厳密に特異な演算子

数学の一分野である関数解析において、厳密に特異な演算子は、任意の無限次元部分空間上で下方に有界でない、ノルム空間間の 有界線型演算子 です。

定義。

XとYをノルム線型空間とし、B(X,Y)をの形をした有界作用素の空間とします。を任意の部分集合とします。任意の に対して不等式が成り立つような定数が存在する場合、 Tはの下で有界であるといえます。A =Xのとき、単にT はの下で有界であるといえます。 ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|}$

ここで、XとYをバナッハ空間とし、 とをそれぞれの恒等作用素とします。が任意の に対してフレドホルム作用素となるとき、作用素は非本質的と呼ばれます。同様に、Tが非本質的となるのは、 が任意の に対してフレドホルムとなるときです。におけるすべての非本質的作用素の集合を と表記します。 ${\displaystyle Id_{X}\in B(X)}$ ${\displaystyle Id_{Y}\in B(Y)}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle Id_{X}-ST}$ ${\displaystyle S\in B(Y,X)}$ ${\displaystyle Id_{Y}-TS}$ ${\displaystyle S\in B(Y,X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

演算子は、 Xの任意の無限次元部分空間上で下方に有界にならないときはいつでも、厳密に特異であるという。におけるすべての厳密に特異な演算子の集合を で表す。各 に対して が存在し、を満たすXのすべての部分空間Eに対して が存在するときはいつでも、 が有限に厳密に特異であるという。におけるすべての有限に厳密に特異な演算子の集合を で表す。 ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\text{dim}}(E)\geq n}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \|Tx\|<\epsilon \|x\|}$ ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

Xの閉単位球を で表す。がYの相対的にノルムコンパクトな部分集合であるとき、演算子はコンパクトであり、 はそのようなコンパクト演算子全体の集合で表される。 ${\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$

プロパティ。

厳密に特異な作用素は、コンパクト作用素の一般化と見なすことができます。なぜなら、すべてのコンパクト作用素は厳密に特異だからです。これら2つのクラスは、いくつかの重要な性質を共有しています。例えば、Xがバナッハ空間であり、TがB(X)内の厳密に特異な作用素である場合、そのスペクトル は以下の性質を満たします。(i)の濃度は最大でも可算である。(ii) （ Xが有限次元である自明な場合を除く）(iii)の唯一の可能な極限点はゼロである。 (iv) すべての非ゼロは固有値である。(i)～(iv)からなるこの同じ「スペクトル定理」は、B(X)内の非本質的作用素に対しても満たされます。 ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$

クラス、、、 はすべてノルム閉作用素イデアルを形成する。これは、XとYがバナッハ空間であるときはいつでも、成分空間、、、 がそれぞれB(X,Y)の（作用素ノルムにおける）閉部分空間であり、これらのクラスは任意の有界線型作用素との合成に対して不変であることを意味する。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$

一般に、 が成り立ち、 XとYの選択に応じて、それぞれの包含関係は厳密である場合もそうでない場合もあります。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}$

例。

,に対して、すべての有界線型写像 は厳密に特異である。ここで、およびは列空間である。同様に、に対して、すべての有界線型写像および は厳密に特異である。ここで、はゼロ収束する列のバナッハ空間である。これはピットの定理の系であり、 q  <  pに対して、そのようなTはコンパクトであるというものである。 ${\displaystyle T:\ell _{p}\to \ell _{q}}$ ${\displaystyle 1\leq q,p<\infty }$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \ell _{q}}$ ${\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}$ ${\displaystyle T:\ell _{p}\to c_{0}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle c_{0}}$

の場合、形式的な恒等作用素は有限厳密特異ですが、コンパクトではありません。 の場合、 、のコピー上で一様下界となる「ペルチンスキー作用素」が存在し、したがって厳密特異ですが有限厳密特異ではありません。この場合、 が成り立ちます。しかし、余域を持つすべての非本質的作用素は厳密特異であるため、 が成り立ちます。一方、X が任意の可分バナッハ空間である場合、そのいずれもが非本質的であるが厳密特異ではない、下界となる作用素が存在します。したがって、特にすべての に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle 1\leq p<q<\infty }$ ${\displaystyle I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})}$ ${\displaystyle 1<p<q<\infty }$ ${\displaystyle B(\ell _{p},\ell _{q})}$ ${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}$ ${\displaystyle \ell _{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}$ ${\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

二重性。

コンパクト演算子は対称イデアルを形成します。これはの場合に限り成り立ちます。しかし、クラス、、 の場合はそうではありません。双対関係を確立するために、追加のクラスを導入します。 ${\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}$ ${\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Z がバナッハ空間Yの閉部分空間である場合、自然写像 によって定義される「標準的な」全射が 存在する。Yの無限余次元閉部分空間Zが与えられたとき、その写像が射影的でない場合、その作用素は厳密に余特異であると呼ばれる。B (X,Y)における厳密に余特異な作用素の部分空間を で表す。 ${\displaystyle Q_{Z}:Y\to Y/Z}$ ${\displaystyle y\mapsto y+Z}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle Q_{Z}T}$ ${\displaystyle {\mathcal {SCS}}(X,Y)}$

定理1. XとYをバナッハ空間とし、T*が厳密に特異（または 厳密に余弦）であれば、 Tは厳密に余弦（または厳密に特異）である。 ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$

厳密に特異な作用素であっても、その随伴項が厳密に特異でも厳密に余特異でもない例があることに注意されたい（Plichko, 2004 参照）。同様に、厳密に余特異な作用素であっても、随伴項が厳密に特異ではない例も存在する（例えば、包含写像）。したがって、 はと完全な双対性を持たない。 ${\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SCS}}}$

定理2. XとYをバナッハ空間と し、T*が非本質的であればTも非本質的である。 ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$

参考文献

アイエナ、ピエトロ、フレドホルムと局所スペクトル理論、乗数への応用（2004年）、ISBN 1-4020-1830-4。

Plichko, Anatolij、「超特異演算子と超特異演算子」、North-Holland Mathematics Studies 197 (2004)、pp239-255。