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歪み
その他の名前	ひずみテンソル
SI単位	1
その他のユニット	%
SI基本単位では	m/m
座標変換における動作	テンソル
寸法	${\displaystyle 1}$

シリーズの一部
連続体力学
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ フィックの拡散の法則
法律 保全 質量 勢い エネルギー 不平等 クラウジウス・デュエム（エントロピー）
固体力学 変形 弾性 リニア 可塑性 フックの法則 ストレス 歪み 有限ひずみ 微小ひずみ 互換性 曲げ 接触力学 摩擦 材料破壊理論 破壊力学
流体力学 体液 静力学 ・ 動力学 アルキメデスの原理 · ベルヌーイの原理 ナビエ・ストークス方程式 ポアズイユの式 · パスカルの法則 粘度 （ニュートン力学 ・ 非ニュートン力学） 浮力 ・ 混合 ・ 圧力 液体 接着 毛細管現象 クロマトグラフィー 凝集力（化学） 表面張力 ガス 雰囲気 ボイルの法則 シャルルの法則 結合気体の法則 フィックの法則 ゲイ＝リュサックの法則 グラハムの法則 プラズマ
レオロジー 粘弾性 レオメトリー レオメーター スマート流体 電気粘性 磁気レオロジー 磁性流体
科学者たち ベルヌーイ ボイル コーシー チャールズ オイラー フィック ゲイ＝リュサック グラハム フック ニュートン ナビエ ノル パスカル ストークス トゥルーズデル
v t e

力学において、ひずみは基準位置に対する相対的な変形として定義されます。ひずみ場の表現は、物体の初期配置を基準に定義するか、最終配置を基準に定義するか、また計量テンソルを基準にするか、その双対を基準にするかによって、異なる等価な表現が考えられます。

ひずみは長さの比の次元を持ち、SI基本単位はメートル/メートル (m/m) です。したがって、ひずみは無次元であり、通常は小数またはパーセンテージで表されます。 また、百万分率や十億分率（それぞれ「マイクロひずみ」および「ナノひずみ」と呼ばれることもあります）などの「 parts-per」表記も使用され、これらはそれぞれμm /m およびnm /mに相当します。

ひずみは変位の空間微分として定式化できる。 ここで、Iは恒等テンソルである。物体の変位はx = F ( X )の形で表すことができる。ここで、Xは物体の質点の基準位置である。変位の単位は長さであり、剛体運動（並進および回転）と物体の変形（形状およびサイズの変化）を区別しない。一様並進の空間微分は0であるため、ひずみは与えられた変位が剛体運動と局所的にどれだけ異なるかを測定する。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},}$$

ひずみは一般にテンソル量です。ひずみに関する物理的な洞察は、与えられたひずみが法線成分とせん断成分に分解できることを観察することによって得られます。変形体における、材料の線要素または繊維に沿った伸張または圧縮の量は法線ひずみであり、平面層同士の滑りに伴う歪みの量はせん断ひずみです。^{[ 2 ]}これは、伸長、短縮、体積変化、または角度歪みによって適用できます。^{[ 3 ]}

連続体のある物質点におけるひずみの状態は、その点を通過する物質線または繊維の長さの変化の総和（法線ひずみ）と、その点から放射状に広がる、互いに直交する2本の線の間の角度の変化の総和（せん断ひずみ）として定義されます。ただし、互いに直交する3方向のひずみの法線成分とせん断成分を知るだけで十分です。

材料ラインの長さが増加する場合、その法線ひずみは引張ひずみと呼ばれます。一方、材料ラインの長さが減少または圧縮される場合、その法線ひずみは圧縮ひずみと呼ばれます。

ひずみの量、つまり局所的な変形に応じて、変形の分析は次の 3 つの変形理論に分けられます。

• 有限ひずみ理論（大ひずみ理論、大変形理論とも呼ばれる）は、回転とひずみが任意に大きい変形を扱います。この場合、連続体の変形前の状態と変形後の状態は大きく異なり、明確に区別する必要があります。これは、エラストマー、塑性変形材料、その他の流体、そして生物学的軟組織においてよく見られます。
• 微小ひずみ理論は、微小ひずみ理論、微小変形理論、微小変位理論、あるいは微小変位勾配理論とも呼ばれ、ひずみと回転が共に小さい場合に適用されます。この場合、物体の変形前と変形後の構造は同一であると仮定できます。微小ひずみ理論は、コンクリートや鋼鉄など、機械工学や土木工学の分野で用いられる材料など、弾性挙動を示す材料の変形解析に用いられます。
• 大変位理論または大回転理論では、ひずみは小さいが回転と変位は大きいと想定されます。

これらの理論ではそれぞれ、ひずみの定義が異なります。工学ひずみは、機械工学や構造工学で使用される、ごく小さな変形を受ける材料に適用される最も一般的な定義です。一方、エラストマーやポリマーなど、大きな変形を受ける材料には、工学的なひずみの定義は適用できません。例えば、典型的な工学ひずみは1%を超えます。^{[ 4 ]}そのため、伸張、対数ひずみ、グリーンひずみ、アルマンシひずみなど、より複雑なひずみの定義が必要になります。

工学ひずみ（コーシーひずみとも呼ばれる）は、力が加えられる物質本体の初期寸法に対する総変形量の比として表されます。軸方向に荷重がかかった物質の線要素または繊維の場合、その伸びによって工学垂直ひずみまたは工学伸長ひずみ eが生じます。これは、線要素または繊維の元の長さL （メートル/メートル）の単位あたりの相対伸びまたは長さの変化Δ Lに等しくなります。材料の繊維が引き伸ばされている場合、垂直ひずみは正で、圧縮されている場合は負です。したがって、 となり 、ここでeは工学垂直ひずみ、Lは繊維の元の長さ、lは繊維の最終的な長さです。 $${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}$$

真せん断ひずみは、変形前の状態、すなわち初期状態において互いに直交する2つの材料線要素間の角度（ラジアン単位）の変化として定義されます。工学せん断ひずみは、この角度の接線として定義され、最大変形長を力作用面における垂直長さで割った値に等しく、これにより計算が容易になる場合があります。

伸長比（記号λ）は、軸方向に荷重を受けた差動線要素の伸長ひずみまたは法線ひずみに関連する代替指標です。これは、材料線の 初期長さLと最終長さlの比として定義されます。$${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

伸長率 λ は、工学ひずみeと次の 式で関連しています 。この式は、法線ひずみがゼロで変形がない場合、伸長率は 1 に等しいことを意味します。 $${\displaystyle e=\lambda -1}$$

伸張比は、エラストマーなどの大きな変形を示す材料の解析に用いられます。エラストマーは、破断するまでに3～4の伸張比に耐えることができます。一方、コンクリートや鋼鉄などの従来の工学材料は、はるかに低い伸張比で破断します。

対数ひずみ εは、真ひずみまたはヘンキーひずみとも呼ばれます。^{[ 5 ]}増分ひずみ（ルドヴィクひずみ）を考慮すると、 対数ひずみはこの増分ひずみを積分することで得られます。 ここで、eは工学ひずみです。対数ひずみは、ひずみ経路の影響を考慮し、一連の増分で変形が発生した場合の最終的なひずみの正確な測定値を提供します。^{[ 2 ]}$${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}}$$

グリーン株は次のように定義されます: $${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

オイラー・アルマンシひずみは次のように定義される。 $${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

（微小）ひずみテンソル（記号）は、国際力学標準規格（ISQ）、より具体的にはISO 80000-4（力学）において、「応力によって引き起こされる物質の変形を表すテンソル量。ひずみテンソルは対称で、3つの線形ひずみと3つのせん断ひずみ（直交座標）成分を持つ。」と定義されている。 ^{[ 6 ]} ISO 80000-4 ではさらに、線形ひずみを「物体の長さの変化とその長さの商」、せん断ひずみを「層の2つの表面の平行変位とその層の厚さの商」と定義している。^{[ 6 ]}したがって、ひずみは法線ひずみまたはせん断ひずみ に分類される。法線ひずみは要素の面に対して垂直であり、せん断ひずみは面に対して平行である。これらの定義は、法線応力およびせん断応力の定義と一致している。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

ひずみテンソルは、法線成分とせん断成分で次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

dx × dyの寸法を持つ2次元の微小長方形材料要素を考えます。この要素は変形後、菱形になります。変形は変位場 uによって記述されます。隣接する図の幾何学から 、 次式が成り立ちます。変位勾配が非常に小さい場合、および の導関数の2乗は無視でき、次式が成り立ちます。 $${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle u_{x}}$$${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

フックの法則に従う等方性材料の場合、垂直応力は垂直ひずみを引き起こします。垂直ひずみは膨張を生み出します。

長方形要素の x方向の法線ひずみは次のように定義されます。同様に、 y方向とz方向 の法線ひずみは次のようになります。$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

工学的せん断ひずみ（γ _xy ）は、線ACと線AB間の角度の変化として定義されます。したがって、 $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

図の幾何学から、 変位勾配が小さい場合、次の関係が 成り立ちます 。回転が小さい場合、すなわちαとβが≪1の場合、 tan α ≈ α、tan β ≈ βが成り立ちます。したがって、 x とy 、およびu _xとu _y を入れ替えると、 γ _xy = γ _yxとなります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

同様に、yz平面とxz平面では、 $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

変位に関連するひずみ場は、任意の点において、その点を通過する任意にパラメータ化された曲線の速度を表す接線ベクトルの長さの変化によって定義されます。フレシェ、フォン・ノイマン、ジョルダンによる基本的な幾何学的結果は、接線ベクトルの長さがノルムの公理と平行四辺形法則を満たす場合、ベクトルの長さは、分極公式によって計量テンソルと呼ばれる正定値双線形写像に関連付けられた二次形式の値の平方根であることを示しています。

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