスナーのコーエン–マコーレー性基準を使用して、当時未解決であった単体球面の上界予想を証明する方法を見つけた。代数的組合せ論における難しい推測を可換代数の命題に変換し、それをホモロジー的手法で証明するというスタンリーの考えは、急速に発展した組合せ的可換代数の分野の起源となった。

ライスナーの基準

単体複体 Δ がk上コーエン・マコーレーとなるための必要十分条件は、すべての単体σ ∈ Δ に対して、σのΔ におけるリンクのkの係数を持つすべての縮約単体ホモロジー群が、最上位次元のものを除いて 0 になることである: [ 3 ]

H〜私（リンクΔ⁡（σ）;け）＝0すべての人のために私<薄暗い⁡リンクΔ⁡（σ）。{\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(\operatorname {link} _{\Delta }(\sigma );k)=0\quad {\text{すべての}}\quad i<\dim \operatorname {link} _{\Delta }(\sigma ).}

ムンクレスの帰結は、 k上の Δ のコーエン・マコーレー性は位相的性質であることを示す。すなわち、それは単体複体 Δ の同相類のみに依存する。すなわち、|Δ| をΔ の幾何学的実現とする。すると、ライスナーの基準における単体ホモロジー群の消滅は、|Δ| の被約特異ホモロジー群と相対特異ホモロジー群 に関する以下の命題と同値となる。

すべての人のために p∈|Δ| そしてすべての 私<薄暗い⁡|Δ|＝d−1、H〜私（|⁡Δ|;け）＝H私（|⁡Δ|、|⁡Δ|−p;け）＝0。{\displaystyle {\text{すべての }}p\in |\Delta |{\text{ およびすべての }}i<\dim |\Delta |=d-1 に対して、\quad {\tilde {H}}_{i}(\operatorname {|} \Delta |;k)=H_{i}(\operatorname {|} \Delta |,\operatorname {|} \Delta |-p;k)=0.}

特に、複体 Δ が単体球面、すなわち |Δ| が球面に同相である場合、複体は任意の体上でコーエン・マコーレー性を持つ。これはスタンレーの上界予想の証明における重要なステップである。対照的に、コーエン・マコーレー性が体 kの標数に依存する単体複体の例も存在する。

参考文献

  1. ^ミラー＆シュトゥルムフェルス (2005) p.19
  2. ^ミラー＆シュトゥルムフェルス (2005) pp.3–5
  3. ^ a bミラー＆シュトゥルムフェルス (2005) p.101

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