シュタイナーの円錐問題

数え上げ幾何学において、シュタイナーの円錐問題とは、平面上の一般位置にある5つの円錐曲線に接する滑らかな円錐曲線の個数を求める問題である。この問題を複素射影平面CP 2上で考えると、正解は3264個となる。[1]この問題は、1848年にこの問題を初めて提起し、誤った解答を与えたヤコブ・シュタイナーにちなんで名付けられた。 [2]

歴史

シュタイナーは、一般的な位置にある双曲線が与えられたとき、5に接する双曲線の数は7776 = 6 5であると主張したが、後にこれが誤りであることを認識した。[3]正しい数3264は、1859年頃にエルネスト・ド・ジョンキエールによって発見されたが、シュタイナーの評判のために出版されなかった。また、シャスルは自身の特性理論を用いて[4]、1865年にはベルナーによっても発見された。しかし、これらの結果は、古典的な交差理論における他の多くの結果と同様に、 1978年頃のフルトンとマクファーソンの研究まで完全な証明は与えられていなかったようである。[5]

処方と解決策

複素射影平面CP 2の（おそらく退化している）円錐曲線の空間は、複素射影空間 CP 5と同一視できる（各円錐曲線は、6 つの複素係数を持つ 3 変数の同次 2 次多項式で定義され、そのような多項式に非ゼロの複素数を乗じても円錐曲線は変化しないため）。シュタイナーは、与えられた円錐曲線に接する円錐曲線がCP 5で次数 6 の超曲面を形成することを観察した。したがって、5 つの与えられた円錐曲線に接する円錐曲線は、5 つの次数 6 の超曲面の交点に対応し、ベズーの定理により、 5 つの一般的な次数 6 の超曲面の交点の数は 6 5  = 7776 となるが、これはシュタイナーの誤った解であった。これが誤りである理由は、5つの次数6の超曲面が一般位置になく、ヴェロネーゼ面において共通の交点を持つためである。この交点は平面上の二重直線の集合に対応し、これらの直線はすべて5つの円錐曲線と二重の交点を持つ。特に、これら5つの超曲面の交点は0次元ではなく、2次元成分を持つ。したがって、正しい答えを見つけるには、何らかの方法で、この計算から不必要な退化円錐曲線の平面を除外する必要がある。[6]

退化した円錐曲線を除去する一つの方法は、CP 5 をヴェロネーゼ面に沿って拡大することである。 [7]拡大されたチャウ環は H と E によって生成される。ここでHは超平面の全変換であり、Eは例外因子である。 6 次超曲面の全変換は 6 Hであり、シュタイナーは (6 H ) 5 = 6 5 P をH 5 = Pとして計算した（ここでPはチャウ環内の点の類）。しかし、円錐曲線の数は (6 H ) 5ではなく (6 H −2 E ) 5である。これは、与えられた円錐曲線に接する円錐曲線の超曲面の厳密な変換が 6 H −2 Eであるからである。

L = 2 H − Eが、与えられた直線に接する円錐曲線の厳密な変換であると仮定します。HとLの交点は、 H 5 =1 P 、 H 4 L = 2 P、H 3 L 2 =4 P、H 2 L 3 =4 P、H 1 L 4 =2 P、L 5 =1 Pで与えられます。したがって、(6 H −2 E ) 5 = (2 H +2 L ) 5 = 3264 Pとなります。

フルトンとマクファーソンは「一般位置」が何を意味するのかを正確に説明しました（ただし、このことに関する彼らの2つの命題は完全には正しくなく、論文の29ページの注釈で訂正されています）。[8] 5つの円錐曲線が

  • 5 つの円錐曲線のすべてがその直線に接するか、その直線上の 2 つの固定点のいずれかを通過するような直線は存在しません (そうでない場合は、5 つの円錐曲線すべてに接する「2 つのマークされた点を持つ二重線」が存在します)
  • 3 本の円錐曲線はどの点も通らない (そうでない場合は、この 3 つの交差点を通る 5 本の円錐曲線すべてに接する「2 つのマークされた点を持つ二重線」が存在します)
  • 2つの円錐曲線は接していない
  • 5つの円錐曲線のうち3つは直線に接していない
  • 2つの円錐曲線に接する2本の直線は、5番目の円錐曲線で交差しない（そうでない場合、この2本の直線は5つの円錐曲線すべてに接する退化した円錐曲線となる）

すると、5つの円錐曲線すべてに接する円錐曲線Cの総数（重複度を含めて）は3264個となる。ここで、重複度は5つの円錐曲線C iすべてについて（4 − CとC iの交点の数）の積で与えられる。特に、Cが5つの円錐曲線のそれぞれと正確に3点で交差する場合（1つの二重接点と他の2つの接点）、重複度は1となる。この条件が常に成立する場合、与えられた5つの円錐曲線に接する円錐曲線は正確に3264個存在する。

他の代数的に閉じた体でも答えは同様です。ただし、体に特性 2がある場合、双曲線の数は 3264 ではなく 51 になります。

参考文献

  1. ^ Bashelor, Andrew; Ksir, Amy; Traves, Will (2008)「円錐曲線の列挙代数幾何学」(PDF) , Amer. Math. Monthly , 115 (8): 701– 728, doi :10.1080/00029890.2008.11920584, JSTOR  27642583, MR  2456094
  2. ^ アイゼンバッド、デイビッド、ハリス、ジョー（2016）、3264とすべて：代数幾何学の第二講座、ケンブリッジ大学出版局、p.290、ISBN 978-1107602724
  3. ^ Steiner, J. (1848)、「Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, und über einige damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte」、J. Reine Angew.数学。、37 : 161–192​
  4. ^ Chasles、M. (1864)、「Construction des coniques qui Satisfont à cinque条件」、CR Acad.科学。パリ、58 : 297–308​
  5. ^ アイゼンバッド＆ハリス（2016）、292頁。
  6. ^ アイゼンバッド＆ハリス（2016）、291頁。
  7. ^ アイゼンバッド＆ハリス（2016）、291-292頁。
  8. ^ フルトン、ウィリアム; マクファーソン、ロバート (1978)、「代数的交差の定義」、代数幾何学 (Proc. Sympos., Univ. Tromsø, Tromsø, 1977)、数学講義ノート、第687巻、ベルリン: シュプリンガー、pp.  1– 30、doi :10.1007/BFb0062926、ISBN 978-3-540-08954-4、MR  0527228
  • Ghys、Étienne、TROIS MILLE DEUX CENT SOIXANTE-QUATRE… Comment Jean-Yves a récemment précisé un théorème de géométrie (フランス語)
  • ウェルシンガー、ジャン=イヴ (2006)、「ÉNUMÉRATION DE FRACTIONS RATIONNELLES RÉELLES」、Images des Mathématiques
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