シュテファン・ボルツマンの法則
黒体から放出される全エネルギー は、その温度 の関数として表されます。上（黒）の曲線はシュテファン・ボルツマンの法則 を表します。下（青）の曲線は、ウィーン近似による全エネルギー を表します。j≡M∘{\displaystyle j\equiv M^{\circ}}T{\displaystyle T}M∘＝σT4{\displaystyle M^{\circ}=\sigma \,T^{4}}MW∘＝M∘/ζ（4）≈0.924σT4{\displaystyle M_{W}^{\circ }=M^{\circ }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,}

シュテファン・ボルツマンの法則（シュテファンの法則とも呼ばれる）は、物質から放出される熱放射の強度をその物質の温度で表す法則です。この法則は、この関係を経験的に導出したヨーゼフ・シュテファンと、理論的に導出したルートヴィヒ・ボルツマンにちなんで名付けられました。

理想的な吸収体/放射体、つまり黒体の場合、シュテファン・ボルツマンの法則によれば、単位時間あたり単位表面積あたりに放射される全エネルギー（放射発散度とも呼ばれる）は黒体の温度Tの 4 乗に正比例します。 M∘＝σT4。{\displaystyle M^{\circ}=\sigma \,T^{4}.}

比例定数はシュテファン・ボルツマン定数と呼ばれ、その値は σ{\displaystyle \sigma }

σ  = 5.670 374 419 ... × 10 −8  W⋅m −2 ⋅K −4 . [ 1 ]

一般的な場合、放射発散に関するシュテファン・ボルツマンの法則は次の式で表される： ここでは放射を放射する表面の放射率である。放射率は通常0と1の間である。放射率が1のときは黒体に相当する。 M＝εM∘＝εσT4、{\displaystyle M=\varepsilon \,M^{\circ }=\varepsilon \,\sigma \,T^{4},}ε{\displaystyle \varepsilon }

詳細な説明

放射発散度（以前は放射放射率と呼ばれていた）は、エネルギー流束（単位時間あたり単位面積あたりのエネルギー）の次元を持ち、 SI単位はジュール毎秒毎平方メートル（J⋅s −1 ⋅m −2）、または同等のワット毎平方メートル（W⋅m −2 ）である。[ 2 ]絶対温度TのSI単位はケルビン（K）である。 M{\displaystyle M}

物体から放射される全電力 を求めるには、放射発散度に物体の表面積 を掛けます。 P{\displaystyle P}あ{\displaystyle A}P＝あ⋅M＝あεσT4。{\displaystyle P=A\cdot M=A\,\varepsilon \,\sigma \,T^{4}.}

入射する放射をすべて吸収しない物質は、黒体よりも総エネルギーの放出量が少なくなります。放出量は係数 だけ減少します。ここで、放射率 は、ほとんどの物質において を満たす物質特性です。放射率は一般に、波長、方向、偏光に依存します。しかし、シュテファン・ボルツマンの法則の方向性のない形で現れる放射率は半球全放射率であり、これはすべての波長、方向、偏光にわたって放射を合計したものを反映します。[ 3 ] : 60 ε{\displaystyle \varepsilon }ε{\displaystyle \varepsilon }0≤ε≤1{\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 1}

放射率を含むシュテファン・ボルツマンの法則の形は、物質が局所熱力学的平衡（LTE）状態にあり、その温度が明確に定義されている限り、あらゆる物質に適用できます。[ 3 ]：66n、541 （放射率 は、この式を有効にする量として定義されているため、これは自明な結論です。自明ではないのは、キルヒホッフの熱放射の法則の帰結であるという命題です。[ 4 ]：385 ） ε{\displaystyle \varepsilon }ε≤1{\displaystyle \varepsilon \leq 1}

いわゆる灰色体は、スペクトル放射率が波長に依存せず、全放射率が定数となるような物体である。 [ 3 ] : 71 より一般的な（そして現実的な）場合では、スペクトル放射率は波長に依存する。 シュテファン・ボルツマンの法則に当てはまる全放射率は、黒体放射スペクトルを重み付け関数として用いた、スペクトル放射率の加重平均として計算することができる。したがって、スペクトル放射率が波長に依存する場合、全放射率は温度に依存する、すなわち となる。[ 3 ] : 60 ただし、波長への依存が小さければ、温度への依存も小さくなる。 ε{\displaystyle \varepsilon }ε＝ε（T）{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (T)}

波長および波長以下の粒子[ 5 ] 、メタマテリアル[ 6 ]、およびその他のナノ構造[ 7 ]は光線光学的制限を受けず、1を超える放射率を持つように設計することができます。

国内および国際規格文書では、記号 は放射出射率 を表すのに推奨されています。上付きの円 (°) は、黒体に対する相対的な用語を示します。[ 2 ]（エネルギー量 (放射測定) の放射出射率を、人間の視覚 (測光) の類似量である光出射率と区別することが重要な場合は、下付き文字の「e」が追加されます。[ 8 ]）一般的な用法では、放射出射率 (放射発散度と呼ばれることが多い) に使用される記号は、テキストや分野によって異なります。 M{\displaystyle M}Me{\displaystyle M_{\mathrm {e} }}Mv{\displaystyle M_{\mathrm {v} }}

シュテファン・ボルツマンの法則は、放射輝度を温度の関数として表す式として表すことができます。放射輝度は、ワット/平方メートル/ステラジアン（W⋅m −2 ⋅sr −1）で測定されます。黒体の放射輝度に関するシュテファン・ボルツマンの法則は以下のとおりです。[ 9 ] : 26 [ 10 ]LΩ∘＝M∘π＝σπT4。{\displaystyle L_{\Omega}^{\circ}={\frac {M^{\circ}}{\pi}}={\frac {\sigma}{\pi}}\,T^{4}.}

シュテファン・ボルツマンの法則は、放射エネルギー密度の式として次のように表される：[ 11 ] ここで、は光速である。 わe∘＝4cM∘＝4cσT4、{\displaystyle w_{\mathrm {e} }^{\circ }={\frac {4}{c}}\,M^{\circ }={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4},}c{\displaystyle c}

歴史

1864年、ジョン・ティンダルは白金フィラメントからの赤外線放射の測定値とフィラメントの対応する色を発表しました。[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 絶対温度の4乗への比例性は、 1877年にヨーゼフ・シュテファン（1835-1893）によって、ティンダルの実験測定に基づいて、ウィーン科学アカデミーのセッションの会報に掲載された記事「熱放射と温度の関係について」で推定されました。 [ 16 ]

この法則の理論的考察からの導出は、1884年にルートヴィヒ・ボルツマン（1844–1906）によって、アドルフォ・バルトリの研究を基に提示された。[ 17 ]バルトリは1876年に熱力学の原理から放射圧 の存在を導出していた。バルトリに倣い、ボルツマンは理想気体の代わりに電磁放射を作動物質として 用いる理想熱機関を考案した。

この法則はほぼ即座に実験的に検証された。 1888年にハインリヒ・ウェーバーは高温での偏差を指摘したが、1897年までに1535 Kの温度まで測定不確かさの範囲内で完全な精度が確認された。[ 18 ] この法則は、光速の関数としてのシュテファン・ボルツマン定数、ボルツマン定数、プランク定数の理論的予測を含め、 1900年に定式化されたプランクの法則の直接的な帰結である。

シュテファン・ボルツマン定数

シュテファン・ボルツマン定数σは、他の既知の物理定数から導かれる。 ここでkはボルツマン定数、hはプランク定数（縮小プランク定数）、cは真空中の光速である。[ 19 ] [ 4 ]：388 σ＝2π5け415c2h3＝π2け460c2ℏ3{\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60c^{2}\hbar ^{3}}}}ℏ＝h/2π{\textstyle \hbar =h/2\pi }

2019年のSI改訂では、 k、h、cの正確な固定値が定められており、シュテファン・ボルツマン定数は次のようになります 。したがって、 σ＝[2π5（1.380 649×10−23）415（2.997 924 58×108）2（6.626 070 15×10−34）3]Wメートル2⋅K4{\displaystyle \sigma =\left[{\frac {2\pi ^{5}\left(1.380\ 649\times 10^{-23}\right)^{4}}{15\left(2.997\ 924\ 58\times 10^{8}\right)^{2}\left(6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\right)^{3}}}\right]\,{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}{\cdot }\mathrm {K} ^{4}}}}

σ =5.670 374 419 ... × 10 −8  W⋅m −2 ⋅K −4（OEISの配列A081820）。

これに先立ち、の値は気体定数の測定値から計算されていました。[ 20 ]σ{\displaystyle \sigma }

シュテファン・ボルツマン定数の数値は、以下の表に示すように、他の単位系では異なります。

ステファン・ボルツマン定数、σ [ 21 ]
コンテクスト価値ユニット
SI5.670 374 419 ... × 10 −8W⋅m −2 ⋅K −4
CGS5.670 374 419 ... × 10 −5エルグ⋅cm −2 ⋅s −1 ⋅K −4
米国慣用単位1.713 441 ... × 10 −9BTU⋅時−1 ⋅フィート−2 ⋅°R −4
熱化学1.170 937 ... × 10 −7cal ⋅ cm −2 ⋅日−1 ⋅ K −4

例

太陽の温度

黒体温度に対するピーク発光波長と放射発散度の対数グラフ。赤い矢印は、5780 Kの黒体が501 nmのピークと63.3 MW/m 2の放射発散度を持つことを示しています。

ステファンは自身の法則を用いて、太陽表面の温度も決定した。 [ 22 ]彼はジャック＝ルイ・ソレ(1827–1890) [ 23 ]のデータから、太陽からのエネルギー流束密度はある温められた金属薄板(薄い板) のエネルギー流束密度の 29 倍であると推論した。測定装置から太陽と同じ角度で見える距離に円形の薄板を置いた。ソレは薄板の温度をおよそ 1900 °Cから 2000 °C と見積もった。ステファンは太陽からのエネルギー流束の 1/3 が地球の大気に吸収されると推測し、ソレの値の 3/2 倍の値を正しい太陽エネルギー流束として採用した。つまり 29 × 3/2 = 43.5 である。

大気吸収の正確な測定は1888年と1904年まで行われなかった。ステファンが得た温度は、それ以前の測定結果の中央値である1950℃と、熱力学的絶対値である2200Kであった。2.57⁻4⁻=43.5なので、太陽の温度はラメラの温度の2.57倍であるという法則から、ステファンは5430℃、つまり5700Kという値を得た。これが太陽の温度として初めて意味のある値であった。それ以前は、太陽の温度は最低1800℃から最高1000℃までの範囲であった。1300万 ℃ [ 24 ]と主張された。1800℃という下限値は、1838年にクロード・プイエ（1790-1868）がデュロン・プティの法則を用いて決定した。 [ 25 ] [ 26 ]プイエもまた、太陽の正確なエネルギーフラックスの半分の値を採用した。

星の温度

太陽以外の恒星の温度は、放出されるエネルギーを黒体放射として扱うことで、同様の方法で近似することができます。[ 27 ]つまり、 Lは光度、 σはシュテファン・ボルツマン定数、Rは恒星の半径、Tは有効温度です。この式を変形して温度を計算することができます。 あるいは、半径を計算することもできます。 L＝4πR2σT4{\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}}T＝L4πR2σ4{\displaystyle T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}}R＝L4πσT4{\displaystyle R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}}}

同じ式は、太陽に対する相対的なパラメータを計算するためにも簡略化できます。 ここでは太陽半径、などです。また、これらは表面積Aと放射出射率を用いて書き直すこともできます。 ここで、およびLL⊙＝（RR⊙）2（TT⊙）4TT⊙＝（LL⊙）1/4（R⊙R）1/2RR⊙＝（T⊙T）2（LL⊙）1/2{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}\\[1ex]{\frac {T}{T_{\odot }}}&=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}\left({\frac {R_{\odot }}{R}}\right)^{1/2}\\[1ex]{\frac {R}{R_{\odot }}}&=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}R⊙{\displaystyle R_{\odot }}M∘{\displaystyle M^{\circ }}L=AM∘M∘=LAA=LM∘{\displaystyle {\begin{aligned}L&=AM^{\circ }\\[1ex]M^{\circ }&={\frac {L}{A}}\\[1ex]A&={\frac {L}{M^{\circ }}}\end{aligned}}}A=4πR2{\displaystyle A=4\pi R^{2}}M∘=σT4.{\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}.}

シュテファン・ボルツマンの法則により、天文学者は恒星の半径を容易に推定することができます。この法則は、いわゆるホーキング放射におけるブラックホールの熱力学にも当てはまります。

地球の有効温度

同様に、黒体近似（地球自身のエネルギー生成は無視できるほど小さい）のもとで、太陽から受けるエネルギーと地球が放射するエネルギーを等しくすることで、地球の実効温度T ⊕を計算することができます。太陽の光度L ⊙は、以下の式で与えられます。 L⊙=4πR⊙2σT⊙4{\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}

地球では、このエネルギーは地球と太陽の間の距離である半径a 0の球を通過し、放射照度（単位面積あたりの受信電力）は次のように表されます。 E⊕=L⊙4πa02{\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}

地球の半径はR⊕なので、断面積は です。したがって、地球が吸収する 放射束（つまり太陽エネルギー）は次のように表されます。πR⊕2{\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}Φabs=πR⊕2×E⊕{\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }}

シュテファン・ボルツマンの法則は4乗を使用するため、交換を安定化させる効果があり、地球から放出されるフラックスは吸収されるフラックスと等しくなり、次の式で表される定常状態に近くなります。 4πR⊕2σT⊕4=πR⊕2×E⊕=πR⊕2×4πR⊙2σT⊙44πa02{\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}

T ⊕ は次のように求められます。 ここで、T ⊙は太陽の温度、R ⊙ は太陽の半径、a 0は地球と太陽の間の距離です。地球が大気を持たず、地球に降り注ぐすべての放射を完全に吸収すると仮定すると、地球表面の実効温度は6℃となります。 T⊕4=R⊙2T⊙44a02T⊕=T⊙×R⊙2a0=5780K×6.957×108m2×1.495 978 707×1011m≈279K{\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {6.957\times 10^{8}\;{\rm {m}} \over 2\times 1.495\ 978\ 707\times 10^{11}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}

地球のアルベドは0.3です。これは、地球に降り注ぐ太陽放射の30%が吸収されることなく宇宙空間に散乱されることを意味します。アルベドが温度に与える影響は、吸収されるエネルギーを0.7倍したものの、地球は依然として黒体として放射していると仮定することで近似できます（後者は実効温度の定義によるもので、ここでは実効温度を計算しています）。この近似値により、温度は0.7 1/4減少し、255 K（-18 °C、-1 °F）となります。[ 28 ] [ 29 ]

上記の温度は宇宙から見た地球の温度であり、地表温度ではなく、地表から高高度まで地球上のすべての放射天体の平均温度です。温室効果により、地球の実際の平均表面温度は約288 K（15 °C; 59 °F）で、実効温度の255 K（-18 °C; -1 °F）よりも高く、黒体の温度である279 K（6 °C; 43 °F）よりもさらに高くなります。

これまでの議論では、地球の表面全体が一定の温度であると仮定してきました。もう一つ興味深い疑問は、地球上の黒体表面が太陽光の照射と平衡状態に達したと仮定した場合、その表面の温度はどうなるかということです。これはもちろん、太陽が黒体表面に当たる角度と、太陽光がどれだけの空気を通過したかによって異なります。太陽が天頂にあり、表面が水平の場合、放射照度は1120 W/m 2にも達することがあります。[ 30 ]このとき、シュテファン・ボルツマンの法則によれば、温度は 102 °C（216 °F）となります。 (大気圏上では、温度はさらに高くなり、394 K (121 °C、250 °F) になります。) 地球の表面は、日中は平衡温度に達しようと「努め」ますが、大気によって冷却され、夜間は星の光や月の光で平衡温度に達しようと「努め」ますが、大気によって温められていると考えられます。 T=(1120 W/m2σ)1/4≈375 K{\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}

起源

エネルギー密度の熱力学的導出

放射を含んだ箱のエネルギー密度が に比例するという事実は、熱力学を用いて導くことができる。[ 31 ] [ 15 ]この導出は、放射圧pと内部エネルギー密度の関係を用いており、この関係は電磁応力エネルギーテンソルの形を用いて表すことができる。この関係は以下の通りである。 T4{\displaystyle T^{4}}u{\displaystyle u}p=u3.{\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}

ここで、基本的な熱力学関係 から、 を で割ってを固定する と、次の式が得られます。 dU=TdS−pdV,{\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}dV{\displaystyle dV}T{\displaystyle T}(∂U∂V)T=T(∂S∂V)T−p=T(∂p∂T)V−p.{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}

最後の等式は次のマクスウェルの関係から得られます。 (∂S∂V)T=(∂p∂T)V.{\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}

エネルギー密度の定義から、 放射のエネルギー密度は温度のみに依存するので、 U=uV{\displaystyle U=uV}(∂U∂V)T=u(∂V∂V)T=u.{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}

さて、等式は 代入後u=T(∂p∂T)V−p,{\displaystyle u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}(∂U∂V)T.{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.}

一方、圧力は単位面積あたりの運動量変化率です。光子の運動量はエネルギーを光速で割った値と同じなので、 係数1/3は運動量移動を容器の壁の法線に投影することから生じます。 u=T3(∂u∂T)V−u3,{\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},}

偏微分は（等式の片側で分離すれば）と の関係式としてのみ表せるため、偏微分は常微分に置き換えることができます。微分を分離すると等式は となり 、直ちにが 導かれます。ここで は何らかの積分定数です。 (∂u∂T)V{\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}u{\displaystyle u}T{\displaystyle T}du4u=dTT,{\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}u=AT4{\displaystyle u=AT^{4}}A{\displaystyle A}

プランクの法則からの導出

プランクの法則を用いてシュテファン・ボルツマンの法則を導出する。

この法則は、半球状に広がる小さな平坦な黒体表面を考えることで導出できます。この導出では球面座標系を用い、θ を天頂角、φ を方位角とします。また、小さな平坦な黒体表面は xy 平面上にあり、θ = π / 2となります。

黒体表面から放射される光の強度はプランクの法則によって 与え られ、 I(ν,T)=2hν3c21ehν/(kT)−1,{\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},}

この量は、周波数範囲νとν + dνの間で、面積 A の表面から立体角d Ωを通して放射される電力です。 I(ν,T) Acos⁡θ dν dΩ{\displaystyle I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega }

シュテファン・ボルツマンの法則は、放射体の単位面積あたりに放射される電力を与える。 PA=∫0∞I(ν,T)dν∫cos⁡θdΩ{\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega }

黒体はランベルト的である（つまりランベルトの余弦法則に従う） ため、余弦が現れることに注意してください。つまり、球面上で観測される強度は、実際の強度に天頂角の余弦を乗じた値になります。シュテファン・ボルツマンの法則を導くには、半球面上で積分し、0から∞まで積分する必要があります。 dΩ=sin⁡θdθdφ{\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }ν{\displaystyle \nu }

PA=∫0∞I(ν,T)dν∫02πdφ∫0π/2cos⁡θsin⁡θdθ=π∫0∞I(ν,T)dν{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}

次にIを代入します。 PA=2πhc2∫0∞ν3ehνkT−1dν{\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }

この積分を評価するには、次の 置換を実行します 。u=hνkTdu=hkTdν{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}PA=2πhc2(kTh)4∫0∞u3eu−1du.{\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}

右辺の積分は標準的な積分であり、様々な名前で呼ばれます。ボーズ・アインシュタイン積分、多重対数、リーマンゼータ関数 の特殊なケースです。積分の値は（ここでガンマ関数は）であり、完全な黒体表面の場合、次の式が得られます。 ζ(s){\displaystyle \zeta (s)}Γ(4)ζ(4)=π415{\displaystyle \Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}Γ(s){\displaystyle \Gamma (s)}M∘=σT4 ,  σ=2π5k415c2h3=π2k460ℏ3c2.{\displaystyle M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}

最後に、この証明は小さな平面のみを前提としていました。しかし、微分可能な面はどれも小さな平面の集合で近似できます。表面の形状が黒体自身の放射の再吸収を引き起こさない限り、放射されるエネルギーの総量は各表面から放射されるエネルギーの総和に等しく、また、表面積の総和は各表面の面積の総和に等しくなります。したがって、表面全体が均一な温度である限り、この法則はすべての凸型黒体にも当てはまります。この法則は、黒体の凸包がそれ自体が黒体であるかのように放射する という事実を用いることで、非凸型物体からの放射にも適用されます。

エネルギー密度

総エネルギー密度U も同様に計算できますが、積分は球全体にわたって行われ、余弦は存在せず、エネルギー フラックス (U c) を速度cで割ってエネルギー密度Uを求めます。 したがって、は に置き換えられ、追加の係数 4 が与えられます。 U=1c∫0∞I(ν,T)dν∫dΩ{\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega }∫0π/2cos⁡θsin⁡θdθ{\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }∫0πsin⁡θdθ{\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }

したがって、合計すると、 この積は放射定数または放射密度定数と呼ばれることもあります。[ 32 ] [ 33 ]U=4cσT4{\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}4cσ{\displaystyle {\frac {4}{c}}\sigma }

光子による分解

シュテファン・ボルツマンの法則は次のように表される[ 34 ]。 ここで光子束は次のように与えられ 、光子あたりの平均エネルギーは次のように与えられる。 M∘=σT4=Nphot⟨Ephot⟩{\displaystyle M^{\circ }=\sigma \,T^{4}=N_{\mathrm {phot} }\,\langle E_{\mathrm {phot} }\rangle }Nphot{\displaystyle N_{\mathrm {phot} }}Nphot=π∫0∞Bνhνdν{\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{h\nu }}\,\mathrm {d} \nu }Nphot=(1.5205×1015photons⋅s−1⋅m−2⋅K−3)⋅T3{\displaystyle N_{\mathrm {phot} }=\left({1.5205\times 10^{15}}\;{\textrm {photons}}{\cdot }{\textrm {s}}^{-1}{\cdot }{\textrm {m}}^{-2}{\cdot }\mathrm {K} ^{-3}\right)\cdot T^{3}}⟨Ephot⟩{\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }⟨Ephot⟩=π430ζ(3)kT=(3.7294×10−23J⋅K−1)⋅T.{\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T=\left({3.7294\times 10^{-23}}\mathrm {J} {\cdot }\mathrm {K} ^{-1}\right)\cdot T\,.}

マールとウィルキン（2012）は、学生にウィーンの変位法則を教える代わりにについて教えることを推奨しており、上記の分解はシュテファン・ボルツマンの法則を教えるときに教えることを推奨している。[ 34 ]⟨Ephot⟩{\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle }

参照

注記

  1. ^ 「2022 CODATA値：シュテファン・ボルツマン定数」。定数、単位、不確かさに関するNISTリファレンス。NIST。2024年5月。 2024年5月18日閲覧。
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参考文献

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