スタインハート・ハート方程式

スタインハート・ハート方程式は、半導体の電気抵抗の変化と温度の変化を関連付けるモデルです。この方程式は

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=A+B\ln R+C(\ln R)^{3},}$

ここで

${\displaystyle T}$ は温度（ケルビン）、

${\displaystyle R}$ は抵抗（オーム）、${\displaystyle T}$

${\displaystyle A}$ 、、はスタインハート・ハート係数であり、対象となる特定の温度範囲におけるバルク半導体材料に固有の特性です。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

応用

サーミスタデバイスを温度測定に適用する場合、測定された抵抗とデバイスの温度の関係を表す式があります（逆もまた同様です）。

抵抗と特性から温度を求める

この方程式モデルは、サーミスタで実際に測定された抵抗を理論的なバルク温度に変換します。この方程式モデルは、より単純なモデルよりも実際の温度に近い近似値を示し、センサーの動作温度範囲全体にわたって有効です。特定の市販デバイスのスタインハート・ハート係数は、通常、サーミスタメーカーによってデバイス特性の一部として報告されています。

既知の温度での抵抗測定から特性を見つける

逆に、試験対象デバイスの3つのスタインハート・ハート係数が不明な場合は、様々な既知の温度における3つの測定値に曲線フィッティングを適用することで、実験的に導出できます。3つの温度抵抗の観測値が与えられれば、3つの連立方程式から係数を解きます。

逆方程式

特定の温度における半導体の抵抗を求めるには、スタインハート・ハート方程式の逆関数を使用する必要があります。アプリケーションノート「スタインハート・ハート方程式のA、B、C係数」を参照してください。

${\displaystyle R=\exp \left({\sqrt[{3}]{yx/2}}-{\sqrt[{3}]{y+x/2}}\right),}$

ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right),\\y&={\sqrt {\left({\frac {B}{3C}}\right)^{3}+{\frac {x^{2}}{4}}}}.\end{aligned}}}$

スタインハート・ハート係数

スタインハート・ハート係数を求めるには、少なくとも3つの動作点を知る必要があります。そのためには、3つの既知の温度に対する3つの抵抗データの値を使用します

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\ln R_{1}&\ln ^{3}R_{1}\\1&\ln R_{2}&\ln ^{3}R_{2}\\1&\ln R_{3}&\ln ^{3}R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{T_{1}}}\\{\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}}$

、および温度、および での抵抗値を用いると、 、および（すべての計算） を表すことができます。${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=\ln R_{1},\quad L_{2}=\ln R_{2},\quad L_{3}=\ln R_{3}\\Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\quad Y_{2}={\frac {1}{T_{2}}},\quad Y_{3}={\frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{L_{2}-L_{1}}},\quad \gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1}}}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\right)\left(L_{1}+L_{2}+L_{3}\right)^{-1}\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\left(L_{1}^{2}+L_{1}L_{2}+L_{2}^{2}\right)\\\Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{aligned}}}$

歴史

この式はジョン・S・スタインハートとスタンリー・R・ハートによって開発され、1968年に初めて発表されました。^{[ 1 ]}

導出と代替案

最も一般的な形の方程式は、Bパラメータ方程式を無限級数に 拡張することで導出できます

${\displaystyle R=R_{0}e^{B\left({\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T_{0}}}\right)}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {1}{T_{0}}}+{\frac {1}{B}}\left(\ln {\frac {R}{R_{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}\ln {\frac {R}{R_{0}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(\ln {\frac {R}{R_{0}}}\right)^{n}}$

${\displaystyle R_{0}}$ は基準抵抗値です。スタインハート・ハートの式では、1オームを仮定しています。この値を仮定し、例えば1 kΩなどの異なる値を用いると、曲線近似の精度は大幅に低下します。しかし、係数の完全なセットを用いることで、パラメータがシフトするだけなので、この問題は回避できます。^{[ 2 ]}${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle a_{2}=0}$ ${\displaystyle R_{0}}$

原著論文において、スタインハートとハートは、 を許容するとフィッティングが劣化すると述べている^{[ 1 ]} 。これは驚くべきことである。なぜなら、通常は を許容する方がフィッティングは改善するからである。これは、著者らがの代わりにをフィッティングしたため、 の誤差がの自由度の増加によって増加したためと考えられる^{[ 3 ]} 。その後の論文では、 を許容することの大きな利点が明らかにされている^{[ 4 ]}。${\displaystyle a_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$

この式は、数多くの式を試行錯誤して開発され、そのシンプルな形式と良好な適合性から選ばれた。^{[ 1 ]}しかし、元の形式では、スタインハート・ハートの式は現代の科学的測定には十分な精度ではない。少数の測定値を用いた補間では、 を用いた級数展開が、校正範囲全体で1 mK以内の精度であることが分かっている。一部の著者は の使用を推奨している。^{[ 4 ]}データ点が多い場合は、標準的な多項式回帰によっても正確な曲線近似を生成できる。一部のメーカーは、スタインハート・ハート係数の代替として回帰係数を提供し始めている。^{[ 5 ]}${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n=5}$

参考文献

1. John S. Steinhart、Stanley R. Hart、「サーミスターの校正曲線」、Deep-Sea Research and Oceanographic Abstracts、第15巻、第4号、1968年8月、497～503ページ、ISSN 0011-7471、doi : 10.1016/0011-7471(68) 90057-0
2. Matus, Michael (2011年10月).寸法計測における温度測定 - なぜSteinhart–Hart方程式がこれほどうまく機能するのか(PDF) . MacroScale 2011. ヴァーベルン、スイス.
3. Hoge, Harold J. (1988年6月1日). 「最小二乗法における有用な手順とサーミスタに関するいくつかの方程式の検定」 . Review of Scientific Instruments . 59 (6): 975–979 . doi : 10.1063/1.1139762 . ISSN 0034-6748 . 
4. Rudtsch, Steffen; von Rohden, Christoph (2015年12月1日). 「高精度温度測定のためのサーミスタの校正と自己検証」 . Measurement . 76 : 1–6 . doi : 10.1016/j.measurement.2015.07.028 . ISSN 0263-2241 . 2020年7月8日閲覧。 
5. 「Steinhart–Hart方程式に関するコメント」（PDF） . Building Automation Products Inc. 2015年11月11日. 2020年7月8日閲覧。

外部リンク

• スタインハート・ハート係数オンライン計算機
• スタインハート・ハート係数Java計算機