戦略的補完
Game theory concept

経済学とゲーム理論において、2人以上のプレイヤーの意思決定が相互に強化し合う場合、戦略的補完関係と呼ばれ、相互に相殺し合う場合、戦略的代替関係と呼ばれます。これらの用語は、もともとBulow、Geanakoplos、Klemperer（1985）によって造語されました。[1]

「強化する」または「相殺する」が何を意味するかを理解するために、Bulow らの論文のように、プレーヤー全員が同様の選択をしなければならない状況を考えてみましょう。この状況では、プレーヤーはすべて不完全競争企業であり、それぞれが生産量を決めなければなりません。ある企業の生産量が増加すると他の企業の限界収入が増加する場合、生産に関する決定は戦略的補完となります。なぜなら、それにより、他の企業にも生産量を増やすインセンティブが与えられるからです。これは、規模の経済性に関する集計的な収穫逓増が十分に強い場合や、企業製品の需要曲線の自己価格弾力性が十分に低い場合に当てはまる傾向があります。一方、ある企業の生産量の増加が他の企業の限界収入を減少させ、生産量を減らすインセンティブを与える場合、生産に関する決定は戦略的代替となります。

ラッセル・クーパーとアンドリュー・ジョンによれば、戦略的補完性は調整ゲームにおける多重均衡の例の根底にある基本的な性質である。[2]

微積分の定式化

数学的には、2人のプレイヤーがそれぞれ利得関数 を持つ対称ゲームを考えてみましょう。ここで、はプレイヤー自身の決定を表し、 は他のプレイヤーの決定を表します。 はプレイヤー自身の戦略 において増加し凹であると仮定します。これらの仮定の下で、各プレイヤー自身の決定の増加が他のプレイヤーの限界利得を上昇させる場合、2つの決定は戦略的補完関係にあります。言い換えれば、 の2階導関数が正である場合、2つの決定は戦略的補完関係にあります。これは、関数がスーパーモジュラー であることを意味します。 Π ( x i , x j ) {\displaystyle \,\Pi (x_{i},x_{j})} x i {\displaystyle \,x_{i}} x j {\displaystyle \,x_{j}} Π {\displaystyle \,\Pi } x i {\displaystyle \,x_{i}} x i {\displaystyle \,x_{i}} ∂ Π j ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{j}}{\partial x_{j}}}} ∂ 2 Π j ∂ x j ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}} i ≠ j {\displaystyle i\neq j} Π {\displaystyle \,\Pi }

一方、が負の場合、つまりがサブモジュラの場合、決定は戦略的代替となります。 ∂ 2 Π j ∂ x j ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}} Π {\displaystyle \,\Pi }

例

ビュローらは原著論文で、2つの企業間の競争に関する単純なモデルを用いて、自らの考えを説明している。生産率を基準とした企業xの収益は、次のように表される 。 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})}

U x ( x 1 , x 2 ; y 2 ) = p 1 x 1 + ( 1 − x 2 − y 2 ) x 2 − ( x 1 + x 2 ) 2 / 2 − F {\displaystyle U_{x}(x_{1},x_{2};y_{2})=p_{1}x_{1}+(1-x_{2}-y_{2})x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}/2-F}

一方、市場2の 生産率を持つ企業yの収益は次のように与えられる。 y 2 {\displaystyle y_{2}}

U y ( y 2 ; x 1 , x 2 ) = ( 1 − x 2 − y 2 ) y 2 − y 2 2 / 2 − F {\displaystyle U_{y}(y_{2};x_{1},x_{2})=(1-x_{2}-y_{2})y_{2}-y_{2}^{2}/2-F}

任意の 内部平衡において、 ( x 1 ∗ , x 2 ∗ , y 2 ∗ ) {\displaystyle (x_{1}^{*},x_{2}^{*},y_{2}^{*})}

∂ U x ∂ x 1 = 0 , ∂ U x ∂ x 2 = 0 , ∂ U y ∂ y 2 = 0. {\displaystyle {\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{1}}}=0,{\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{2}}}=0,{\dfrac {\partial U_{y}}{\partial y_{2}}}=0.}

ベクトル解析、幾何代数、微分幾何学を用いて、Bulow らは、クールノー均衡の変化に対する感度が、ペイオフ関数の 2 番目の偏導関数で計算できることを示しました。 p 1 {\displaystyle p_{1}}

[ d x 1 ∗ d p 1 d x 2 ∗ d p 1 d y 2 ∗ d p 1 ] = [ ∂ 2 U x ∂ x 1 ∂ x 1 ∂ 2 U x ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 U x ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ 2 U x ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 U x ∂ x 2 ∂ x 2 ∂ 2 U x ∂ y 2 ∂ x 2 ∂ 2 U y ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ 2 U y ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ 2 U y ∂ y 2 ∂ y 2 ] − 1 [ − ∂ 2 U x ∂ p 1 ∂ x 1 − ∂ 2 U x ∂ p 1 ∂ x 2 − ∂ 2 U y ∂ p 1 ∂ y 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial y_{2}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{2}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial y_{2}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{1}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial p_{1}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}}

いつ、 1 / 4 ≤ p 1 ≤ 2 / 3 {\displaystyle 1/4\leq p_{1}\leq 2/3}

[ d x 1 ∗ d p 1 d x 2 ∗ d p 1 d y 2 ∗ d p 1 ] = [ − 1 − 1 0 − 1 − 3 − 1 0 − 1 − 3 ] − 1 [ − 1 0 0 ] = 1 5 [ 8 − 3 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&0\\-1&-3&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}8\\-3\\1\end{bmatrix}}}

これは、市場1で価格が上昇すると、企業xは市場1での販売量を増やし、市場2での販売量を減らす一方で、企業y​​は市場2での販売量を増やすというものである。このモデルのクールノー均衡を明示的に計算すると、

x 1 ∗ = max { 0 , 8 p 1 − 2 5 } , x 2 ∗ = max { 0 , 2 − 3 p 1 5 } , y 2 ∗ = p 1 + 1 5 . {\displaystyle x_{1}^{*}=\max \left\{0,{\frac {8p_{1}-2}{5}}\right\},x_{2}^{*}=\max \left\{0,{\frac {2-3p_{1}}{5}}\right\},y_{2}^{*}={\frac {p_{1}+1}{5}}.}

スーパーモジュラーゲーム

戦略的補完を持つゲームは、スーパーモジュラーゲームとも呼ばれます。これは最初にトプキス[3]によって形式化され、ヴィヴェス[4]によって研究されました。このようなゲームにおいて、純粋戦略ナッシュ均衡を見つけるための効率的なアルゴリズムが存在します。[5] [6]

スーパーモジュラー ゲームは、戦略的補完性の原則により、プレイヤーの最適な応答関数が単調 (非減少) になることが保証されるため、特に重要かつ行儀の良いゲーム クラスです。

参照

参考文献

  1. ^ Bulow, Jeremy I.; Geanakoplos, John D.; Klemperer, Paul D. (1985). 「多市場寡占：戦略的代替と補完」. Journal of Political Economy . 93 (3): 488– 511. doi :10.1086/261312. ISSN  0022-3808. JSTOR  1832005.
  2. ^ ラッセル・クーパーとアンドリュー・ジョン（1988年）「ケインズモデルにおける調整の失敗の調整」季刊経済学103（3）、pp.441-63。
  3. ^ Topkis, Donald M. (1979-11-01). 「非零和n人劣モジュラーゲームにおける均衡点」 . SIAM Journal on Control and Optimization . 17 (6): 773– 787. doi :10.1137/0317054. ISSN  0363-0129.
  4. ^ Vives, Xavier (1990-01-01). 「戦略的補完性を持つナッシュ均衡」 . Journal of Mathematical Economics . 19 (3​​): 305– 321. doi :10.1016/0304-4068(90)90005-T. ISSN  0304-4068.
  5. ^ エチェニケ、フェデリコ (2007-07-01). 「戦略的補完ゲームにおけるすべての均衡点の発見」 .経済理論ジャーナル. 135 (1): 514– 532. doi :10.1016/j.jet.2006.06.001. ISSN  0022-0531.
  6. ^ Dang, Chuangyin; Qi, Qi; Ye, Yinyu (2020). 「タルスキの不動点とスーパーモジュラーゲームの計算と複雑性」arXiv : 2005.09836 [cs.GT].
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