静止点
赤い円は停留点です。このグラフでは、それらはすべて相対的な最大値または相対的な最小値です。青い四角は変曲点です。

数学、特に微積分学において、一変数の微分可能関数の停留点とは、関数のグラフ上で関数の導関数がゼロになる点のことである。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]非公式には、関数の増加または減少が「​​停止」する点である（これが名前の由来である）。

複数の実変数の微分可能関数 において、停留点とはグラフ面上の点であり、その偏導関数がすべてゼロとなる点（つまり、勾配のノルムがゼロとなる点）である。実数値関数の停留点の概念は、複素数値関数の臨界点として一般化される。

一変数関数のグラフでは、停留点は簡単に視覚化できます。停留点は、グラフ上で接線が水平（つまりx軸に平行）になる点に対応します。二変数関数の場合、停留点はグラフ上で接線面がxy平面に平行になる点に対応します。

停留点の概念は、コペルニクス以前には説明できなかった天文現象を数学的に記述することを可能にします。停留点とは、天球上の惑星の見かけの軌道において、惑星の運動が停止したように見える点であり、その後、反対方向に再び動き始めます（見かけの逆行運動を参照）。これは、惑星の軌道が黄道円に投影されているためです。

転換点

微分可能関数の転換点とは、導関数が孤立した零点を持ち、その点で符号が変化する点である。[ 2 ]転換点は、相対的最大値または相対的最小値（極小値および極大値とも呼ばれる）のいずれかである。したがって、転換点は定常点であるが、すべての定常点が転換点となるわけではない。関数が2回微分可能である場合、転換点ではない孤立した定常点は水平変曲点となる。例えば、関数はx = 0に定常点を持つが、これも変曲点であるが、転換点ではない。[ 3 ]×↦×3{\displaystyle x\mapsto x^{3}}

分類

局所的極値と全体的極値がラベル付けされたグラフ。

実数値関数の孤立した停留点は、1次導関数テストによって4種類に分類されます。 C1{\displaystyle C^{1}}f:R→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }

  • 極小値（最小転換点または相対的最小値）とは、関数の導関数が負から正に変化する点です。
  • 極大値（最大転換点または相対的最大値）とは、関数の導関数が正から負に変化する点です。
鞍点（極大値でも極小値でもない静止点、つまり変曲点）です。左側は「上昇変曲点」（赤い点の両側で導関数が正）で、右側は「下降変曲点」（赤い点の両側で導関数が負）です。
  • 上昇変曲点（または屈曲点）とは、関数の導関数が停留点の両側で正となる点である。このような点は凹面の変化を示す。
  • 下降変曲点（または変曲点）とは、関数の導関数が停留点の両側で負になる点です。このような点は凹面の変化を示します。

最初の2つの選択肢は総称して「局所的極値」と呼ばれます。同様に、大域的（または絶対的）最大値または大域的（または絶対的）最小値となる点は、大域的（または絶対的）極値と呼ばれます。最後の2つの選択肢、つまり局所的極値ではない定常点は、鞍点と呼ばれます。

フェルマーの定理によれば、関数のグローバル極値は境界上または定常点で必ず発生します。 C1{\displaystyle C^{1}}

曲線スケッチ

3次多項式x 3 − 6 x 2 + 9 x − 4 (黒の実線)の根、停留点、変曲点、凹面度と、その1次導関数(赤の破線) と2次導関数(オレンジの点線) 。

停留点の位置と性質を決定することは、微分可能関数の曲線を描く際に役立ちます。方程式f ′ ( x ) = 0を解くと、すべての停留点のx座標が返されます。y座標は当然のことながら、それらのx座標における関数の値です。xにおける停留点の具体的な性質は、場合によっては2 次導関数f″ ( x ) を調べることで決定できます。

  • f″ ( x )<0の場合、 xにおける停留点は下に凹状になり、最大極値になります。
  • f″ ( x )>0の場合、 xにおける停留点は凹状になり、最小の極値になります。
  • f″ ( x ) = 0の場合、静止点の性質は他の手段、多くの場合はその点の周りの符号の変化に注目することによって決定する必要があります。

静止点の性質を判断するより簡単な方法は、静止点間の関数値を調べることです (関数が定義されていて、静止点間で連続している場合)。

変曲点の簡単な例として、関数f ( x ) = x 3が挙げられます。点x = 0 を中心として、関数 f は明らかに凹面性が変化します。これは微積分によって証明できます。 fの2階微分は、どこでも連続な 6 xであり、 x = 0 ではf″ = 0 となり、この点を中心として符号が変わります。したがって、x = 0 は変曲点です。

より一般的には、実数値関数の停留点とは、あらゆる方向の導関数がゼロになる点x 0、つまり勾配がゼロである点です。 f:Rn→R{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }

例

関数f ( x ) = x 4において、 f ′ (0) = 0 かつf″ (0) = 0 となります。 f″ (0) = 0であっても、この点は変曲点ではありません。これは、 f ′ ( x )の符号が負から正に変わるためです。

関数f ( x ) = sin ( x )において、 f ′ (0) ≠ 0 かつ f″ (0) = 0 となります。しかし、これは定常点ではなく、むしろ変曲点です。これは、凹面が下向きの凹面から上向きの凹面へと変化し、f ′ ( x ) の符号が変化せず、正のままとなるためです。

関数f ( x ) = x 3において、 f ′ (0) = 0 かつf″ (0) = 0 となります。これは停留点であると同時に変曲点でもあります。これは、凹面が下向きの凹面から上向きの凹面へと変化し、 f ′ ( x )の符号が変化せず、正のままであるためです。

関数f ( x ) = 0 の場合、f ′ (0) = 0 かつf″ (0) = 0 となります。点 0 は、 f ′ ( x ) とf″ ( x )の符号が変化しないため、転換点でも水平変曲点でもない、非孤立の静止点です。

関数f ( x ) = x 5 sin(1/ x ) ( x ≠ 0、f (0) = 0 の場合) は、f ′ ( x ) とf″ ( x ) が両方とも連続 ( f ′ (0) = 0 、 f″ (0) = 0 ) である例を示しますが、f ( x ) には極大値、極小値、または 0 での変曲点がありません。したがって、0は孤立していない停留点です。

参照

参考文献

  1. ^ Chiang, Alpha C. (1984). 『数理経済学の基礎的手法』（第3版）. ニューヨーク: McGraw-Hill. p.  236. ISBN 0-07-010813-7。
  2. ^ a bサドラー、デイビッド、シア、ジュリア、ウォード、デレク (2011)、「12 B 停留点と転換点」、ケンブリッジ2ユニット数学Year 11、ケンブリッジ大学出版局、p. 318、ISBN 9781107679573
  3. ^ a b「転換点と停留点」 TCS無料高校数学「ハウツーライブラリ」. 2011年10月30日閲覧。
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