強いモナド

圏論では、強いモナドとは、モノイド圏上のモナドであり、強さと呼ばれる追加の自然変換を持ち、これがモナドがモノイド積とどのように相互作用するかを制御します。

強いモナドは理論計算機科学において、副作用のある計算をモデル化するために重要な役割を果たしている。^{[ 1 ]}

定義

（左）強モナドとは、モノイド圏（C ,⊗,I）上のモナド（T ,η,μ）と、自然変換t _A,B  : A⊗TB → T（A⊗B ）（テンソル）左強モナドと呼ばれるもので、図式が

、、​

そして

すべての物体A、B、Cについて可換です

可換な強いモナド

対称モノイド圏上のすべての強いモナドTに対して、右強度自然変換は次のように定義できます

$${\displaystyle t'_{A,B}=T(\gamma _{B,A})\circ t_{B,A}\circ \gamma _{TA,B}:TA\otimes B\to T(A\otimes B).}$$

強いモナドTは、図

すべてのオブジェクトおよびに対して可換です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

性質

可換モナドのクライスリ圏は標準的な方法で対称モノイド的である。Guitart [2] の系7とPower & Robison [3] の系4.3を参照。モナド^が強いが必ずしも^可換ではない場合、そのクライスリ圏は前モノイド的圏である

可換強モナドに関する興味深い事実の一つは、それが対称モノイドモナドと「同じ」であるということである。^{[ 4 ]}より明確に言えば、

• 可換な強いモナドは対称的なモノイドモナドを定義する。${\displaystyle (T,\eta,\mu,t)}$ ${\displaystyle (T,\eta,\mu,m)}$ $${\displaystyle m_{A,B}=\mu _{A\otimes B}\circ Tt'_{A,B}\circ t_{TA,B}:TA\otimes TB\to T(A\otimes B)}$$
• 逆に対称モノイドモナドは可換な強いモナドを次のように定義する。${\displaystyle (T,\eta,\mu,m)}$ ${\displaystyle (T,\eta,\mu,t)}$ $${\displaystyle t_{A,B}=m_{A,B}\circ (\eta _{A}\otimes 1_{TB}):A\otimes TB\to T(A\otimes B)}$$

そして、一方のプレゼンテーションと他方のプレゼンテーション間の変換は単射です。

参考文献

1. Moggi, Eugenio (1991年7月). 「計算とモナドの概念」(PDF) .情報と計算. 93 (1): 55– 92. doi : 10.1016/0890-5401(91)90052-4 .
2. ルネ・ギタート (1980). 「テンスールと機械」。カイエのトポロジーと幾何学的な違い。21 (1 ) : 5–62。ISSN 2681-2398 。 
3. Power, John; Robinson, Edmund (1997年10月). 「プレモノイダル圏と計算の概念」 .コンピュータサイエンスにおける数学的構造. 7 (5): 453– 468. doi : 10.1017/S0960129597002375 . ISSN 0960-1295 . 
4. Kock, Anders (1972-12-01). 「強関数とモノイドモナド」 . Archiv der Mathematik . 23 (1): 113– 120. doi : 10.1007/BF01304852 . ISSN 1420-8938 . 

外部リンク

• nLabの強いモナド