シュトゥルム系列

数学において、一対の多項式に関連付けられたシュトゥルム級数^[1]は、ジャック・シャルル・フランソワ・シュトゥルムにちなんで名付けられています。

意味

2つの一変数多項式と を仮定する。これらが共通根を持たず、 の次数が の次数より大きいと仮定する。シュトゥルム級数は次のように構成される。 ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$

${\displaystyle p_{i}:=p_{i+1}q_{i+1}-p_{i+2}{\text{ for }}i\geq 0.}$

これはユークリッドのアルゴリズムとほぼ同じですが、剰余には負の符号が付きます。 ${\displaystyle p_{i+2}}$

特性多項式に関連するシュトゥルム級数

ここで、変数の特性多項式に関連付けられたシュトゥルム級数を見てみましょう。 ${\displaystyle p_{0},p_{1},\dots ,p_{k}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{k}+a_{1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{k-1}\lambda +a_{k}}$

ここで、 におけるは、座標系 における有理関数である。この級数は、を で割ることによって得られる2つの多項式で始まる。ここで、 はに等しい虚数単位を表し、 は実部と虚部を分離する。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P(\imath \mu )}$ ${\displaystyle \imath ^{k}}$ ${\displaystyle \imath }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}(\mu )&:=\Re \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{0}\mu ^{k}-a_{2}\mu ^{k-2}+a_{4}\mu ^{k-4}\pm \cdots \\p_{1}(\mu )&:=-\Im \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{1}\mu ^{k-1}-a_{3}\mu ^{k-3}+a_{5}\mu ^{k-5}\pm \cdots \end{aligned}}}$

残りの項は上記の関係式で定義されます。これらの多項式の特殊な構造により、以下の式で表すことができます。

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$

これらの表記法では、商はに等しく、条件 が成立する。さらに、上記の関係式に代入された多項式は、係数 を計算するための以下の再帰式を与える。 ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle (c_{i-1,0}/c_{i,0})\mu }$ ${\displaystyle c_{i,0}\neq 0}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle c_{i,j}}$

${\displaystyle c_{i+1,j}=c_{i,j+1}{\frac {c_{i-1,0}}{c_{i,0}}}-c_{i-1,j+1}={\frac {1}{c_{i,0}}}\det {\begin{pmatrix}c_{i-1,0}&c_{i-1,j+1}\\c_{i,0}&c_{i,j+1}\end{pmatrix}}.}$

ある に対して の商はより高次の多項式であり、数列はで停止します。 ${\displaystyle c_{i,0}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{h}}$ ${\displaystyle h<k}$

参考文献

1. (フランス語) CF シュトゥルム。方程式代数の解決。フェルサック会報。 11:419–425。 1829年。